4.6 反证法
◆基础练习
1．“a<b”的反面应是（）
A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b
2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”
时，应假设___________．
4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设__________．
5．请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5．
6．如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．
证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．
7．完成下列证明．
如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．
证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．
当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；
当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．
综上所述，假设不成立．
∴∠B一定是锐角．
8．如图，已知AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠E=360°．
9．请举一个在日常生活中应用反证法的实际例子．
◆综合提高
10．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（ ）
A ．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C ．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
11．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应假设______________．
12．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补．
132是一个无理数．（说明：任何一个有理数均可表示成
b a
的形式，且a ，b 互质）
14、试写出下列命题的反面：
（1）a 大于2 _____________;（2）a⊥b _______________.
15、用反证法证明“若22a b ≠，则a b ≠”的第一步是______________.
16、填空：在△ABC 中，若∠C 是直角，那么∠B 一定是锐角.
证明：假设结论不成立的，则∠B 是__________或_________.
①当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾；
②当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾.
综上所述，假设不成立.
∴∠B一定是锐角.
17、反证法证明命题：若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d>r，则点P在⊙O的外部．首先应假设( )
A．d<r B．d≤r C．点P在⊙O 内 D．点P在⊙O上或点P在⊙O内
18、用反证法证明：三角形的三个内角中，总有一个角不大于60°．
19、用反证法证明：等腰三角形的底角都是锐角．
参考答案
◆基础练习
1．D
2．D
3．两条边所对的角相等
4．a2≥4
5．（1）d是非正数（2）a<0 （3）a≥5
6．两；有且只有一条直线；原命题成立
7．直角；钝角；直角；∠A+∠B+∠C> 180°；三角形的内角和等于180°；钝角；
∠A+∠B+∠C>180°；•三角形的内角和等于180°
8．略
9．略
10．B
11．每一个角都小于45°
12．略
13a，b=b
a
（a，b互质），所以2=
2
2
b
a
，所以
b2=2a2．因为2a2为偶数，所以b2为偶数，所以b为偶数．设b=2k（k为整数），则b2=4k2，所以4k2=2a2，所以a2=2k2，所以a为偶数，这与a，b•互相矛盾，所以假设不成立，原命题成立.
14、（1）a小于等于2
（2）a不垂直于b
15、假设a=b
16、直角钝角①直角∠A+∠B+∠C＞1800三角形内角和180°
②钝角∠A+∠B+∠C＞1800三角形内角和180°
17、D
18、证明：假设三角形的三个内角都大于60,∵三角形的三个内角都大于60，
∴三个内角的和大于1800，这与三角形内角和180°矛盾，所以原命题正确。

19、证明：假设等腰三角形的底角不是锐角.
已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B、∠C是直角或钝角.
∵AB=AC , ∴∠B=∠C .
∵∠B、∠C是直角或钝角 , ∴∠A+∠B+∠C≥1800 .
这与三角形内角和180°矛盾，所以假设不成立，原命题正确.。