x
y
2
sin 2
xy
cos 2
100 sin 2135o 20 cos 2135o 50MPa 2
8.2 试用解析法求图中各单元体所示应力状态的主应力σ1、σ2、
σ3值及σ1的方位，并在图中画出各主平面的位置。
（应力单位为MPa）
解：
30
x 20MPa; y 30MPa; xy 20MPa
cos2α0、tan2α0为负，
则2α0位于第二象限，
并有2α0=141.34o,
α0=70.67o, 因此：σ1与x轴成70.67o
(c)
1 37MPa; 2 0;3 27MPa
20 20
8.3 图示简支梁承受均布荷载，试在m-m横截面处从1、2、3、
4、5点截取出五个单元体（点1、5位于上下边缘处、点3位于
135°
a
c
(b)
8.9 各单元体上的应力情况如图所示。试求主应力及最大
切应力（应力单位为MPa）。
解：z为主平面，对应的主应力为
30MPa；另外两个主应力按照
σx=-80MPa；σy=0；τxy=-20MPa 的平面应力状态计算得：
x
20
80
30
20
(c)
max
min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
h/2 h/2
1
1 2
3
4 5
1 (c)
h/2
h/2
8.4 直径d＝80mm的受扭圆杆如图所示，已知m-m截面边缘处
A点的两个非零主应力分别为σ1=50MPa，σ3 =－50MPa。 试求作用在杆件上的外力偶矩Me 解：
max
min
max
min
2
Me
m
Me
A
d
max 1; min 3; 2 0
1
1 0.25
' 45o "
Me
Me
d
2 2 2 2 2
602 802 100MPa
'
'
'
"
"
9'0
"
9"0
MT
Wt
100
1003 16
19.63kN
m
M e M T 19.6kN m
8.14 图示钢杆，横截面尺寸为20mm×40mm，材料的弹性模量
E＝200GPa，泊松比μ=0.3 。 已知A点与轴成30°方向的线应变 ε=270×10-6 。试求荷载F值。 解：x轴铅垂向下，杆单向拉伸，
y
z
80 0 2
80
0
2
2
202
4.72MPa 84.72MPa
则： 1 30MPa; 2 4.72MPa;3 84.72MPa
max
1
3
2
30 (84.7) 2
57.35MPa
8.12 已知图示圆轴表面一点处某互成45°方向的线应变分别为
ε′=3.75×10-4，ε″=5×10-4。设材料的弹性模量E ＝200GPa，泊松
90o sin 2 45o 90o cos 2
在纯剪时，单元体任意两垂直面上的正应力是等值反号的。
根据胡克定律：
' 45o "
Me
Me
d
1 E
90o
1 E
1
E
E
1
200 103 5104 1 0.25
'
'
'
"
"
9'0
"
9"0
80MPa
E 200 103 3.75104 60MPa
m
max
1
3
2
50MPa
MT M e 16M e
Wp Wp d 3
Me
max
16
d3
50
103 0.083 16
5.024kN m
8.5 已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试用解析法 求主应力及其方向，并画出主平面及主应力。（应力单位为
MPa） 解：
20
10
b 10
40
比μ=0.25 ，轴的直径d =100mm。试求外力偶矩Me。
解：设ε’’方向与圆轴的
'
纵向成α角，则 ε’方向
45o "
与轴的纵向成α+45o。 根据：
d
Me
Me
ห้องสมุดไป่ตู้
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin 2
可知ε’’方向： sin 2; 90 sin 2 90o sin 2
可知ε’方向： sin 2 45o cos 2
h/2处），并标明各单元体上的应力情况（标明存在何种应力
及应力方向）。
解：
mq
h
1 2
3
4 5
m
b
l/ 4 l
τ
(b)
a-a截面上的1、5两点切应力等于 零，只有正应力；3点位于中性轴 上，正应力等于零，只有切应力； 2、4两点既有正应力，又有切应力， 但2点的正应力为拉应力、4 点的正应力为压应力。 各单元体上的应力情况如图所示。
max
min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
20 30 2
20 30 2 2
202
37MPa 27MPa
tan 20
2 xy x y
2 (20) 20 30
40 50
0.8
20 20
(c)
37MPa
max
min
27MPa
tan 20 0.8
30 70.67o
因为：sin2α0为正，
8.1 试用解析法求图中各单元体a-b面上的应力（应力单位
为MPa）。
解：
a
x 100MPa; y 0;
xy 20MPa; 135o
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin 2
b 45o (b)
100 20
100 100 cos 2135o 20sin 2135o 22 30MPa
应力为：σ=F/A，由
30o
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin 2
可得：
cos 2(30o ) 3
22
4
F
cos 2(30o 90o ) 1
22
4
根据胡克定律：
1
30o
E
1 E
3
4
4
3
4E
由题给条件，有：
30o 270106
F
4E
3
300
4 200103 270106 3 0.3
80MPa
F A 20 4080 64103 N 64kN