数学高考圆锥曲线压轴题 Revised by Hanlin on 10 January 2021
数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题
★★椭圆C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1（a＞b＞0）的离心率e＝
3
2
，a＋b＝3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值．
★★如图，椭圆C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1（a＞b＞0）经过点P（1，
3
2
），离心率e＝
1
2
，直
线l的方程为x＝4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
★★椭圆C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为
3
2
，
过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且
二、圆锥曲线中的最值问题
y2
＝
b2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D 在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面积的最大值．
★★已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝
|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
y2
b2
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分
－y2
b2
＝1的左、右焦点分别为F3，
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
三、圆锥曲线与过定点（定直线）问题
＋
y2
1－a2
＝1的焦点在x轴上．
（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．
四、圆锥曲线与求参数
★★在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
中点，射线OE交椭圆C与点P，设OP→＝tOE→，求实数t的值．
五、存在性问题
＋y 2b 2＝焦点分别为F 1、F 2．点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线
PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF 1、PF 2的斜线分别为k 1、k 2．
②问直线l 上是否存在点P ，使得直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率k OA 、k OB 、k OC 、
k OD 满足k OA ＋k OB ＋k OC ＋k OD ＝0？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不
存在，说明理由． 六、轨迹方程
＋y 2
b
2＝1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1（－1，0），F 2
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）设过点A （0，2）的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN。