极值应力与主应力
246
平面应力及应力状态分析
极限莫尔圆公式：
几何图形推导
对于A点：莫尔圆半径
R
1 3
2
在△ABO1中：
A A B R cos
O1 B R sin
B 1 R O1 B 1 1 3
2 R sin 1
平面应力及应力状态分析
平面应力及应力状态分析
平面应力及应力状态分析
根据几何关系/三角相似关系：
OC BO1 sin AC AO1
AO c ctg 1 3 BO1 2
C A O
B
1 3 c ctg
2
AO1 AO OO1
面法线的平衡方程为：
237
N 0
即：
dA ( x dAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( y dAsin ) cos - ( y dAsin ) sin 0
T 0 沿斜面切向的平衡方程为：
由此得出
即：
dA ( x dAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( y dAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
2
1 sin 2 1 sin 2
1 tg 1 tg 2 2 1 3 1 tg 1 tg 2 2
2
0 0 1 3 tg 45 2C tg 45 2 2
x y
sin 2 x cos 2
平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
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平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
摩尔应力圆
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平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
摩尔应力圆
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平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
摩尔应力圆
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x cos2 y sin 2 ( x y ) sin cos
( x y ) sin cos x cos2 y sin 2
平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
根据剪应力互等定理：
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x y
平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
在微元体的六个侧面上作用有应力， 且其作用线均平行于同一平面。这种应力 状态称为平面应力状态，它是一种常见的 应力状态。 平面应力状态的一般形式如图1所示。 在垂直于X轴的截面
237
平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
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2
平面应力及应力状态分析
计算岩石的抗压强度
c
t
1 sin o 2C cos c 2C 2Ctg 45 1 sin 2 1 sin
抗拉强度
2C cos Rt 1 sin
内聚力
C
C
t c
2 --《材料力学》P
摩尔应力圆
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摩尔应力圆
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摩尔应力圆
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摩尔应力圆
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极值应力与主应力
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极值应力与主应力
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极值应力与主应力
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极值应力与主应力
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极值应力与主应力
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2
根据弹性力学
由三角学可知：
1 cos 2 cos 2
1 cos 2 sin 2
2
sin 2 2 sin cos
将上式代入，于是得

x y
2

x y
2
cos 2 x sin 2
2 即平面应力状态下斜截面应力的一般形式。

O1
1 3 / 2 sin 1 3 / 2 c ctg
平面应力及应力状态分析
莫尔-库伦破坏准则：
1
3 / 2 sin 3 / 2 c ctg
1
sin 1 3 / 2 c ctg
内摩擦角

c t arctg 2 c t
平面应力及应力状态分析
平面应力及应力状态分析
平面应力及应力状态分析
1 3
2
1 sin 3 sin 2C cos 1 3
1 sin 1 3 2C 1 sin
sin cos sin 2 cos 2 2 2 1 3 2C sin cos sin cos 2 2 2 2
摩尔应力圆
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极值应力与主应力
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极值应力与主应力
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极值应力与主应力
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极值应力与主应力
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1 3
2

1 3
2
sin
1 1 1 1 n 1 3 1 3 sin 1 3 1 3 cos 2 2 2 2 2 1 1 f 1 3 cos 1 3 sin 2 2 2