一组空气污染数据的主成分分析一组空气污染数据的主成分分析AppliedMultivariateStatisticalAnalysis(5th Ed).PearsonEducati on,Inc.2003。
我看的是中国统计出版社（ChinaStatisticsPress）2003年发行的影印本。
第一题为原书第1.6题，即第1章的第6题，第二题为原书第8.12题，即第8章的第12题。
第二题用的是第一题的数据。
1习题1.6.ThedatainTable1.5are42measurementsonair-pollutionvariablesrecordedat12:00noonintheLos Angelesareaondifferentdays.(a)Plotthemarginaldotdiagramsforallthevariables.(b)Constructthe x,S n,and R arrays,andinterprettheentriesin R. TABLE1.5AIR-POLLUTIONDATAWind(x1)Solarradiation(x2)CO(x3)NO(x4)NO2(x5)O3(x6)HC(x7)710743953 710343563 1088528154 691428103 8905212124 9847412155 5726421144 7825111113 864521394 6715410337727418103 1070421173 1072418103 977419103 87641773 871531644 967421323 96933953 1062531444 9884276353033523 6835110234 88432763 6784211113 879217103 66243983 103731723 871411073 752411284 54865843103541692 885419102 586316122 5867213182 779749253 77952862 6686211143 84043652 Source8.12.p=7dimensionsifpossible.Conductaprincipalcomponentanal ysisofthedatausingboththecovariancematrix S andthecorrelationmatrix R.WhathaveyoulearnedDoesitmakeanydifferencewhichmatri xischosenforanalysisCanthedatabesummarizedinthreeorfewerdi mensionsCanyouinterprettheprincipalcomponents2部分解答2.1部分统计参数利用Excel计算的平均值（x）和标准差Wind Solarradiation CO NO NO2O Average7.573.857143 4.5476192.190476210.0476199.404 Stdev1.581138817.3353881.23372091.08735743.37098375.565 Excel给出的协方差矩阵SWind Solarradiation CO NO NO2 Wind 2.4404762Solarradiation-2.714286293.36054CO-0.369048 3.81632651.4858277NO-0.452381-1.3537410.6575964 1.154195NO2-0.571429 6.60204082.25963721.062358311.092971 O3-2.17857130.0578232.7545351-0.7913833.0521542 HC0.16666670.60884350.1383220.17233561.0192744 Excel给出相关系数矩阵RWind Solarradiation CO NO NO2 Wind1Solarradiation-0.1014421CO-0.1938030.18279341NO-0.269543-0.0735690.50215251NO2-0.1098250.1157320.55658380.29689811 O3-0.2535930.31912370.4109288-0.1339520.1666422 HC0.15609790.05201040.16603230.23470430.4477678从相关系数矩阵可以看出，CO与NO、NO2相关性明显，O3与Solarradiation、CO相关性明显。
后面的主成分分析将CO与NO、NO2归并到一个主成分，将O3与Solarradiation归并到一个主成分，将HC、Wind归并到一个主成分。
HC与Wind的相关系数并不高，但从正相关的角度看，二者的数值倒是最高的。
方差极大正交旋转之后，HC与CO、NO、NO2归并到一个因子，因为HC与NO2的相关系数较高，与CO、NO的相关系数高于其他变量。
2.2主成分分析之一——数据未经标准化下面是从相关矩阵R出发，SPSS给出的结果。
原始数据未经标准化。
所谓从R出发，就是在SPSS的FactorAnalysis:Extraction—Analysis选项中选中CorrelationMatrix。
SPSS给出的相关系数矩阵（CorrelationMatrix），与Excel计算的结果一样。
公因子方差（Communalities）表如下。
公因子方差变化于0.544～0.795之间，相差不是很大。
但是，公因子方差值没有达到0.8以上的，可见每一个变量体现在三个主成分中的信息都不超过80%。
特征根与方差贡献（TotalVarianceExplained）如下表。
可见提取三个主成分可以解释原来7格变量的70.384%。
主成分载荷矩阵（ComponentMatrix）见下表。
将上表从SPSS中复制到Excel中，进行涂色分类，结果如下表所示。
NO20.7612940.2351830.215682O30.496126-0.667490.175399HC0.4882570.3624660.593692主成分分类如下：第一主成分的主要相关变量：CO、NO、NO2。
第二主成分的主要相关变量：Solarradiation、O3。
第三主成分的主要相关变量：Wind、HC。
在主成分载荷图（ComponentPlot）中，三个变量分别落入三个不同的主成分代表的区域。
主成分得分表如下。
最后一栏对几个典型的样本给出了简单的解释。
注意解释的时候看清主成分载荷矩阵中载荷值的正负号。
Cas典型的说明es f1f2f3S10.615--2.3主成分分析之二——数据未经标准化下面是从协方差矩阵S出发，SPSS给出的结果。
原始数据未经标准化。
所谓从S出发，就是在SPSS的FactorAnalysis:Extraction—Analysis选项中选中CovarianceMatrix。
公因子方差（Communalities）表如下。
在未经处理的（Raw）公因子方差一栏，其Initial数值都是原始数据的方差。
不过与前面Excel 给出的协方差矩阵有所不同，Excel给出的是总体方差，SPSS给出的是抽样方差。
例如以Wind的Initial值为例，2.4404762×42/41=2.5，或者2.5×41/42=2.4404762（对照前面的协方差矩阵）。
重标的（Rescaled）结果是Extraction值与Initial值之比。
公因子方差的合计结果如下：Raw RescaledInitial Extraction Initial Extraction WIND 2.50.030665110.012266Solarradiation300.51568300.1336710.9987288CO 1.52206740.060166610.0395295NO 1.18234610.006750210.0057091NO211.3635310.179005910.0157527O330.9785133.845942810.1241487HC0.47851340.001667110.0034839合计348.54065304.257867 1.1996188特征根与方差贡献（TotalVarianceExplained）如下表。
在Raw 一栏中显示，提取一个主成分似乎可以解释原来7格变量的87.295%。
但重标之后显示的数值却是17.137%。
根据公因子方差表和合计结果，重标之前，全部的方差解释为304.25786/348.54065*100=87.295%；重标之后，全部的方差解释为1.1996188/7*100＝17.137%。
主成分载荷矩阵（ComponentMatrix）见下表。
可以看来，由于变量Solarradiation的方差很大，它绝对地控制了第一主成分。
2.4主成分分析之三——数据经过标准化下面是从协方差矩阵S出发，SPSS给出的结果。
原始数据经过标准化。
可以看到所有的结果重标前后一样，并且与从相关矩阵R出发计算的结果一样。
公因子方差（Communalities）表如下，重标前后的结果一样。
特征根与方差贡献（TotalVarianceExplained）如下表。
重标前后结果一样。
主成分载荷矩阵（ComponentMatrix）见下表，重标前后一样。
可以看到，第一主成分的相对重要性受到标准化的极大影响。
结论自然是：如果在极其不同的范围内测量变量，或者测量单位的量纲不同，变量必须经过标准化。
否则，应该从相关系数矩阵出发开展主成分分析。
2.5因子分析——方差极大旋转数据经过标准化，从任意矩阵出发，在因子分析中进行方差极大旋转（Varimax），载荷矩阵如下。
载荷矩阵和因子分类结果如下表。
HC0.70546980.07125040.46848940.7222466方差贡献 2.09993471.49369621.3332183可以看到，旋转之后三个因子的方差贡献差别缩小了。
2.6回答问题Whathaveyoulearned Doesitmakeanydifferencewhichmatrixischosenforanalysis CanthedatabesummarizedinthreeorfewerdimensionsCanyouinterprettheprincipalcomponents赠送常用精致线性可编辑小图标。