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2008年浙江省高考数学试卷(文科)答案与解析

2008年浙江省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.(5分)(2008•浙江)已知集合A={x|x>0},B={x|﹣1≤x≤2},则A∪B=()A.{x|x≥﹣1} B.{x|x≤2} C.{x|0<x≤2} D.{x|﹣1≤x≤2}【考点】并集及其运算.【分析】根据并集的求法,做出数轴,求解即可.【解答】解:根据题意,作图可得,则A∪B={x|x≥﹣1},故选A.【点评】本题考查集合的运算,要结合数轴发现集合间的关系,进而求解.2.(5分)(2008•浙江)函数y=(sinx+cosx)2+1的最小正周期是()A.B.πC.D.2π【考点】二倍角的正弦;同角三角函数基本关系的运用.【分析】先将原函数进行化简,再求周期.【解答】解:∵y=(sinx+cosx)2+1=sin2x+2,故其周期为.故选B.【点评】本题主要考查正弦函数周期的求解.3.(5分)(2008•浙江)已知a,b都是实数,那么“a2>b2”是“a>b”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】常规题型.【分析】首先由于“a2>b2”不能推出“a>b”;反之,由“a>b”也不能推出“a2>b2”.故“a2>b2”是“a>b”的既不充分也不必要条件.【解答】解:∵“a2>b2”既不能推出“a>b”;反之,由“a>b”也不能推出“a2>b2”.∴“a2>b2”是“a>b”的既不充分也不必要条件.故选D.【点评】本小题主要考查充要条件相关知识.4.(5分)(2008•浙江)已知{a n}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=()A. B.﹣2 C.2 D.【考点】等比数列.【专题】等差数列与等比数列.【分析】根据等比数列所给的两项,写出两者的关系,第五项等于第二项与公比的三次方的乘积,代入数字,求出公比的三次方,开方即可得到结果.【解答】解:∵{a n}是等比数列,a2=2,a5=,设出等比数列的公比是q,∴a5=a2•q3,∴==,∴q=,故选:D.【点评】本题考查等比数列的基本量之间的关系,若已知等比数列的两项,则等比数列的所有量都可以求出,只要简单数字运算时不出错,问题可解.5.(5分)(2008•浙江)已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则()A.B.C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3【考点】基本不等式.【分析】ab范围可直接由基本不等式得到,a2+b2可先将a+b平方再利用基本不等式联系.【解答】解:由a≥0,b≥0,且a+b=2,∴,而4=(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),∴a2+b2≥2.故选C.【点评】本题主要考查基本不等式知识的运用,属基本题.基本不等式是沟通和与积的联系式,和与平方和联系时,可先将和平方.6.(5分)(2008•浙江)在(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)(x﹣4)(x﹣5)的展开式中,含x4的项的系数是()A.﹣15 B.85 C.﹣120 D.274【考点】二项式定理的应用.【分析】本题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题.本题可通过选括号(即5个括号中4个提供x,其余1个提供常数)的思路来完成.【解答】解:含x4的项是由(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)(x﹣4)(x﹣5)的5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数∴展开式中含x4的项的系数是(﹣1)+(﹣2)+(﹣3)+(﹣4)+(﹣5)=﹣15.故选A.【点评】本题考查利用分步计数原理和分类加法原理求出特定项的系数.7.(5分)(2008•浙江)在同一平面直角坐标系中,函数(x∈[0,2π])的图象和直线的交点个数是()A.0 B.1 C.2 D.4【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】先根据诱导公式进行化简,再由x的范围求出的范围,再由正弦函数的图象可得到答案.【解答】解:原函数可化为:y=cos()(x∈[0,2π])=,x∈[0,2π].当x∈[0,2π]时,∈[0,π],其图象如图,与直线y=的交点个数是2个.故选C.【点评】本小题主要考查三角函数图象的性质问题.8.(5分)(2008•浙江)若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离心率是()A.3 B.5 C.D.【考点】双曲线的定义.【专题】计算题.【分析】先取双曲线的一条准线,然后根据题意列方程,整理即可.【解答】解:依题意,不妨取双曲线的右准线,则左焦点F1到右准线的距离为,右焦点F2到右准线的距离为,可得,即,∴双曲线的离心率.故选D.【点评】本题主要考查双曲线的性质及离心率定义.9.(5分)(2008•浙江)对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得()A.a⊂α,b⊂αB.a⊂α,b∥αC.a⊥α,b⊥αD.a⊂α,b⊥α【考点】空间点、线、面的位置.【专题】空间位置关系与距离.【分析】对两条不相交的空间直线a与b,有a∥b 或a与b是异面直线,从而得出结论.【解答】解:∵两条不相交的空间直线a和b,有a∥b 或a与b是异面直线,∴一定存在平面α,使得:a⊂α,b∥α.故选B.【点评】本题主要考查立体几何中线面关系问题,属于基础题.10.(5分)(2008•浙江)若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是()A.B.C.1 D.【考点】简单线性规划的应用.【专题】计算题;压轴题.【分析】欲求平面区域的面积,先要确定关于a,b的约束条件,根据恒有ax+by≤1成立,a≥0,b≥0,确定出ax+by的最值取到的位置从而确定关于a,b约束条件.【解答】解:∵a≥0,b≥0t=ax+by最大值在区域的右上取得,即一定在点(0,1)或(1,0)取得,故有by≤1恒成立或ax≤1恒成立,∴0≤b≤1或0≤a≤1,∴以a,b为坐标点P(a,b)所形成的平面区域是一个正方形,所以面积为1.故选C.【点评】本小题主要考查线性规划的相关知识.本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.二、填空题(共7小题,每小题4分,满分28分)11.(4分)(2008•浙江)已知函数f(x)=x2+|x﹣2|,则f(1)=2.【考点】函数的概念及其构成要素.【分析】将x=1代入函数解析式即可求出答案.【解答】解:∵f(1)=12+|1﹣2|=1+1=2故答案为:2【点评】本题主要考查函数解析式,求函数值问题.12.(4分)(2008•浙江)若,则cos2θ=.【考点】诱导公式的作用;二倍角的余弦.【分析】由sin(α+)=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可.【解答】解:由可知,,而.故答案为:﹣.【点评】本题考查诱导公式及二倍角公式的应用.13.(4分)(2008•浙江)已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点,若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=8.【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】运用椭圆的定义,可得三角形ABF2的周长为4a=20,再由周长,即可得到AB的长.【解答】解:椭圆=1的a=5,由题意的定义,可得,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,则三角形ABF2的周长为4a=20,若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=20﹣12=8.故答案为:8【点评】本题考查椭圆的方程和定义,考查运算能力,属于基础题.14.(4分)(2008•浙江)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若(b﹣c)cosA=acosC,则cosA=.【考点】正弦定理的应用;两角和与差的正弦函数.【专题】计算题.【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系,再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB,进而可求得cosA的值.【解答】解:由正弦定理,知由(b﹣c)cosA=acosC可得(sinB﹣sinC)cosA=sinAcosC,∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,∴cosA=.故答案为:【点评】本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用.考查对三角函数公式的记忆能力和综合运用能力.15.(4分)(2008•浙江)如图,已知球O的面上四点A、B、C、D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=,则球O的体积等于π.【考点】球的体积和表面积;球内接多面体.【专题】计算题.【分析】说明△CDB是直角三角形,△ACD是直角三角形,球的直径就是CD,求出CD,即可求出球的体积.【解答】解:AB⊥BC,△ABC的外接圆的直径为AC,AC=,由DA⊥面ABC得DA⊥AC,DA⊥BC,△CDB是直角三角形,△ACD是直角三角形,∴CD为球的直径,CD==3,∴球的半径R=,∴V球=πR3=π.故答案为:π.【点评】本题是基础题,考查球的内接多面体,说明三角形是直角三角形,推出CD是球的直径,是本题的突破口,解题的重点所在,考查分析问题解决问题的能力.16.(4分)(2008•浙江)已知是平面内的单位向量,若向量满足•(﹣)=0,则||的取值范围是[0,1].【考点】平面向量数量积的运算.【专题】压轴题.【分析】本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题,由向量满足•(﹣)=0,变化式子为模和夹角的形式,整理出||的表达式,根据夹角的范围得到结果.【解答】解:∵,即,∴且θ∈[0,π],∵为单位向量,∴,∴,∴.故答案为:[0,1]【点评】本题是向量数量积的运算,条件中给出两个向量的模和两向量的夹角,代入数量积的公式运算即可,只是题目所给的向量要应用向量的性质来运算,本题是把向量的数量积同三角函数问题结合在一起.17.(4分)(2008•浙江)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相邻.这样的六位数的个数是40(用数字作答).【考点】分步乘法计数原理.【专题】计算题;压轴题.【分析】欲求可组成符合条件的六位数的个数,只须利用分步计数原理分三步计算:第一步:先将3、5排列,第二步:再将4、6插空排列,第三步:将1、2放到3、5、4、6形成的空中即可.【解答】解析:可分三步来做这件事:第一步:先将3、5排列,共有A22种排法;第二步:再将4、6插空排列,共有2A22种排法;第三步:将1、2放到3、5、4、6形成的空中,共有C51种排法.由分步乘法计数原理得共有A22•2A22•C51=40(种).答案:40【点评】本题考查的是分步计数原理,分步计数原理(也称乘法原理)完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法…做第n步有m n 种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.三、解答题(共5小题,满分0分)18.(14分)(2008•浙江)已知数列{x n}的首项x1=3,通项x n=2n p+nq(n∈N*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.求:(Ⅰ)p,q的值;(Ⅱ)数列{x n}前n项和S n的公式.【考点】数列递推式;等差数列的前n项和;等比数列的前n项和;等差数列的性质.【专题】计算题;综合题.【分析】(Ⅰ)根据x1=3,求得p,q的关系,进而根据通项x n=2n p+np(n∈N*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.建立关于p的方求得p,进而求得q.(Ⅱ)进而根据(1)中求得数列的首项和公差,利用等差数列的求和公式求得答案.【解答】解:(Ⅰ)∵x1=3,∴2p+q=3,①又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,∴3+25p+5q=25p+8q,②联立①②求得p=1,q=1(Ⅱ)由(1)可知x n=2n+n∴S n=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=.【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识,考查运算及推理能力.19.(14分)(2008•浙江)一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球,已知袋中共有10个球,从中任意摸出1个球,得到黑球的概率是;从中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.求:(Ⅰ)从中任意摸出2个球,得到的数是黑球的概率;(Ⅱ)袋中白球的个数.【考点】互斥事件的概率加法公式;古典概型及其概率计算公式.【专题】计算题.【分析】(Ⅰ)先做出袋中的黑球数,本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是从袋中任意摸出两个球,共有C102种结果,满足条件的事件是得到的都是黑球,有C42种结果,根据概率公式得到结果.(Ⅱ)根据从中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是,写出从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球的对立事件的概率,列出关于白球个数的方程,解方程即可.【解答】解:(Ⅰ)由题意知本题是一个古典概型,从中任意摸出1个球,得到黑球的概率是,袋中黑球的个数为.试验发生包含的事件是从袋中任意摸出两个球,共有C102种结果满足条件的事件是得到的都是黑球,有C42种结果,记“从袋中任意摸出两个球,得到的都是黑球”为事件A,则.(Ⅱ)从中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件B.设袋中白球的个数为x,则,得到x=5【点评】本题主要考查排列组合、概率等基础知识,同时考查逻辑思维能力和数学应用能力,考查对立事件的概率,考查古典概型问题,是一个综合题.20.(14分)(2008•浙江)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,∠BCF=∠CEF=90°,AD=.(Ⅰ)求证:AE∥平面DCF;(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A﹣EF﹣C的大小为60°?【考点】直线与平面平行的判定;与二面角有关的立体几何综合题.【专题】计算题;证明题;综合题.【分析】(Ⅰ)过点E作EG⊥CF并CF于G,连接DG,证明AE平行平面DCF内的直线DG,即可证明AE∥平面DCF;(Ⅱ)过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H,连接AH,说明∠AHB为二面角A﹣EF﹣C 的平面角,通过二面角A﹣EF﹣C的大小为60°,求出AB即可.【解答】(Ⅰ)证明:过点E作EG⊥CF并CF于G,连接DG,可得四边形BCGE为矩形.又ABCD为矩形,所以AD⊥∥EG,从而四边形ADGE为平行四边形,故AE∥DG.因为AE⊄平面DCF,DG⊂平面DCF,所以AE∥平面DCF.(Ⅱ)解:过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H,连接AH.由平面ABCD⊥平面BEFG,AB⊥BC,得AB⊥平面BEFC,从而AH⊥EF,所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角.在Rt△EFG中,因为EG=AD=.又因为CE⊥EF,所以CF=4,从而BE=CG=3.于是BH=BE•sin∠BEH=.因为AB=BH•tan∠AHB,所以当AB=时,二面角A﹣EF﹣G的大小为60°.【考点】空间点、线、面位置关系,空间向量与立体几何.【点评】由于理科有空间向量的知识,在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用,这为考生选择解题方案提供了方便,但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷,那就是空间向量的运算问题,空间向量有三个分坐标,在进行运算时极易出现错误,而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显,所以在复习立体几何时,不要纯粹以空间向量为解题的工具,要注意综合几何法的应用.【点评】本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.21.(15分)(2008•浙江)已知a是实数,函数f(x)=x2(x﹣a).(Ⅰ)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】计算题;压轴题.【分析】(I)求出f'(x),利用f'(1)=3得到a的值,然后把a代入f(x)中求出f(1)得到切点,而切线的斜率等于f'(1)=3,写出切线方程即可;(II)令f'(x)=0求出x的值,利用x的值分三个区间讨论f'(x)的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性得到函数的最大值.【解答】解:(I)f'(x)=3x2﹣2ax.因为f'(1)=3﹣2a=3,所以a=0.又当a=0时,f(1)=1,f'(1)=3,则切点坐标(1,1),斜率为3所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y﹣1=3(x﹣1)化简得3x﹣y﹣2=0.(II)令f'(x)=0,解得.当,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而f max=f(2)=8﹣4a.当时,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而f max=f(0)=0.当,即0<a<3,f(x)在上单调递减,在上单调递增,从而综上所述,f max=.【点评】本题主要考查导数的基本性质、导数的应用等基础知识,以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.22.(15分)(2008•浙江)已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹,l是过点Q(﹣1,0)的直线,M是C上(不在l上)的动点;A、B在l上,MA⊥l,MB⊥x轴(如图).(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)求出直线l的方程,使得为常数.【考点】轨迹方程;直线的一般式方程.【专题】计算题;压轴题.【分析】(I)设N(x,y)为C上的点,进而可表示出|NP|,根据N到直线的距离和|NP|进而可得曲线C的方程.(II)先设,直线l:y=kx+k,进而可得B点坐标,再分别表示出|QB|,|QM|,|MA|,最后根据|QA|2=|QM|2﹣|AM|2求得k.【解答】解:(I)设N(x,y)为C上的点,则,N到直线的距离为.由题设得,化简,得曲线C的方程为.(II)设,直线l:y=kx+k,则B(x,kx+k),从而.在Rt△QMA中,因为=,.所以,∴,.当k=2时,,从而所求直线l方程为2x﹣y+2=0.【点评】本题主要考查求曲线轨迹方程,两条直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.。

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