1 / 131 （第4题图）浦东新区2019学年第一学期初中学业质量监测初三数学 试卷考生注意：1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果BC =5，AB =13，那么sin A 的值为（A ）513； （B ）512； （C ）1213； （D ）125． 2．下列函数中，是二次函数的是 （A ）21y x =-；（B ）22y x =； （C ）12+=x y ；（D ）()221y x x =--．3．抛物线245y x x =-+的顶点坐标是 （A ）（−2,1）；（B ）（2,1）；（C ）（−2, −1）；（D ）（2,−1）．4．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，下列各比例式 不一定能推得DE ∥BC 的是2 / 132 （A ）AD AE BD CE =；（B ）AD DE AB BC =；（C ）AB AC BD CE=；（D ）AD AE AB AC=．5．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶3，它把物体从地面点A 处送到离地面3米高的B 处，则物体从A 到B 所经过的路程为 （A ）310米； （B ）210米；（C ）10米；（D ）9米．6．下列说法正确的是（A ）()0a a +-=r r；（B ）如果a r 和b r 都是单位向量，那么a b =r r；（C ）如果||||a b =r r ，那么a b =r r ； （D ）如果12a b =-r r (b r为非零向量)，那么a r //b r ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．已知x =3y ，那么 = ▲ ．8．已知线段AB =2cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，P A >PB ，那么线段P A 的长度等于 ▲ cm ． 9．如果两个相似三角形对应边之比是2∶3，那么它们的对应中线之比是 ▲ ． 10．如果二次函数223y x x k =-+-的图像经过原点，那么k 的值是 ▲ ． 11．将抛物线23y x =-向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为 ▲ ． 12．如果抛物线经过点A （−1,0）和点B （5,0），那么这条抛物线的对称轴是直线 ▲ ． 13．二次函数22(1)y x =-+的图像在对称轴左侧的部分是 ▲ ．（填“上升”或“下降”） 14．如图，在△ABC 中，AE 是BC 边上的中线，点G 是△ABC 的重心，过点G 作GF ∥AB（第5题图） 传送带EF EB2x yx y ++3 / 133 交BC 于点F ，那么 = ▲ ．15．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AD =6，DF =3，BC =7，那么线段CE 的长度等于 ▲ ． 16．如图，将△ABC 沿射线BC 方向平移得到△DEF ，边DE 与AC 相交于点G ，如果BC = 6cm ，△ABC 的面积等于9cm 2，△GEC 的面积等于4cm 2，那么CF = ▲ cm ．17．用“描点法”画二次函数2y a x b x c =++的图像时，列出了如下的表格：x… 0 1 2 3 4 … 2y a x b x c =++…−31−3…那么当= 5时，该二次函数y 的值为 ▲ ．18．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，将△BDE 绕着点B 旋转，点D 、E 旋转后的对应点分别为点D ’、E ’，当直线D ’E ’ 经过点A 时，线段CD ’的长为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：2tan 45cos60cot 602sin30︒-︒+︒︒．20．（本题满分10分，其中每小题各5分）x GC（第14题图）（第16题图）（第15题图）4 / 134 （第21题图） 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE =2ED ，联结BE 并延长交边CD的延长线于点F ，设=，b BC ρ=．（1）用、b ρ表示BE u u u r 、DF u u u r；（2）先化简，再求作：)(2)23(++．（不要求写作法，但要写明结论）21．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =3，AC =6，AE =4，AB =8． （1）如果BC =7，求线段DE 的长；（2）设△DEC 的面积为a ，求△BDC 的面积．（用a 的代数式表示）22．（本题满分10分）为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC 的长度，在地面上点A 处测得避雷针底部B 和顶部C 的仰角分别为55°58＇和57°．已知点A 与楼底中间部位D 的距离约为80米．求避雷针（第20题图）5 / 135 BC 的长度．（参考数据：sin5558'0.83︒≈，cos5558'0.56︒≈，tan5558' 1.48︒≈，sin570.84︒≈，cos570.54︒≈，tan57 1.54︒≈）23．（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知△ABC 和△ADE ，点D 在BC 边上，DA =DC ，∠ADE =∠B ，边DE 与AC 相交于点F ．（1）求证：AB AD DF BC ⋅=⋅； （2）如果AE ∥BC ，求证：BD DFDC FE=．24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为 A （−1,0）、B （3,0），与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线的表达式；（2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正切值；（第23题图）（3）点P在抛物线上且∠P AB=∠ACB，求点P的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD．过点D作DE⊥DC交边BC于点E．（1）如图，当ED=EB时，求AD的长；（2）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB’，联结AB’．当△CAB’是等腰三角形时，直接写出AD的长．（第25题图）（备用图）（第24题图）6/ 1367 / 137浦东新区2019学年第一学期初中学业质量监测初三数学试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．A ； 2．C ；3．B ；4．B ；5．A ；6．D ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．45； 8．1)； 9．2∶3；10．k =3； 11．234y x =--；12．x =2； 13．上升； 14．13； 15．72； 16．2； 17．-8； 18．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解： 原式=23321221-1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯……………………………………………………（各2分） =3121+ ………………………………………………………………（1分） =65．……………………………………………………………………（1分）20．解：（1）∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∵ AD = BC ．8 / 138 ∵ AE=2ED ，∵AD AE 32=．∵ 23AE BC =． …………………………（1分）∵ b ρ=，∴23AE b =u u u r r ． ………………………………………………（1分）∵ ，∵ AE BA BE +=32+=． …………………………………（1分）∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∵ AB // CD ．∵ 12DF DE AB AE ==．∵ 12DF AB =． ………………………………………（1分）∵ ，∵ a DF 21=． ………………………………………………（1分）（2）原式=b a b a 2223-++-………………………………………………（1分） =2223-++-=-21．……………………………… （1分） 作图正确．……………………………………………………………（2分）结论． ……………………………………………………………………（1分）21. 证明：（1）∵AD =3，AC =6，AE =4，AD =8，∴12AD AE AC AB ==．…………… （2分） ∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ．…………………………………………（1分） ∴DE ADBC AC=． ……………………………………………………………（1分） ∵BC =7，∴27=DE ． ……………………………………………………（1分） （2）∵AE =4，AC =6，∴EC =2． ∵△ADE 与△CDE 同高，∴21ADE DEC S AE S EC ==△△． ………………………（1分） ∵S △DEC =a ，∴S △ADE =2a ．…………………………………………………（1分）==9 / 139 ∵△ADE ∽△ACB ，∴412=⎪⎭⎫ ⎝⎛=AC AD S S ACB ADE △△．………………………………（1分） ∴S △ACB =8a ． …………………………………………………………………（1分） ∴S △BDC =8a ―2a ―a =5a ． …………………………………………………（1分）22．解：根据题意，得∠ADC=90°，∠BAD=55°58＇，∠CAD=57°，AD =80．（各1分）在Rt △CAD 中，∵∠ADC=90°，，∵1.54CDAD≈，即 1.5480CD ≈． …（1分） ∴CD =123.2． ……………………………………………………………（1分） 在Rt △BAD 中，∵∠ADC=90°，，∵1.48BDAD≈，即 1.4880BD ≈．… （1分） ∴BD =118.4． ……………………………………………………………（1分） ∴BC=DC ―BD =123.2―118.4=4.8． ……………………………………（1分） 答：避雷针BC 的长度为4.8米． ………………………………………（1分）23. 证明：（1）∵DA =DC ，∴∠DCA=∠DAC ．……………………………………（1分）∵∠B=∠ADE ，∴△ABC ∽△FDA ． ……………………………………（3分） ∴AB BCFD DA=． ……………………………………………………………（1分） ∴AB DA FD BC ⋅=⋅．………………………………………………………（1分） （2）∵AE // BC ，∴DF DCEF EA=，∠BDA=∠DAE ． ……………………（2分） ∵∠B=∠ADE ，∴△ABD ∽△EDA ．………………………………………（1分）tan57 1.54︒≈tan5558' 1.48︒≈10 / 1310 ∴ADBDAE AD =． ……………………………………………………………（1分） ∵DA =DC ，∴AEDCDC BD =．…………………………………………………（1分） ∴FEDFDC BD =． ……………………………………………………………（1分） 24．解：（1）把A （−1,0）、B （3,0）分别代入得{10,930b c b c --+=-++=．…………………………………………………………（2分）解得b =2，c =3． …………………………………………………………（1分） ∴抛物线的表达式是223y x x =-++． ………………………………（1分） （2）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．∵抛物线223y x x =-++与y 轴相交于点C ,∴C （0, 3）．……………（1分） ∵B （3,0）、A （−1,0）、C （0, 3），∴OC =OB =3， AB =4． 在Rt △BOC 中，BC=ABC =45°． 在Rt △HAB 中， ∵sin AHABH AB∠=，AB =4，∴AH BH == ……………………（1分）∵BC =CH = ． ……………………………………………（1分） ∴tan 2AHACB CH∠==． ……………………………………………（1分） （3）过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ．设P （x ，-x 2+2x +3），则PM =223x x -++，AM ＝x ＋１．∵∠PAB=∠ACB ，tan 2ACB ∠=，∴tan 2PAB ∠=． ……………（1分） （i ）P 在x 轴上方时，-x 2+2x +3=2(x +1) .2y x bx c =-++解得：x1=1，x2=-1（舍）. …………………………………………（1分）（ii）P在x轴下方时，-（-x2+2x+3）=2(x+1) .解得：x1=5，x2=-1（舍）. …………………………………………（1分）∴P的坐标为（1，４）或（5，-12）.………………………………（1分）25．解：（1）∵ED=EB，∴∠B=∠BDE．……………………………………………（1分）∵DE⊥CD，∴∠BDE+∠ADC=90°．∵∠A=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°．∴∠BDE=∠ACD．…………………………………………………………（1分）∴∠ACD=∠B．…………………………………………………………（1分）在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∴3 tan4ACBAB==．∴3tan4ACD∠=．…………………………………………………………（1分）在Rt△ADC中，3tan4ADACDAC∠==，AC=3，∴94AD=．……………………………………………………………（1分）（2）过点E作EH⊥AB，垂足为点H．∴∠EDH=∠A=90°．∵∠BDE=∠ACD，∴△ACD∽△DEH．………………………………（1分）∴HD HE AC AD=．在Rt△BEH中，可得35EH y=，45BH y=．…………………………（1分）11/ 1311∴445DH x y=--．……………………………………………………（1分）∴434553x y yx--=．∴220549x xyx-=+．……………………………………………………（1分）（0 < x < 4）．……………………………………………………（1分）（3）ADAD………………………（各2分）12/ 13122020年上海浦东初三数学一模试卷和答案13。