热点专题六 图形与证明
【考点聚焦】
图形与证明是空间与图形的核心内容之一，它贯穿在整个几何知识的学习及运用之中． 内容主要有：了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义；掌握平行线的性质定理和判定定理、全等三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等的判定定理；掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理；掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理；掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理．
【热点透视】
热点1：把握三角形全等的性质，考查线段相等的证明．
例1 （2008郴州）如图１，菱形ABCD 中，E F ，分别为BC 、
CD 上的点，且CE CF =．求证：AE AF =．
分析：本题中灵活运用菱形的性质：四边相等，两组对角分别相
等．找到全等三角形的对应元素是解本题的关键．
证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB BC CD AD ===，B D ∠=∠．
∵CE CF =，∴BE DF =．
在ABE △与ADF △中，AB AD =，B D ∠=∠，BE DF =．
∴ABE ADF △≌△，∴AE AF =．
点评：掌握全等三角形的概念和性质，还要能准确辨认全等三角形中的对应元素，通过证明全等来证明线段相等或者角相等．
热点2：紧扣三角形全等的判定，考查三角形全等的开放型问题．
例2 （2008湘潭）如图2，在正五边形ABCDE 中，连结对角线AC 、
AD 和CE ，AD 交CE 于F ．
（1）请列出图中两对全等三角形_________________（不另外添加辅
助线）；
（2）请选择所列举的一对全等三角形加以证明．
分析：由正多边形的性质可知：正多边形的各边相等，各角相等．这
是一类结论不惟一的试题．解决此类问题的关键是依据图形，通过准确辨认全等三角形的对应元素，证明三角形全等．
解：（1）△ABC ≌△AED ，△ABC ≌△EDC ；
（2）证明：在正五边形ABCDE 中，AB BC CD DE EA ====，
∠EAB =∠B =∠BCD =∠CDE =∠DEA ，
故在△ABC 与△AED 中，AB =AE ，∠B =∠DEA ，BC =DE ，∴△ABC ≌△AED ， 在△ABC 与△EDC 中，AB =ED ，∠B =∠CDE ，BC =DC ，∴△ABC ≌△EDC ．
点评：本考题题干简单清晰，但考点的内容与正多边形的知识相结合，需要具有分解基本图形的能力和基本的探究能力，才能顺利解题．
热点3：合理添加辅助线，构造全等三角形解决相关问题．
例3 （2008常德）如图3，已知AB AC =，
（1）若CE BD =，求证：GE GD =；
（2）若CE m B D = （m 为正数），试猜想GE 与GD 有何关系（只写结论，不证明）．
分析：证明在不同三角形中的两条线段和两个角相等的常用方法就是证明两个三角形全等，要证明线段GE 和GD 相等，在辨认三角形全等对应元素时，发现图中没有三角形全等，需要通过合理添加辅助线构造三角形全等．
（1）证明：过D 作DF ∥CE ，交BC 于F ，
∠E =∠GDF ，
∵AB =AC ，DF ∥CE ，
∴∠DFB =∠ACB =∠ABC ，
∴DF =DB =EC ．
又∠DGF =∠EGC ，∴△GDF ≌△GEC ．
∴GE =GD ．
（2）GE m GD =
． 点评：在证明三角形全等时，可以通过翻折法、旋转法、平移法找到对应元素，或者合理添加辅助线构造全等三角形的对应元素．
热点4：定义、命题、定理、互逆命题的考查．
例4 （2008永州）下列命题是假命题的是（ ）
（Ａ）四个角相等的四边形是矩形
（Ｂ）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（Ｃ）四条边相等的四边形是菱形
（Ｄ）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
分析：掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解决本题的关键． 解：选（D ）．
点评：本题考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握，遇到这种题，同学们可利用数形结合的思想将其中的文字语言转化为图形语言，便能迅速作出准确判断．
热点5：平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质与判定的考查．
例5 （2008娄底）如图5，已知点D 在ABC △的BC △边上，
DE AC ∥交AB 于E ，DF AB ∥交AC 于F ．
（1）求证：AE DF =；
（2）若AD 平分BAC ∠，试判断四边形AEDF 的形状，
并说明理由．
分析：本题主要考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边
形的判定方法的把握．
证明：（1）∵DE AC ∥，
∴ADE DAF ∠=∠，同理DAE FDA ∠=∠．
∵AD DA =，
∴ADE DAF △≌△，∴AE DF =．
（2）若AD 平分BAC ∠，四边形AEDF 是菱形．
证明：∵DE AC ∥，DF AB ∥，
∴四边形AEDF 是平行四边形，
∵FAD EAD ∠=∠，∴AF DF =，
∴平行四边形AEDF 为菱形．
点评：三角形全等及平行四边形的性质都可以证明两线段相等，此类题起点低，注重基础知识及基本技能的考查，考查了同学们最基本的几何推理证明能力．
热点6：圆的有关概念及性质的考查
例6 （2008益阳）如图6，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，
过圆心O 作OD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 上一点，G 是DE 的中点，
OG 的延长线交BC 于F ．
（1）图中线段OD 、BC 所在直线有怎样的位置关系？写出你的结论，
并给出证明过程；
（2）猜想线段BE EF FC ，，三者之间有怎样的数量关系？
写出你的结论，并给出证明过程．
分析：平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，先通过观察图形可猜想OD ∥BC ，再利用圆的有关概念及性质得证．
解：（1）结论：OD BC ∥．
证明：∵AB 是O 的直径，C 是O 上一点，
∴90ACB ∠= ，即BC ⊥AC ．
又OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ．
（2）结论：EF BE FC =+．
证明：∵OD ⊥AC ，∴AD =DC ．
又O 为AB 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线．
∴BC =2OD ．
在△ODG 与△EFG 中，
∵DG =EG ，∠GOD =∠GFE ，∠ODG =∠FEG ，
∴ODG FEG △≌△．∴OD =EF ．
∴22BE EF FC BC OD EF ++===．
∴EF BE FC =+．
点评：为了使同学们对推理论证的必要性有更深刻的理解，新课程中的逻辑推理常在探究、猜想的前提下进行．本题就采用了这种方式．该题主要考查了直径与圆周角、垂直于弦的直径等概念之间的联系．
【考题预测】
１．下列命题中真命题的个数是（ ）
①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方；
②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；
③在ABC △与A B C '''△中，AB AC A B A C
=''''，A A '∠=∠，那么ABC A B C '''△∽△； ④已知ABC △及位似中心O ，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5． （Ａ）1个 （Ｂ）2个 （Ｃ）3个 （Ｄ）4个
2．已知如图7，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点
E ，且AC 平分∠DAB ，AB =AE ，AC =AD ．下四个结论：①AC ⊥BD ；
②CB =DE ；③1
2
D B C D A B ∠=∠；④△AB
E 是等边三角形．请写
出正确的结论序号____________（把你认为正确的结论序号填上，并证明其中一个）．
3．如图8，菱形ABCD 中，E 、F 分别为CB 、CD 延长线上的点，且CE CF =．求证：AE AF =．
4．如图9，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=
，2AB AC =，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ．又点F 在DE 的延长线上，且2EF DE =．求证：四边形ACEF 是菱形．
5．如图10，D 是ABC △边AB 上一点，DE 交AC 于点E ，DE EF =，FC AB ∥．求证：AE CE =．
6．如图11，已知AC 切O 于A ，CB 顺次交O 于D B ，两点，6AC =，5BD =，连结AD ，AB ．
（1）求证：CAD CBA △∽△；
（2）求线段DC 的长．
7．如图12，ABC △是O 的内接三角形，AC BC =，D 为O 中上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =．
（1）求证：AE BD =；
（2）若AC BC ⊥，求证：AD BD CD +=．
8．如图13，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连结AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交AB 的
延长线于点G ．
（1）求证：点F 是BD 中点；
（2）求证：CG 是O 的切线；
（3）若2FB FE ==，求O 的半径．。