a● ÷ 第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1. 转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2. 建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题— ——分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．3. 类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2. 与分式运算有关的运算法则3. 分式的化简求值(通分与约分)4. 幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则: b ± c = b ± c(a ≠ 0)aa ab d bcda bc ± da 2. 异分母加减法则:± = ± = a c ac ac ac(a ≠ 0, c ≠ 0) ; 3. 分式的乘法与除法: b • d =bd a c ac , b ÷ c = b • d = bda d a c ac4. 同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5. 同底数幂的乘法与除法;ama n =a m+n ; a ma n =a m －n6. 积的乘方与幂的乘方:(ab)m= amb n , (a m )n = mn7. 负指数幂: a -p = 1a pa 0=1a -b a + b 8. 乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例 1】下列代数式中： x , 1x - y , , 2 题型二：考查分式有意义的条件【例 2】当 x 有何值时，下列分式有意义x 2 - y 2 x + y1 , x + y ，是分式的有：.x - y（1）x - 4 x + 4（2） 3xx 2 + 2（3） 2x 2 - 1 （4） 6 - x | x | -3（5） 1x - 1x题型三：考查分式的值为 0 的条件【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为 0.（1）x - 1 x + 3（2）| x | -2 x 2 - 4x 2 - 2x - 3（3）x 2 - 5x - 6题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例 4】（1）当 x 为何值时，分式 4为正；（2）当 x 为何值时，分式8 - x 5 - x 3 + (x - 1)2为负；练习：（3） 当 x 为何值时，分式 x - 2 为非负数.x + 31. 当 x 取何值时，下列分式有意义：（1）1 6 | x | -3（2）3 - x(x + 1)2+ 1（3）1 1 + 1x2. 当 x 为何值时，下列分式的值为零：（1）5- | x - 1 | x + 425 - x 2（2） x 2- 6x + 53. 解下列不等式 （1）| x | -2 ≤ 0x + 1（2）x + 5> 0x 2 + 2x + 3（二）分式的基本性质及有关题型1. 分式的基本性质： A=A ⨯ M =A ÷ MBB ⨯ M B ÷ M2. 分式的变号法则：-a= --a= - a = a- b + b - b b题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.1x - 2 y （1） 2 3 1 x + 1 y （2）0.2a - 0.03b0.04 a + b3 4题型二：分数的系数变号【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）-x + y - x - y题型三：化简求值题（2） --aa - b（3） --a- b【例 3】已知： 1 + 1 = 5 ，求 2x - 3xy + 2 y的值.x y x + 2xy + y提示：整体代入，① x + y = 3xy ，②转化出 1 + 1 .【例 4】已知： x - 1 = 2 ，求 x 2+ 1 x x 2xy 的值.【例 5】若| x - y + 1 | +(2x - 3) 2= 0 ，求 练习：14x - 2 y的值.1. 不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.0.4a + 3 b（1）0.03x - 0.2 y 0.08x + 0.5 y（2） 5 1 a - 1 b 4 101x 22. 已知： x +x = 3 ，求 的值.x 4 + x 2 + 13．已知： 1 - 1 = 3 ，求 2a + 3ab - 2b的值.a b b - ab - a4．若 a 2 + 2a + b 2 - 6b + 10 = 0 ，求 2a - b 3a + 5b的值.5．如果1 < x < 2 ，试化简| x - 2 | - x - 1 + | x | .2 - x | x - 1 | x（三）分式的运算1. 确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2. 确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例 1】将下列各式分别通分.（1） c - 2ab , b , 3a 2c a- 5b 2c； （2）a , a -b b ；2b - 2a（1）（3） 1 x 2 - x , x 1 - 2x + x 2 , 2 x 2 - x - 2；（4） a + 2,1 2 - a题型二：约分【例 2】约分：（1） - 16x 2 y20xy 3；（3） n 2 - m 2m - n x 2 + x - 2 ；（3） x 2 - x - 6.题型三：分式的混合运算【例 3】计算：（1） ( a 2b 3 - c ) c 2 2 (- ab ) ÷ ( bc ) 4 a； （2） (3a 3 3 x + y ) ⋅ (x 2 - y 2 ) ÷ ( y - x ) 2 ； y + xm + 2n +n - 2ma 2- -（3） ；（4） a 1 ；（5） n - m 1 - m - n 1 - n - m 2x - 4x 38x 7；a - 1（6） 1 - x 1 + x 1 1 + x 2 + 1 1 + x 4 + 1 + x 81 ；(x - 1)(x + 1) (x + 1)(x + 3) (x + 3)(x + 5)（7） ( x 2 - 4 - x 2 - 4x + 4 1 x - 2) ⋅ ( x 2 - 2xx + 1 )题型四：化简求值题【例 4】先化简后求值（1）已知： x = -1 ，求分子1 -8[( x 2 - 4x 2 + 4 4x- 1) ÷ ( 1 - 21)] 的值；x （2）已知： x = y = z，求xy + 2 yz - 3xz的值；234x 2 + y 2 + z 2（3）已知： a 2 - 3a + 1 = 0 ，试求(a 2 -题型五：求待定字母的值1 )(a - 1) 的值. a2 a 【例 5】若1 - 3x= x 2 - 1 M + x + 1 N x - 1，试求 M , N 的值.练习：1. 计算⋅ -2a + 5 -a - 1 + 2a - 3a 2 -b 2 - 2ab（1）； （2） ；2(a + 1) 2(a + 1) 2(a + 1)a -b b - aa -b +c - a - 2b + 3c +b - 2c2b 2a -（3） ；（4） b + ；a +b -c b - c + a c - a - ba +b （5） (a - b + 4ab )(a + b - 4ab) ；（6） 1 + 1 + 2；（7）a -b 1 - a + b2 + 1 - x 1 .1 + x 1 + x 2(x - 2)(x - 3) (x - 1)(x - 3) (x - 1)(x - 2)2. 先化简后求值（1） a - 1 ⋅ a + 2 a 2 - 4 ÷ a 2 - 2a + 1 1a 2 - 1，其中 a 满足 a 2- a = 0 .（2）已知 x : y = 2 : 3 ，求(x 2- y 2xy ) ÷[(x + y ) ⋅ (x - y x )3] ÷ x y 2的值.3. 已知： 5x - 4 = (x - 1)(2x - 1) A - x - 1B 2x - 1，试求 A 、 B 的值.4. 当 a 为何整数时，代数式399a + 805 的值是整数，并求出这个整数值.a + 2（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例 1】计算：（1） (a -2 ) -3⋅ (bc -1)3（2） (3x 3 y 2 z -1) -2 ⋅ (5xy -2 z 3 ) 2(a + b ) -3 (a - b )5 2（3）[(a - b ) -2 (a + b ) 4 ]（4）[(x + y )3⋅ (x - y ) -2 ]2⋅ (x + y ) -6题型二：化简求值题【例 2】已知 x + x -1 = 5 ，求（1） x 2 + x -2 的值；（2）求 x 4 + x -4 的值.题型三：科学记数法的计算【例 3】计算：（1） (3 ⨯10-3 ) ⨯ (8.2 ⨯10-2 ) 2 ；（2） (4 ⨯10-3 ) 2 ÷ (2 ⨯10-2 )3 .练习：1．计算：（1） (1 - 1 ) ⋅ ( 1 ) -2 ÷ | - 1 | +(1 -3)0 + (-0.25) 2007 ⋅ 42008 3 553（2） (3-1 m 3 n -2 ) -2 ⋅ (m -2 n ) -3(2ab 2 ) -2 ⋅ (a 2b ) 2 （3）(3a 3b 2 ) ⋅ (ab 3 ) -2[4(x -y) 2 (x +y) -2 ]2（4）[2(x +y) -1 (x -y)]-22．已知x 2- 5x + 1 = 0 ，求（1）x +x -1，（2）x 2+x -2的值.第二讲分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）1=3；（2）2-1= 0 ；（3）x + 1-4= 1 ；（4）5 +x=x + 5 x -1 x x - 3 x x - 1 x 2-1x + 3 4 -x提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）x+4x + 4= 4 ；（2）x + 7+x + 9=x + 10+x + 6 x + 1 x x + 6 x + 8 x + 9 x + 5提示：（1）换元法，设x=y ；（2）裂项法，x + 7=1 +1.【例3】解下列方程组x + 1 x + 6 x + 6⎧1+1=1(1)⎪⎪⎪ 1+1=1 (2)⎨⎪ ⎪1+1=1 (3)⎪⎩题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程 2x - 3 =1 -mx - 3有增根，求m 的值.【例5】若分式方程2x +a=-1 的解是正数，求 a 的取值范围. x - 2提示： x =2 -a> 0 且 x ≠ 2 ，∴a < 2 且 a ≠-4 . 3x y z y 2 z 3 x 4题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程x -a=c(c +d ≠ 0)b -x d提示：（1）a, b, c, d 是已知数；（2）c +d ≠ 0 . 题型五：列分式方程解应用题练习：1.解下列方程：（1）x - 1+x + 12x1 -2x= 0 ；（2）xx - 3- 2 =4；x - 3（3 2x-3= 2 7 3 7 -x 2）；（4）-=1 +x + 2 x - 2 x 2+x x -x 2x 2- 1（5）5x - 4=2x + 5-1 （6） 1 + 1 = 1 +12x - 4 3x - 2 2 x +1 x + 5 x + 2 x + 4（7）x+x - 9=x + 1+x - 8x - 2 x - 7 x -1 x - 62.解关于x 的方程：（1）1=1+2(b ≠ 2a) ；（2）1+a=1+b(a ≠b) .a xb a x b x3.如果解关于x 的方程kx - 2+ 2 =xx - 2会产生增根，求k 的值.4.当k 为何值时，关于x 的方程x + 3=x + 2k(x -1)(x + 2)+1 的解为非负数.5.已知关于x 的分式方程2a + 1=a 无解，试求a 的值.x + 1（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：1=x3x + 2二、化归法例2．解方程：三、左边通分法1-x - 12= 0x 2- 1例3：解方程：x - 8-x - 71= 87 -x四、分子对等法例 4．解方程：1+a=1+b(a ≠b)a xb x五、观察比较法例 5．解方程： 4x+ 5x - 2 = 175x - 2 4x 4六、分离常数法例 6．解方程：x + 1 + x + 8 = x + 2 +x + 7七、分组通分法例 7．解方程： x + 2 1 + x + 2 x + 9 1 = x + 5 x + 3 1 + x + 3 x + 81x + 4（三）分式方程求待定字母值的方法例 1．若分式方程 x - 1= x - 2 m 2 - x无解，求 m 的值。