不等式知识点总结知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2 (2)若*,Rb a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+a bb a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b a ba +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注意：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x·1x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x·1x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项 例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
技巧二：凑系数例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。
技巧三： 分离换元 例：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++） 当,即t=时,4259y t t≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。
技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()a f x x x =+的单调性。
例：求函数224y x =+的值域。
24(2)x t t +=≥，则224y x +2214(2)4x t t t x =+=+≥+ 因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。
所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
技巧六：整体代换（“1”的应用）多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
例：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
错解：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭ 故 ()min 12x y += 。
错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥x y =，在19x y +≥等号成立条件是19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时，上式等号成立，又191x y+=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。
技巧七 例：已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a 2＋b 22。
同时还应化简1＋y 2 中y2前面的系数为 12， x 1＋y 2 ＝x 2·1＋y 22 ＝ 2 x·12 ＋y 22 下面将x ，12 ＋y 22分别看成两个因式： x·12 ＋y 22≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34 即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x 12 ＋y 22 ≤ 34 2 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值. 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b b ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b+1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t≥2t·16t＝8∴ ab≤18 ∴ y≥ 118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b≥2 2 ab ∴ 30－ab≥2 2 ab令u ＝ab 则u2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u≤3 2 ∴ab ≤3 2 ，ab≤18，∴y≥118点评：①本题考查不等式ab b a ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab b a ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 例: 求函数15()22y x =<<的最大值。
解析：注意到21x -与52x -的和为定值。
2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号。
故max y =。
2例：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥可由此变形入手。
解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=。
∴111a b c a a a -+-==≥11b -≥11c -≥等式两边均为正，分别相乘，得111221118ac ab a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
当且仅当13a b c ===时取等号。
3例：已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
解：令,0,0,x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky ∴++= 10312k k∴-≥⋅ 。
16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞ 4例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 . 分析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a21=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lgQ ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg( ∴R>Q>P 。