2 2 知识点 2：等差数列的判定 1知识点 1、等差数列的性质知识点 3：等差数列的递推关系式数列（2018 秋 6）记等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 3 = 0 ， a 6 + a 7 = 14 ，则 S 7 =答案：14（2018 春 5）已知{a n }是等差数列，若a 2 + a 8 = 10 ，则a 3 + a 5 + a 7 =．答案：1（2017 秋 15）已知数列 x n =a n 2+ b n + c , n ∈ N *，使得 x ,x 200+ k , x 300+ k成等差数列的必要条件是 （ ） A. a ≥ 0 B. b ≤ 0C. c = 0D. a - 2b + c = 0答案：A（2013 年文 22）已知函数 f (x ) = 2 - x ，无穷数列{a n } 满足a n +1 = f (a n ) ， n ∈ N * ．（1）若a 1 = 0 ，求a 2 , a 3 , a 4 ；（2） 若a 1 > 0 ，且 a 1, a 2 , a 3 成等比数列，求 a 1 的值；（3） 是否存在 a 1 ，使得 a 1 , a 2 , , a n , 成等差数列？若存在，求出所有这样的 a 1 ；若不存在，说明理由．解：（1） a 2 = 2 ， a 3 = 0 ， a 4 = 2 ．（2）a 2 = 2 - a 1 = 2 - a 1 ， a 3 = 2 - a 2 = 2 - 2 - a 1 ．① 当0 < a ≤ 2 时， a= 2 - (2 - a ) = a ，所以a 2 = (2 - a )2 ，得a = 1．1311111② 当 a > 2 时， a = 2 -(a - 2) = 4 - a ， 所以 a (4 - a ) = (2 - a )2， 得 a = 2 -1311（舍去）或a 1 = 2 + ．1111综合①②得a = 1或 a 1 = 2 + ．（3）假设这样的等差数列存在，那么 a 2 = 2 - a 1 ， a 3 = 2 - 2 - a 1 ．由 2a = a + a 得2 - a + 2 - a = 2a （ * ）． 2131 1 1以下分情况讨论：2100+ k1 1 n 1 ⎨ ⎩① 当a > 2 时，由（* ）得a = 0 ，与a > 2 矛盾； 11 1② 当0 < a ≤ 2 时，由（ * ）得a = 1，从而a =1 所以{a n }是一个等差数列；(n = 1, 2, ) ，③ 当a ≤ 0时，则公差 d = a 2 - a 1 = (a 1 + 2) - a 1 = 2 > 0 ，因此存在m ≥ 2 使得a m = a 1 + 2(m -1) > 2 ．此时 d = a m +1 - a m = 2 - a m- a m < 0 ，矛盾．综合①②③可知，当且仅当a 1 = 1时， a 1 , a 2 , a 3 构成等差数列．（2013 理 23）给定常数 c > 0 ，定义函数 f (x ) = 2 x + c + 4 - x + c 满足a n +1 = f (a n ) ， n ∈ N * ． （1）若 a 1 = -c - 2 ，求 a 2 及 a 3 ；（2） 求证：对任意 n ∈ N * ， a n +1 - a n ≥ c ；．数列 a 1 , a 2 , a 3 ,（3） 是否存在 a 1 ，使得 a 1 , a 2 , , a n , 成等差数列？若存在，求出所有这样的 a 1 ；若不存在，说明理由．解：（1） a 2 = 2, a 3 = c +10 ．⎧ x + c + 8, x ≥ -c ,（2） f ( x ) = ⎪3x + 3c +8, -c - 4 ≤ x < -c , ⎪-x - c - 8, x < -c - 4.当a n ≥ -c 时， a n +1 - a n = c + 8 > c ；当-c - 4 ≤ a n < -c 时， a n +1 - a n = 2a n + 3c + 8 ≥ 2(-c - 4) + 3c + 8 = c ；当 a n < -c - 4 时， a n +1 - a n = -2a n - c - 8 ≥ -2(-c - 4) - c - 8 = c ．n +1 nnn +1 nn21所以，对任意 n ∈ N * ， a - a ≥ c ．方法二： 要证： 2 x + c + 4 - x + c - x ≥ c2 x + c + 4 ≥ x + c + x + c当 x + c < 0 时，等式右边为 0，不等式显然成立当x + c ≥ 0 时，等式化为2 ( x + c + 4) ≥ 2 ( x + c ) 显然（3）由（2），结合c > 0 得 a > a ，即{a n }为无穷递增数列．又{a n }为等差数列，所以存在正数M ，当 n > M 时， a ≥ -c ，从而， a n +1 = f (a n ) = a n + c + 8 ．由于{a n }为等差数列，因此其公差 d = c + 8 ．① 若a 1 < -c - 4 ，则 a 2 = f (a 1 ) = -a 1 - c - 8 ，又 a 2 = a 1 + d = a 1 + c + 8 ，故-a 1 - c - 8 = a 1 + c + 8 ，即a 1 = -c - 8 ，从而 a 2 = 0 ． 当 n ≥ 2 时，由于{a n }为递增数列，故 a ≥ a = 0 > -c ，所以， a n +1 = f (a n ) = a n + c + 8 ，而a = a + c + 8 ，故当a 1 21= -c - 8 时，{a n }为无穷等差数列，符合要求；② 若-c - 4 ≤ a < -c ，则a 2 = f (a 1 ) = 3a 1 + 3c + 8 ，又a= a + d = a + c + 8 ，1211所以， 3a 1 + 3c + 8 = a 1 + c + 8 ，得a 1 = -c ，舍去；③ 若a 1 ≥ -c ，则由 a n ≥ a 得到 a n +1 = f (a n ) = a n + c + 8 ， 从而{a n }为无穷等差数列，符合要求．综上， a 1 的取值集合为[-c , +∞) {-c - 8} ．n 知识点 4：等比数列的性质（2015 理 17）记方程①： x 2 + a x +1 = 0 ，方程②： x 2 + a x + 2 = 0 ，方程③：12x 2 + a x + 4 = 0 ，其中 a , a , a 是正实数．当 a , a , a 成等比数列时，下列选项中，能推出3123123方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根答案：B（ 2011 理 18） 设{a }是各项为正数的无穷数列， A i 是边长为 a , a的矩形面积（ni = 1, 2, ），则{A n } 为等比数列的充要条件为 （ ）ii +1A {a n }是等比数列B a 1 , a 3 , , a 2n -1 , 或 a 2 , a 4 , , a 2n , 是等比数列C a 1 , a 3 , , a 2n -1 , 和 a 2 , a 4 , , a 2n , 均是等比数列D a 1 , a 3 , , a 2n -1 , 和 a 2 , a 4 , , a 2n , 均是等比数列，且公比相同 答案：D（ 2016 文 22） 对 于 无 穷 数 列{a n }与 {b n }， 记 A = {x | x = a , n ∈ N *}， B = {x | x = b , n ∈ N *} ，若同时满足条件：① {a }，{b }均单调递增；② A B = ∅ 且nnnA B = N * ，则称{a n }与{b n }是无穷互补数列．（1） 若a n = 2n-1， b n = 4n - 2 ，判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2） 若a= 2n 且{a }与{b }是无穷互补数列，求数列{b }的前 16 项的和；nnnn知识点 6：等差数列与等比数列综合 知识点 5：等比数列的判定⎩⎩n +1 n +1 n（3） 若{a n }与{b n }是无穷互补数列，{a n }为等差数列，且 a 16 = 36 ，求{a n }与{b n }的通项公式．【解】（1）因为4 ∉ A , 4 ∉ B ，所以4 ∉ A B ，从而{a n }与{b n }不是无穷互补数列．（2）因为a 4= 16 ，所以b 4 = 16 + 4 = 20 ．数列{b n }的前 16 项 的 和 为 ：(1+ 2 + + 20) - (2 + 22 + 23 + 24 ) = 1+ 20 ⨯ 20 - (25 - 2) = 180 ．2（3）设{a}的公差为d , d ∈ N *，则 a = a +15d = 36 ．由a = 36 -15d ≥ 1，得d = 1n或2 ．1611若 d = 1 ，则 a 1 = 21， a n = n + 20 ，与“{a n }与{b n }是无穷互补数列”矛盾； 若d = 2 ，则a = 6 ， a= 2n + 4 ，b = ⎧n ,n ≤ 5 ．1nn⎨2n - 5 , n > 5综上， a= 2n + 4 ，b = ⎧n ,n ≤ 5 ．nn⎨2n - 5 , n > 5（2014 年理 23）已知数列{a n } 满足 1 a ≤ a ≤ 3a ， n ∈ N * ， a = 1．3 nn +1 n 1（1） 若a 2 = 2, a 3 = x , a 4 = 9 ，求x的取值范围；（2） 设{a }是公比为q 的等比数列， S= a + a + + a ．若 1S ≤ S ≤ 3S， n ∈ N * ，n求q 的取值范围；n 1 2 n3 nn +1n（3） 若 a 1 , a 2 , , a k 成等差数列，且 a 1 + a 2 + + a k = 1000 ，求正整数k的最大值， 以及k 取最大值时相应数列 a 1 , a 2 , , a k 的公差．解：（1）由条件得 2 ≤ x ≤ 6 且 x≤ 9 ≤ 3x ，解得3 ≤ x ≤ 6 ．所以x 的取值范围是 x ∈[3, 6] ．（2） 由 1 a ≤ 3a 3 ，且 a 3= a q n -1 ≠ 0 ，得 a > 0 ，所以 1 S ≤ S ．又 1 a ≤ a≤ 3a ，3 n n n 1 所以 1≤ q ≤ 3 ．3n 3 nn +13 n n +1 n 当 q = 1 时， S n = n ， S = n +1 ，由 n +1 ≤ 3n 得 S ≤ 3S 成立． 当 q ≠ 1时， S n +1 ≤ 3S n1- qn +1．即1- q1- q n 3⋅ 1- q ． ≤⎩ ① 若1 < q ≤ 3 ，则 q n (3 - q ) ≥ 2 ．由 qn≥ q ， n ∈ N * ，得 q (3 - q ) ≥ 2 ，所以1 < q ≤ 2 ．② 若 1 ≤ q < 1 ，则 q n (3 - q ) ≤ 2 ．由 q n ≤ q ， n ∈ N * ，得 q (3 - q ) ≤ 2 ，所以 1≤ q < 1 ．3 3综上， q 的取值范围为⎡1 , 2⎤．⎢⎣ 3 ⎥⎦（3） 设a , a , a 的公差为d ．由 1a ≤ a ≤ 3a ，且a 1 = 1，12k13n n +1 n⎧(2n +1)d ≥ -2, 得 [1+ (n -1)d ] ≤ 1+ nd ≤ 3[1+ (n -1)d ]， 3 n = 1, 2, , k -1 ． 即 ⎨(2n - 3)d ≥ -2,n = 1, 2, , k -1 ．当 n = 1 时， - 2≤ d ≤ 2 ；3当 n = 2, , k -1 时，由 -2 > -2 ，得d ≥ -2 ，所以 d ≥ -2 ≥ - 2．2n +1 2n - 3 2n +1 2k -13所以1000 = ka 1+k (k -1) d ≥ k + k (k -1) ⋅ -2 ，即 k 2 - 2000k +1000 ≤ 0 ，得k ≤ 1999 ．2 2 2k -1所以k 的最大值为 1999， k = 1999 时， a , a , a 的公差为-1． 1 2 k1999（2014 文 23）已知数列{a n }满足 1 a ≤ a ≤ 3a , n ∈ N *, a = 1．3 nn +1 n 1（1） 若a 1 = 2, a 3 = x , a 4 = 9 ，求x的取值范围； （2） 设{a }是等比数列，且a =1，求正整数 m 的最小值，以及 m 取最小值时相应{a n }n的公比；m1000（3） 若 a 1, a 2 , , a 100 成等差数列，求数列 a 1, a 2 , , a 100 的公差的取值范围．解：（1）由条件得 2 ≤ x ≤ 6 且 x≤ 9 ≤ 3x ，解得3 ≤ x ≤ 6 ．所以x 的取值范围是 x ∈[3, 6] ．3 3（2）设{a }的公比为q ．由 1a ≤ 3a ，且 a = a q n -1 ≠ 0 ，得 a > 0 ．因为 1 an ≤ a ≤ 3a 3 n n，所以 1 ≤ q ≤ 3 ．从而n 1 1 = a q m -1 = q m -1 ≥ n 1m -1 ， 3m -1 ≥ 1000 ，解3 n n +1 n 3 得m ≥ 8 ．1 1000 1(3)m = 8 时， q =[ , 3]．所以， m 的最小值为8 ， m = 8 时，{a n }的公比为 ．310a - x a （ 3） 设数列 a , a , a的公差为 d ． 由 1 a ≤ a + d ≤ 3a ， - 2a ≤ d ≤ 2a ， 1 2 100n = 1, 2, , 99 ．3 n n n 3 nn① 当d > 0 时， a 99 > a 98 > > a 2 > a 1 ，所以0 < d ≤ 2a 1 ，即0 < d ≤ 2 ． ② 当d = 0 时， a 99 = a 98 = = a 2 = a 1 ，符合条件． ③当d < 0 时 ，a < a << a< a ， 所 以- 2 a≤ d ≤ 2a ，999821- 2(1+ 98d ) ≤ d ≤ 2(1+ 98d ) ， 3399 99 又d < 0 ，所以- 2199≤ d < 0 ．综上， a 1, a 2 , a 100 的公差的取值范围为[- 2199, 2]．（2012 文 14）已知 f (x ) =1，各项均为正数的数列{a } 满足 a = 1 ， a= f (a ) ， 若1+ xa 2010 = a 2012 ，则 a 20 + a 11 的值是．n 1 n +2n答案：26解：由a = 1， a= f (a ) ，得 a = 1 ， a = 2 , a = 3 , a = 5 , a = 8 1n +2 n3 2 5 3 7 5 9 8 11 13由 a= f (a ) ， 得a =1-1 ， a = a ， a = 1 -1 = 1 -1 ， n +2na n +2 2010 20122010 a 2012 a 2010a=5 -1 ， a = 1 -1 = a，依次类推，得全体偶数项相等， a = a 20102 2008 a 20102010 2 2010所以a + a = 8+5 -1 = 3 +13 52011132 26（2017 春 21）已知函数 f ( x ) = log （1）解方程 f( x ) = 1；1+ x21- x（2）设 x ∈(-1,1), a ∈(1, +∞), 证明： ax -1 ∈(-1,1) ，且f ⎛ ax -1 ⎫ - f ( x ) = - f ⎛ 1 ⎫ ； a - x⎪ ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭知识点 7：数列的递推关系式与函数 3 + 13 5 n⎝（3）在数列{x } 中， x ∈(-1,1) ， x= (-1)n +13x n -1， n ∈ N * ，求 x 的取值范围，n1n +13 - x n使得 x 3 ≥ x n 对任意 n ∈ N * 成立 答案：（1） x = 1； （3） ⎛-1,1 ⎤；33⎥⎦1知识点8：数列的前n 项和（2016 理11）无穷数列{a n}由k 个不同的数组成，S n为{a n}的前n 项和.若对任意n∈N*，知识点 9：数列的单调性和最值知识点 10：数列的周期性S n ∈{2,3}，则 k 的最大值为.答案：4（2018 春 15）记 S n 为数列{a n } 的前 n 项和．“ {a n } 是递增数列”是“ S n 为递增数列”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ） 充要条件（D ）既非充分也非必要条件答案：D（2015 理 22 文 23）已知数列{a n }与{b n }满足 a n +1﹣a n =2（b n +1﹣b n ），n ∈N *．（1） 若 b n =3n+5，且 a 1=1，求数列{a n }的通项公式；（2） 设{a n }的第 n 0 项是最大项，即a n ≥ a n （n ∈N *），求证：数列{b n }的第 n 0 项是最大 项；（3） 设 a 1=λ＜0，b n =λn （n ∈N *），求 λ 的取值范围，使得{a n }有最大值 M 与最小值 m ，且M∈(-2, 2)． m答案：（1） 6n - 5 ；（3） ⎛ - 1 , 0 ⎫2 ⎪ ⎝ ⎭（2016 年理 23）若无穷数列{a n }满足：只要a 具有性质 P .p = a q ( p , q∈ N *) ，必有a = a q +1 ，则称{a n }（1）若{a n }具有性质P ，且a 1 = 1, a 2 = 2, a 4 = 3, a 5 = 2 ， a 6+ a 7+ a 8= 21，求a 3 ；（2） 若无穷数列{b n }是等差数列，无穷数列{c n }是公比为正数的等比数列， b 1 = c 5 = 1， b 5 = c 1 = 81， a n = b n + c n 判断{a n }是否具有性质 P ，并说明理由；（3） 设{b }是无穷数列，已知a= b + sin a (n ∈ N *) .求证：“对任意a ,{a }都具有性nn +1nn1n质 P ”的充要条件为“{b n }是常数列”.答案：（1） a 3 = 16 ；（2）由于 a 1 = a 5 ，但 a 2 ≠ a 6 ，故{a n } 不具有性质 P ；（3）证明：必要性：若对于任意 a 1 ， {a n }都具有性质 P ，则 a 2 = b 1 + sin a 1 ，设函数f ( x ) = x - b 1,g ( x ) = sin x , 由 f ( x ), g ( x ) 图像可得，对于任意的b 1 ，二者图像必有一个交点，所以一定能找到 a 1 ，使得 a 1 - b 1 = sin a 1 ，所以 a 2 = b 1 + sin a 1 = a 1 ，所以 a n = a n +1 ，p +1n n n n →∞知识点 11：数列的极限故b n +1 = a n +2 - sin a n +1 = a n +1 - sin a n = b n ，故{b n }是常数列（2013 理 1）计算： lim n + 20=．n →∞ 3n +13答案： 13（2018 秋 10）设等比数列{a } 的通项公式为 a = q n -1（ n ∈ N * ），前 n 项和为 S ，若lim S n = 1，则 q = n →∞ a n +12 答案：3（2017 年春 8）已知数列{a }的通项公式为 a = 3n，则lim a 1 + a 2 + + a n=答案： 32n n n →∞n（2015 理 18 文 18）设 P n ( x n , y n ) 是直线2x - y = nn +1(n ∈ N * ) 与圆 x 2 + y 2 = 2 在第一象限的交点，则极限limy n -1= （ ）n →∞ x n-1A 、 -1B 、 - 12C 、1D 、2解：当 n → ∞ 时，直线2x - y =nn +1趋近于2x - y = 1 ，与圆 x 2 + y 2 = 1 在第一象限的交点无限靠近(1,1) ，而y n -1可看成点 P (x , y ) 与(1,1) 连线的斜率，其值会无限接近圆x n -1nnnx 2 + y 2 = 2 在点(1,1) 处的切线的斜率，其斜率为-1，∴ limy n -1= -1n →∞ x n-1x 2 + ny 2 =（2013 文 18）记椭圆 4 4n +11围成的区域（含边界）为Ω (n = 1, 2, ) ，当点(x , y )分别在Ω1 , Ω2 , 上时， x + y 的最大值分别是 M 1 , M 2 , ，则lim M n = （）na知识点 13：数列与函数的性质结合n n →∞1 2 2 3 ⎝ n 2 知识点 12：无穷等比数列各项的和知识点 14：数列与三角函数结合 A ． 0 B ． 14C ． 2D ． 2 答案：D（2016 理 17）已知无穷等比数列{a n }的公比为q ，前 n 项和为 S n ，且lim S n →∞= S .下列条件 中，使得2S < S(n ∈ N * )恒成立的是（）（A ） a 1 > 0,0.6 < q < 0.7（B ） a 1 < 0,-0.7 < q < -0.6（C ） a 1 > 0,0.7 < q < 0.8 答案：B（D ） a 1 < 0,-0.8 < q < -0.7思考：a 1, q 需要满足答案： a < 0, q ∈⎛ - 2 , 0 ⎫ ⎛ 0, 1 ⎫1 2 ⎪ 2 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭（2014 理 8 文 10）设无穷等比数列{a n }的公比为q ，若 a 1 = lim (a 3 + a 4 + + a n ) ，则 q =答案：2（ 2009 文 13） 已 知 函 数 f (x ) = sin x + tan x ． 项 数 为 27 的 等 差 数 列 {a n }满 足a ∈ ⎛- ⎫ ,且 公 差d ≠ 0 ． 若f (a ) + f (a ) +⋯+ f (a ) = 0 ， 则 当 k ， ⎪ 2 ⎭1 2 27 =．时, f (a k ) =0 ． 答案：14（2015 理 13）已知函数 f( x ) = sin x ．若存在 x 1, x 2 , , x m 满足0 ≤ x 1< x 2< < xm≤ 6，且 f ( x ) - f ( x ) + f ( x ) - f ( x ) + + f (x ) - f ( x ) = 12 (m ≥ 2, m ∈ N * )，则 m 的最小值为．答案：8（2012 文 18）若 S = sin + sin 2+ ... + sin n（ n ∈ N * ），则在 S , S ,..., S 中，正n 7 7 71 210025 -1 m -1 m nn n 知识点 15：数列与矩阵结合 知识点 16：数列与不等式结合数的个数是（ ）A ．16B ．72C ．86D ．100答案；C（2012 理 18）设 a = 1 sin n ， S = a + a + + a ，在 S , S , , S 中，正数的个数是（ ）nn 25n 1 2 n 1 2 100 A ．25 B ．50C ．75D ．100答案：D（2013 理 17）在数列{a }中， a = 2n-1．若一个 7 行 12 列的矩阵的第i 行第 j 列的元素c i , j = a i ⋅ a j + a i + a j （ i = 1, 2, , 7 ； j = 1, 2, ,12 ），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）A ．18B ． 28C ． 48D ． 63答案：A（2018 秋 21）给定无穷数列{a } ，若无穷数列{b } 满足：对任意 n ∈ N * ，都有nn| b n - a n |≤ 1 ，则称{b n } 与{a n } “接近”.（1） 设{a } 是首项为 1，公比为 1的等比数列， b = a+1， n ∈ N * ，判断数列{b } 是n2否与{a n } 接近，并说明理由；nn +1n（2） 设数列{a n } 的前四项为： a 1 = 1， a 2 = 2 ， a 3 = 4 ， a 4 = 8 ，{b n } 是一个与{a n } 接近的数列，记集合 M = {x | x = b i ,i = 1, 2,3, 4}，求 M 中元素的个数 m ；（3） 已知{a n } 是公差为 d 的等差数列，若存在数列{b n } 满足：{b n } 与{a n } 接近，且在b 2 - b 1 ， b 3 - b 2 ， ⋅⋅⋅， b 201 - b 200 中至少有 100 个为正数，求 d 的取值范围.解析：（1） b - a = 1 - 1≤ 1 ，所以{b }与{a } “接近”；n n 2nn n（2） b 1 ∈[0, 2] ， b 2 ∈[1, 3] ， b 3 ∈[3, 5] ， b 4 ∈[7, 9] ，M = {x | x = b i ,i = 1, 2,3, 4} 元素个数 m = 3或4 ；（3） d = -2 时， b k +1 - b k ≤ 0, k = 1, 2, , 200 ， 即b 2 - b 1 ， b 3 - b 2 ，…， b 201 - b 200 中没有正数；当 d > -2 时，存在b 1 , b 2 , , b 201 使得b 2 - b 1 > 0 ，⎨q ≥ 2 n 知识点 17：数列应用题b 3 - b 2 < 0 ， b 4 - b 3 > 0 ， b 5 - b 4 < 0 …， b 200 - b 199 > 0 ， b 201 - b 200 < 0 ，即有 100 个正数，故d > -2 ．（2018 春 21）若{c n }是递增数列，数列{a n }满足：对任意 n ∈ N * ，存在 m ∈ N * ，使得a m - c n ≤ 0 ，则称{a }是{c }的“分隔数列”．a m - c n +1（1） 设c n = 2n ， a n = n +1，证明：数列{a n }是{c n }的“分隔数列”； （2） 设 c n = n - 4 ， S n 是{c n }的前n 项和， d n = c 3n -1 ，判断数列{S n } 是否是数列{d n }的分隔数列，并说明理由；（3） 设c = aqn -1， T 是{c }的前n 项和，若数列{T }是{c }的分隔数列，求实数 a 、q 的nnnnn取值范围．答案：（2）不是，反例： n = 4 时， m 无解；（3） ⎧a > 0⎩（2017 秋 19）共享单车问题：每月供应量 a⎧ 5n 4 +15 ⎨ n ∈[1,3] ， n ∈ N * ，每 n月损失量b n = n + 5(n ∈ N )，保有量Q 为 a*⎩-10n + 470 的累计量减去bnn ∈[4,+∞)的累计和；（1） 求第 4 月的保有量；（2） S = -(n - 46)2 + 8800 ，记 S n 为自行车停放点容纳车辆，当Q 取最大值时，停放点是否能容纳？n = n n“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。