L2 (x) l0 (x) y0 l1(x) y1 l2 (x) y2
其中
l0
(x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
l2
(x)
(x ( x2
x0 x0
)(x x1) )(x2 x1)
这就是本章要讨论的“插值问题”
函数插值的定义
粗略地说，函数插值是对函数的离散数据建立简
单的数学模型。
设 y = f(x) 是区间 [a,b] 上的连续函数，记作
f C[a,b] 。已知 f 在 [a,ห้องสมุดไป่ตู้] 上n+1个互异点
a≤x0,x1,…,xn-1,xn≤b, xi ≠ xj (i≠j)
处的值
yi = f(xi), i=0,1,2, …,n
(2.5)
推广到一般情形——拉格朗日插值公式
n
Ln (x) yklk(n) (x) y0l0(n) (x) y1l1(n) (x) ynln(n) (x)
k 0
(2-6) 拉格朗日
其中
插值公式
l ( n )
k
(x)
(x x0 (x k x0 )
)(x (xk
xk1)(x xk1) (x xk1)(xk xk1) (xk
第二章 数据处理技术 ——插值与拟合
§2.1 插值方法
引例
【例2-1】已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（m） 466 741 950 1422 1634 水温（oC） 7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米， 600米，1000米…）处的水温。
0.53625
l1(1708)
(1708 1673)(1708 (1773 1673)(1773
1873) 1873)
0.5775
l2
(1708)
(1708 (1873
1673)(1708 1673)(1873
1773) 1773)
0.11375
L(x) l0 (x) y0 l1(x) y1 l2 (x) y2
L(1708) 0.53625 2.3136 0.5775 2.3354 0.11375 2.3563 2.3213
C1708 CO2
2.3213
kJ/(Nm3
K)
【例 2-4】已知某液体的粘度－温度关系，E330＝60 Pa·S， E350＝30 Pa·S， E375＝10 Pa·S， E410＝5 Pa·S。 求T＝340 K时的粘度值。
解：取n=2, 代入拉格朗日公式，得E340＝48.5 Pa·S 取n=3, 代入拉格朗日公式，得E340＝48.056 Pa·S
T
330
340
350
375
410
428
若有不超过n次的多项式
Ln x c0 c1x c2x2 cnxn 满足
Ln xi yi i 0,1, n
(2.1)
则称Ln(x) 为函数 f(x) 在区间 [a,b] 上通过点列
{xi
}n i=0
的插值多项式。
其中，[a,b] 称为插值区间，
{xi
}n i=0
称为插值节点，
求函数值f(x) 的点x (x≠xi) 称为插值点，
(2.2)
L1 ( x)
y
y0
x x1 x0 x1
y1
x x0 x1 x0
(2.3)
n = 2 抛物线插值
n = 2 时，构造通过三个点 (x0,y0)， (x1,y1) 和 (x2,y2) 的多项式如下：
L2 (x)
y
y0
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y1
解：令
x0 = 1673 y0 = 2.3136
x1 = 1773 y1 = 2.3354
x2 = 1873 y2 = 2.3563
抛物线插值法
分别将值带入l0(x)、l1(x) 和 l2(x)。
l0 (1708)
(1708 1773)(1708 (1673 1773)(1673
1873) 1873)
用这种方法所得的近似公式叫插值公式，已知的数据点叫节点。
插值方法
Newton插值 Hermite插值 样条插值 Lagrange插值
拉格朗日插值法
怎样构造插值函数 Ln(x) ？
从 n = 1，n = 2 推广到一般情况。
n = 1 线性插值
y y0 y1 y0 x x0 x1 x0
(x (2
0)( x 0)(2
1) 1)
1 6
x(x
1)
代入式 (2-5)得
L2
(x)
1
l (2)
0
(x)
5 l1(2)
(x)
(1)
l2(2)
(x)
x2
3x
1
【例 2-3】已知CO2在1673K、1773K、1873K时的热容分 别为2.3136、2.3354、2.3563 kJ/(Nm3K)。求CO2在1708 Ｋ时的热容。
xn ) xn
)
n j0
x xj xk x j
jk
k = 0, 1, 2, …, n
(2-7)
拉格朗日 插值基函数
【例 2-2】已知函数 f(x)的三个点 (0,1), (-1,5) 和 (2,-1), 写出 拉格朗日插值基函数，并用公式(2-5)求2次插值多项式L2(x)。 解：
x0 = 0
f(x) 称为被插函数，
Ln(x) 称为插值函数，
式（2.1)称为插值条件。
简单地说，插值法就是根据一组数据点（x1, y1）,（x2, y2）,…, （xn, yn）建立一个便于计算的初等函数或 曲线 y = f(x)，使它通 过这些给定的数据点：
f(x1) = y1， f(x2) = y2，…， f(xn) = yn
x1 = -1
x2 = 2
这里 ny0==21，由式 (2-5y)1 得= 5知三个拉格y朗2 =日-1插值基函数为
l (2)
0
(x)
(x (0
1)( x 1)(0
2) 2)
1 2
(x
1)( x
2)
l(2)
1
(
x)
(x (1
0)(x 2) 0)(1 2)
1 3
x(x
2)
l (2)
2
(x)
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y2
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
(2.4)
这样的L2(x) 满足插值条件L2(x0)= y0， L2(x1)= y1， L2(x2)= y2。 它的几何意义是通过三个插值点的抛物线。
式 2-4 也可写成：