第二章 插值法知识点：拉格朗日插值法，牛顿插值法，余项，分段插值。

实际问题中，时常不能给出f （x ）的解析表达式或f （x ）解析表达式过于复杂而难于计算，能采集的只是一些f （x ）的离散点值{xi,f(xi)}(i=0,1,2,…n )。

因之，考虑近似方法成为自然之选。

定义：设f （x ）为定义在区间[a ，b]上的函数，x0,x1,…,xn 为[a ，b]上的互异点，yi=f （xi ）。

若存在一个简单函数ϕ（x ），满足（插值条件）ϕ（xi ）=f （xi ），i=0，1，…，n 。

则称 ϕ（x ）为f （x ）插值函数，f （x ）为被插函数,点x0,x1,…,xn 为插值节点,点{xi,f(xi)},i=0,1,2,…n 为插值点。

于是计算f （x ）的问题就转换为计算 ϕ（x ）。

构造插值函数需要解决：插值函数是否存在唯一；插值函数如何构造(L 插值)；插值函数与被插函数的误差估计和收敛性。

对插值函数 ϕ（x ）类型有多种不同的选择，代数多项式常被选作插值函数。

P23(2.18)和(2.19)指出，存在唯一的满足插值条件的n 次插值多项式p n (x )。

但是需要计算范德蒙行列式，构造插值多项式工作量过大，简单表达式不易得到，实际中不采用这类方法。

插值法是一种古老的数学方法，拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）等分别给出了不同的解决方法。

拉格朗日插值拉格朗日（Lagrange ）插值的基本思想：把插值多项式p n (x )的构造问题转化为n+1个插值基函数l i (x)(i=0,1,…,n)的构造。

(1)线性插值 ①构造插值函数已知函数y =f (x )的两个插值点(x 0,y 0)，(x 1,y 1)，构造多项式y =p 1(x )，使p 1(x 0)=y 0,p 1(x 1)=y 1。

p n (x )≈f (x )由直线两点式可知，通过A ，B 的直线方程为 变形为 记 则p 1(x )=l 0(x )y 0+l 1(x )y 1插值完毕！注意性质：l 0(x 0)=l 1(x 1)=1，l 0(x 1)=l 1(x 0)=0，p 1(x 0)=y 0，p 1(x 1)=y 1。

称l 0(x )，l 1(x )为点x 0、x 1的线性插值基函数。

插值函数p 1(x )是这两个插值基函数的线性组合，这种形式的插值称作为拉格朗日（Lagrange ）插值，相应多项式称拉格朗日线性插值多项式，记作L 1（x ）。

②误差设L 1（x ）为插值点(x 0,y 0)，(x 1,y 1)的插值函数,f(x0)= y 0,f(x0)=y 1,f(x)一阶连续可导,二导数存在.则对任意给定的x ∈[a,b],存在一点ξ∈[a,b],使引进辅助函数,利用洛尔定理即证，见P17定理2.1。

(2)二次插值 ①构造插值函数给定三个点{xi,f(xi)}, i=0,1,2,其中xi 互不相同，构造函数f （x ）的二次插值多项式L 2（x ），满足：L2(x 0)=y 0,L 2(x 1)=y 1,L 2(x 2)=y 2。

通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。

仿线性插值，用插值基函数构造插值多项式。

令L 2（x ）=l 0(x )y 0+l 1(x )y 1+l 2(x )y 2待定函数l i (x )应是二次函数，满足约束条件l i (xi )=1，l i (xj )=0（i ≠j ），i ，j =0，1，2。

此设l 0(x )=A(x-x1)(x-x2)，l 1(x )=B(x-x0)(x-x2)，l 2(x )=C(x-x0)(x-x1)。

根据约束条件确定系数 由此得 ②误差( ) ) ( 1 0 01 0 1 0 x p x x x x y y y y = - - - = +1A = (x 0-x 1)(x 0-x 2)1C = (x 2-x 0)(x 2-x 1)1B = (x 1-x 0)(x 1-x 2)L 2(x) =(x-x 1)(x-x 2) (x 0-x 1)(x 0-x 2) f(x 0) (x-x 0)(x-x 2) (x 1-x 0)(x 0-x 2) 1) (x-x 0)(x-x 1) (x 2-x 0)(x 2-x 1)2)+ + R 2(x) =(x-x 0)(x-x 1)(x-x 2) f (ξ) （3）,ξ∈[Min{x 0,x 1, x 2,x}, Min{x 0,x 1, x 2,x}] R 1(x) =(x-x 0)(x-x 1) f (ξ) （2）2！,ξ∈[a,b] f(x)-L 1(x) = x-x 1p 1(x )= x 0-x 1 + x-x 0 x 1-x 0 y 0 y 1 x-x 1l 0(x ) =x 0-x 1x-x 0l 1(x )= x 1-x 0证明见P22定理2.2。

例 设sin11°=0.190809,sin12°=0.207912。

用线性插值计算sin11°30ˊ. 解L 1(11.5)=0.199361例 设sin11°=0.190809,sin12°=0.207912，sin13°=0.224951。

用二次插值计算sin11°30ˊ 解L 2(11.5)=0.199369.(3)一般情况两个插值点可求出一次插值多项式L 1(x )，而三个插值点可求出二次插值多项式L 2(x )。

当插值点增加到n +1个时，利用Lagrange 插值方法写出n 次插值多项式L n (x )。

详细说明见P22-24，（2.20），（2.21）至（2.24）。

关于Langrange 插值的几点说明L n (x )仅与已知数据(x i ,y i ),(i =0,1,…,n) 有关，与f(x)的原来形式无关，但余式与f(x)密切相关。

若f(x)本身是一个不超过n 次多项式，则内插（x 位于x0,x1,…,xn 之间）误差较小，外插有可能误差变大，慎用!插值点的增减,基函数要重新计算,很不方便!插值节点过多其精度不一定很好；limL n (x )=f (x ),x ∈[a,b]一般不成立.knk nk nkj j jk jkk n y x x x x x l y x L ) ( ) ( ) ( 0∑ ∑ ∏= = ≠ = - - = =x-12 L 1(x ) =11-12 x-110.190809 + 12-110.207912 R 1(x) = (x-x 0)(x-x 1) f (ξ) （2）2！=(x-11)(x-12) -Sin(ξ) 2！ |R 1(11.5)| ≢|(11.5-11)(11.5-12)|=0.125 12L 2(x) = (x-12)(x-13) (11-12)(11-13) (x-11)(x-13) (12-11)(12-13) 0.207912 (x-11)(x-x 12) (13-11)13-12)0.224951 + +) ( ) ( , 0 ) ( x f x L x R nn ≡ = 即第二章 插值法知识点：拉格朗日插值法，牛顿插值法，余项，分段插值。

Newton 插值法Lagrange 插值多项式的一个缺点是没有承袭性质，增加插值节点时，需要重新计算所有插值基函数。

牛顿插值多项式克服了这一缺点：增加一个节点时，可在原插值多项式基础上增加一项构成高一阶的插值多项式。

（1）差商即其性质证 采用数学归纳法即证性质2差商与节点排列顺序无关。

（2）线性牛顿插值设互异y 0=f (x 0)，y 1=f (x 1),构造线性插值函数的牛顿格式N 1(x )使y 0= N 1 (x 0)，y 1= N 1 (x 1)。

利用点斜式，构造N 1(x )=a 0+a 1(x-x 0) 由f (x 0)=N 1 (x 0)= a 0f (x 1)= N 1 (x 1)= f (x 0) +a 1(x 1-x 0得N 1 (x )= f (x 0) +(x-x 0) （3）二次牛顿插值上的二在节点定义 设函数 y=f(x) 在区间 [ a , b ] 上 n +1 个互异节点 0 { x j } n处的值 为： y i = f(x i ) （ i =0,1,2, …,n ） - ① 称 ji j i j i x x x f x f x x f - ∆) () ( ] , [ 为 f(x) 在节点 x i, 上的一阶差商；② 称 ki k j j i k j i x x x x f x x f x x x f -- ∆ ] , [ ] , [ ] , , [ 为 在节点 阶差商 ； 依次类推 ：③ 称 nn n n x x x x x f x x x f x x x f - - ∆- 0 2 1 1 1 0 1 0 ],..., , [ ] ,... , [ ] ,..., , [ 为 上的 n 阶差商.x j f(x) x k x j, x i, f(x)x 0, x 1, …, x n ))....( )( ( ) ( ) () ( ] ,..., , [ ) ,..., 2 , 1 , 0 ( ) ( ] ,..., , [ 1 1 0 0 ' 1 0 1 0 n nj j j nj n x x x x x x x x x f x x x f n j x f x x x f n - - - = = = ∑ = ω ω 其中 的线性组合，即 函数值 是阶差商 性质 ] , [ 1 0 x x f ) ( ) ( 01 0 1] , [ 1 0 x x f x x x f x f = - - a 1=设互异y 0=f (x 0)，y 1=f (x 1), y 2=f (x 2),构造二次牛顿插值多项式N 2(x )使y 0= N 2(x 0)，y 1= N 2(x 1)，y 2=N 2(x 2)。

令N 2(x )=a 0+a 1(x-x 0) +a 2(x-x 0) (x-x 1)因在构造N 1 (x )过程中已得a 0和a 1，只要求出a 2即可 由f (x 2)=N 2(x 2)= f (x 0) + (x 2-x 0)+a 2(x 2-x 0)(x 2-x 1得N 2(x 2)= f (x 0) + (x 2-x 0)+ (x 2-x 0)(x 2-x 1)(4)一般情况设互异y i =f (x i )，i=0,1,…,n 。

构造n 次牛顿插值多项式N n (x )使y i = N n (x i )，i=0,1,…,n,。

根据差商定义分段插值（1）高阶插值与龙格现象构造插值多项式时，根据误差表达式，是否多取插值点比少取插值点好？不一定！若被插函数是多项式，则多取插值点比少取插值点好。