换元积分法与分部积分
法
文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
换元积分法与分部积分法（4时）
【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。

【教学重点】换元积分法和分步积分法。

【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。

【教学过程】
一 换元积分法
由复合函数求导法，可以导出换元积分法．
定理8．4(换元积分法) 设g(u )在[]βα,上有定义，)(x u ϕ=在[]b a ,上可导，且[]b a x x ,,)(∈≤≤βϕα，并记
(i)若)(u g 在[]βα,上存在原函数)(u G ，则)(x f 在[]b a ,上也存在原函数
C x G x F x F +=))(()(),(ϕ，即
(ii) 又若[],,,0)(b a x x ∈≠'ϕ则上述命题(i)可逆，即当)(x f 在[]b a ,上存在原函数F(x )时，g(u )在[βα,]上也存在原函数G(u )，且G(u )=C u F +-))((1ϕ，即
⎰⎰⎰='=dx x f dx x x g du u g )()())(()(ϕϕ．
证 （i ） 用复合函数求导法进行验证：
所以)(x f 以))((x G ϕ为其原函数，(1)式成立．
( ii ) 在0)(≠'x ϕ的条件下，)(x u ϕ=存在反函数)(1u x -=ϕ，且
于是又能验证（2）式成立：
)())((u g x g ==ϕ． 口
上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式)．
下面的例1至例5采用第一换元积分法求解．在使用公式(1)时，也可把它写成如下简便形式：
例1 求⎰.tan xdx
解 由 ,cos )(cos cos sin tan dx x x dx x x xdx ⎰⎰⎰
'-== 可令,1)(,cos u
u g x u ==则得 例 2 求).0(2
2>+⎰a x a dx 解 ⎰⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+2
2211a x a x d a x a dx )(a x u =令 对换元积分法比较熟练后，可以不写出换元变量u ，而直接使用公式)1('.
例 3 求⎰-22x a dx
)0(>a
解 ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2222111a x dx a x dx
a x a dx
例 4 求).0(22≠-⎰
a a x dx 解 ⎰-22a x dx dx a x a x a ⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=1121 例 5 求⎰.sec xdx
解 [解法一]利用例4的结果可得
[解法二]
⎰xdx sec =dx x
x x x x ⎰++tan sec )tan (sec sec C x x ++=tan sec ln ．
这两种解法所得结果只是形式上的不同，请读者将它们统一起来．
从以上几例看到，使用第一换元积分法的关键在于把被积表达式dx x f )(凑成()()()dx x x g ϕϕ'的形式，以便选取变换)(x u ϕ=，化为易于积分的()⎰du u g ．最终不要忘记把新引入的变量()u 还原为起始变量()x ．
第二换元公式(2)从形式上看是公式(1)的逆行，但目的都是为了化为容易求得原函数的形式(最终同样不要忘记变量还原)，以下例6至例9采用第二换元积分法求解． 例6 求⎰+3u u du
.
解 为去掉被积函数中的根式，取根次数2与3的最小公倍数6，并令6x u =,则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分： C u u u u ++-+-=1ln 6632663.
例7 求 )0(22>-⎰a dx x a
解 令,sin t a x = 2π<
t (这是存在反函数a x t arcsin =的一个单调区间)．于是 例8 求()022>-⎰a a x dx
.
解 令t a x sec =,20π
<
<t (同理可考虑0<t 的情况)，于是有 借助辅助直角三角形，便于求出a
x t =
sec ， a a x t 2
2tan -=，故得 例9 求)0()(222>+⎰a a x dx
解 令t a x tan =，2π
<t ，于是有
有些不定积分还可采用两种换元方法来计算．
例10 求.122⎰-x x dx
解 [解法一]采用第一换元积分法：
［解法二] 采用第二换元积分法(令t x sec =)：
二 分部积分法
由乘积求导法，可以导出分部积分法．
定理（分部积分法）若()x u 与()x v 可导，不定积分()()dx x v x u ⎰'存在，则()()dx x v x u '⎰也存在，并有 ()()dx x v x u '⎰=()x u ()-x v ()()dx x v x u ⎰' （3）
证 由 ()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u '+'='
或 ()()x v x u '=()()[]'x v x u ()()x v x u '-，
对上式两边求不定积分，就得到(3)式．
公式(3)称为分部积分公式，常简写作⎰⎰-=vdu uv udv （4）
例11 求⎰xdx x cos .
解 令x u =，x v cos ='，则有.sin ,1x v u =='由公式（3）求得
例12 求⎰.arctan xdx .
解 令=u x arctan ，1=v ，则211x u +=
'，x v =，由公式（3）求得 例13 求⎰.ln 3xdx x
解 令3,ln x v x u ='=，由公式（4）则有
有时需要接连使用几次分部积分才能求得结果；有些还会出现与原不定积分同类的项，需经移项合并后方能完成求解．现分别示例如下
例14 求.2dx e x x -⎰
解 ()
⎰⎰⎰----+-=-=dx xe e x e d x dx e x x x x x 2222
例15 求bxdx e I x cos 1⎰-=和⎰=.sin 2bxdx e I ax 解 ()()bxdx e b bx e a
e bxd a I ax ax ax sin cos 1cos 11⎰⎰+== ()
2cos 1bI bx e a ax +=，
()()
12sin 1sin 1bI bx e a e bxd a I ax ax -==
⎰. 由此得到 解此方程组，求得
作业：1（2）（5）（7）（10）（16）（20）（27）2（1）（2）（8）（9）。