蓉城名校联盟2019~2020学年度上期高中2019级期末联考数学考试时间共120分钟,满分150分注意事项:1.答题前,考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚,考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案;非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答,超出答题区域答题的答案无效;在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|15,}A x x x =-≤≤∈N ,{}|28xB x =≤,则A B ⋂=( ) A .{1,0,1,2,3}-B .{0,1,2,3}C .[1,3]-D .[0,3]2.设向量(12,)b n =,(1,2)c =-,若b c ,则n =( )A .6B .6-C .24D .24-3.已知函数26()3(1)x f x a a -=+>的图象过定点A ,且点A 在角θ的终边上,则tan θ的值为( ) A .43B .34C .45D .354.设sin48a =︒,cos41b =︒,tan46c =︒,则下列结论成立的是( ) A .b a c << B .c a b << C .a b c <<D .b c a <<5.函数()2()ln 421f x x x =--的单调递减区间为( ) A .(,2)-∞B .(,3)-∞-C .(2,)+∞D .(7,)+∞6.若12()(lg 1)m f x m x -=+为幂函数,则(3)f =( )A .9B .19C D .37.已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则54f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A .1 B .12C .0D.28.ABC △中,D 为BC 边上一点,且5BC BD =,若AD mAB nAC =+,则2n m -=( )A .25B .35-C .25-D .359.已知函数()f x 的定义域为(1,4),则函数()12()log x g x f x -=+ )A .(1,3)B .(0,2)C .(1,2)D .(2,3)10.已知函数()sin(5)(0)f x x ϕϕπ=+为偶函数,则函数1()2cos 23g x x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为( ) A.[-B .[1,2]-C .[2,2]- D.[11.函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为( ) A .3B .2C .1D .012.已知函数222,0()|ln |,0x kx k x f x x x ⎧++=⎨>⎩,若关于x 的不等式()f x k 的解集为[,][,]m n a b ⋃,且n a <,127232mn ab k +-<,则实数k 的取值范围为( ) A .54,167⎛⎫⎪⎝⎭B .14,87⎛⎫ ⎪⎝⎭C .15,88⎛⎫ ⎪⎝⎭D .14,27⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若向量(7,5)a =,b 为单位向量,a 与b 的夹角为3π,则a b ⋅=______. 14.已知一个扇形的面积为26cm π,弧长为2cm π,圆心角为θ,则函数()tan(2)f xx θ=+的单调递增区间为______.15.奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立,且01x 时,()21xf x =-,则()2log 11f =______.16.函数251612()sin (0)236x x f x x x x ππ-+⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的最小值为_______. 三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.求下列表达式的值. (1)202ln 2lg5lg (lg31)5e +++-; (2)已知:1sin 2α=,sin cos 0αα⋅<. 求:sin(2)cos()sin()sin 2cos 22παπαπαππαα-+--+⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.18.如图,平行四边形OABC 的一边OA 在x 轴上,点(4,0)A ,(1,2)C ,P 是CB 上一点,且CP CB λ=.(1)当12λ=时,求点P 的坐标; (2)连接AP ,当A 为何值时,OP AP ⊥.19.已知定义在R 上的函数1()(0)1x xa f x a a -=>+. (1)判断函数的奇偶性,并加以证明;(2)当2a =时,判断函数()f x 的单调性并加以证明;并求()10f x m +-=在[1,2]-上有零点时,m 的取值范围.20.某同学学习习惯不好,把黑板上老师写的表达式忘了,记不清楚是()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=->> ⎪⎝⎭还是()cos()00,02f x Ax A πωϕωϕ⎛⎫=->> ⎪⎝⎭ .翻出草稿本发现在用五点作图法列表作图时曾算出过一些数据(如下表).(1)请你帮助该同学补充完表格中的数据,写出该函数的表达式()f x ,并写出该函数的最小正周期; (2)若利用sin y x =的图象用图象变化法作()y f x =的图象,其步骤如下:(在空格内填上合适的变换方法)第一步:sin y x =的图象向右平移ϕ=_____得到1y =_____的图象; 第二步:1y 的图象(纵坐标不变)______得到2y =_____的图象; 第三步:2y 的图象(横坐标不变)_____得到()f x 的图象. 21.已知:向量(2,)a m m =,(sin cos ,2sin cos )b θθθθ=+. (1)当1m =,2πθ=时,求||a b -及a 与b 夹角的余弦值;(2)若给定sin cos [θθ+∈,0m ,函数()sin cos f a b θθθ=⋅++的最小值为()g m ,求()g m 的表达式.22.已知:函数()f x =()m ∈R .(1)若()f x 的定义域为R ,求m 的取值范围;(2)设函数()()g x f x x =-,若(ln )0g x ,对于任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦总成立.求m 的取值范围.蓉城名校联盟2019~2020学年度上期高中2019级期末联考数学参考答案及评分标准一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.14.5,212212k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭,k Z ∈ 15.511- 16.52三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解:(1)原式2ln 2lg5lg2lg51e =++-+2lg5lg21=+++4=(2)1sin 2α=,sin cos 0αα<,cos 0cos αα∴<⇒=原式sin()cos()sin()cos()2sin()ααααα---+=+2cos 3cos 2sin ααα⎛-- -===+ 18.解:设点(,)P x y ,(1,2)C ,(4,0)A又平行四边形OABC ,(4,0)OA CB == 由CP CB λ=,即(1,2)(4,0)x y λ--=14x λ∴=+,2y =(1)当12λ=时,即:3x =,2y = (3,2)P ∴(2)(14,2)OP λ=+,(43,2)AP λ=- 由OP AP ⊥,0OP AP ∴⋅=即(41)(43)40λλ+-+=,216810λλ-+=410λ-=,14λ=19.解:(1)当1a =时,()0f x =,()f x 既为奇函数又为偶函数②当1a ≠时,1()(0)1x x a f x a a -=>+为奇函数证明:1111()()01111x x x xx x x xa a a a f x f x a a a a------+-=+=+=++++ ()f x ∴为奇函数(2)当2a =时,21()21x x f x -=+为增函数证明:任取21x x >,则()()21212121212121x x x x f x f x ---=-++ ()()2121122121222122212121x x x x x x x x x x +++---+-+=++ ()()()21212222121x x x x -=++21x x >,21220x x >>()f x ∴在R 上为增函数21()21x x f x -∴=+在[1,2]-上的值域为:13,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦要使()10f x m +-=在[1,2]-上有零点,则28,35m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦20.解:(1)()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 最小正周期T π=(2)第一步:sin y x =的图象向右平移6πϕ=(个单位长度)得到1sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象. 第二步:1y 的图象(纵坐标不变)横坐标变为原来的12倍得到2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.第三步:2y 的图象(横坐标不变)纵坐标变为原来的3倍得到()f x 的图象 21.解:(1)当1m =,2πθ=时,(2,1)a =,(1,0)b =(1,1)a b -=,||2a b ∴-=2cos ,||||5a b a b a b ⋅<>===⋅(2)()sin cos f a b θθθ=⋅++2(sin cos )2sin cos sin cos m m θθθθθθ=++++令sin cost θθ+=,则22sin cos 1t θθ⋅=-,[t ∈设22()2(21)ht mt mt m t mt m t m =+-+=++-,[t ∈ ①当0m =时,()h t t =,min ()(h t h == ②当0m <时,函数()h t 的对称轴为112t m ⎛⎫=-+⎪⎝⎭(或212m t m+=-) 当1102m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭(或2102m m +->),即102m >>-时, min ()((1h t h m ==-当1102m ⎛⎫-+⎪⎝⎭(或2102m m +-),即12m -时,min()1)h t hm ==+1(102()1(12m m g m m m ⎧---<⎪⎪∴=⎨⎪++-⎪⎩22.解:(1)函数()f x 的定义域为R ,即210mx mx -+在R 上恒成立当0m =时,10≥恒成立,符合题意 当0m ≠时,必有0040m m >⎧⇒<⎨∆⎩综上:m 的取值范围是[0,4] (2)()()g x f x x x =-=(ln )0g x ∴,对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦总成立,等价于220(ln )ln 1(ln )m x m x x -+在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦总成立即:222(ln )ln 10(ln )ln 1(ln )m x m x m x m x x ⎧-+⎨-+⎩(*)在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立 设:ln t x =,因为2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦,所以[1,2]t ∈,不等式组(*)化为()()222101m t t m t t t⎧-+⎪⎨-+⎪⎩[1,2]t ∈时,20t t -(当且仅当1t =时取等号) 1t =时,不等式组显然成立当(1,2]t ∈时,()()22222211011m m t t t tt m t t t m t t ⎧⎧-⎪-+⎪⎪⎪-⇒⎨⎨--+⎪⎪⎪⎪-⎩⎩恒成立 2211121124t t t -=--⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,即12m -221111t t t t t t -+==+-在(1,2]上递减,所以11t+的最小值为32,32m 综上所述,m 的取值范围是13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.解析:12.易知当0k >,0x 时,22227()224k f x x kx k x k ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭,()f x 的图象如图所示.当直线y k =在图中1l 的位置时,22724k k k <<,得1427k <<, ,m n 为方程2220x kx k k ++-=的两根,即2220x kx k k ++-=的两根, 故22mn k k =-; 而1ab =则2211327212122232mn ab k k k k k k +-=-+-=-+<, 即2644850k k -+<,解得1588k <<,所以1427k <<;当直线y k =在图中2l 的位置时,22k k 且0k >,得102k<;此时0n = 则112712232mn ab k k +-=-<,得51162k <≤.所以,k 的取值范围是54,167⎛⎫⎪⎝⎭.16.2251616()533x x g x xx x -+==+-=+,当4x =时,()3g x =; 因为121sin 2362x ππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭,所以5()2f x ;而5(4)2f =,所以min 5()2f x =.。