上海大学２0００年度研究生入学考试试题数学分析1、 设122(1)n n x x nx y n n +++=+,若lim n n x a →∞=，证明:(1)当a 为有限数时,lim 2n n ay →∞=；（2）当a =+∞时,lim n n y →∞=+∞.2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且[]0,1min ()1f x =-证明：[]0,1max ()8f x ''≥3、 证明：黎曼函数[]1, x= (0,,)()0,10,p q p q q q R x ⎧>⎪=⎨⎪⎩当为互质整数在上可积当x 为无理数. 4、 证明:12210()lim (0),t tf x dx f t x π+-→=+⎰其中()f x 在[]1,1-上连续.5、 设()1ln 11n n p a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,讨论级数2n n a +∞=∑的收敛性．6、 设()f x dx +∞⎰收敛且()f x 在[]0,+∞上单调,证明：01lim ()()h n h f nh f x dx ++∞+∞→==∑⎰．7、 计算曲面2222x y z a ++=包含在曲面22221(0)x y b a a b+=<≤内的那部分的面积.8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数1sin k kk +∞=∑的值. 上海大学２001年度研究生入学考试试题数学分析1、 计算下列极限、导数和积分：(1) 计算极限1lim();xx x +→ (2) 计算2()()x x f t dt ϕ=⎰的导数()x ϕ'，其中()f x 2,(1).1,(1)t t t t ≤⎧=⎨+>⎩ (3) 已知)211sin x x '⎤=⎥+⎦，求积分2011sin I dx x π=+⎰． (4) 计算()()22222()0x y z t f t xyz dxdydz t ++≤=>⎰⎰⎰的导数()f t '(只需写出()f t '的积分表达式).2、 设()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 上可导,若()()0f a f b >且()02a bf +=，试证明必存在(),a b ξ∈使得()0f ξ'=.3、 令(),1y F x y y xe =+-(1）、证明：111311,0,,;,0,,.2121221212F x x F x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤<∈->∈- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2)、证明：对任意的11,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,方程(),0F x y >在13,22y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭中存在唯一的解()y x . (3)、计算(0)y '和(0)y ''. 4、一致连续和一致收敛性（1）、函数2()f x x =在[]0,1上是一致连续的,对210ε-=,试确定0δ>，使得当1201x x ≤<≤，且12x x δ-<时有3321210x x --<.（2)、设[]2231(),0,1,1,2,,2n n x f x x n n x+=∈=+证明: ()n f x 在[]0,1上是内闭一致收敛的, 但不是一致收敛的．5、曲线积分、格林公式和原函数. (1）计算第二型曲线积分()221,2L xdy ydxI x y π-=+⎰其中L 是逐段光滑的简单闭曲线,原点属于L 围成的内部区域,(L)的定向是逆时针方向.(2) 设(),p x y ,(),q x y 除原点外是连续的,且有连续的偏导数，若<ａ>()(),,0,0p q x y y x∂∂=≠∂∂ <b ＞()0,L pdy qdx c +=≠⎰其中(L)的参数方程cos ,(02)sin x tt y tπ=⎧≤≤⎨=⎩ 证明:存在连续可微函数()()(),,,0,0F x y x y ≠,使得()()2222,,,22F c y F c xp x y q x y x x y y x yππ∂∂=+=-∂+∂+． 上海大学2002年度研究生入学考试题数学分析1、 求α和β使得当x →+∞时,等价于无穷小量x βα.2、 求椭圆2221Ax Bxy Cy ++=所围成的面积S ,其中20,0,,,A AC B A B C >->均为常数.3、 试给出三角级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中系数的计算公式(不必求出具体值),使得该级数在[]0,1上一致收敛到2x ,并说明理论依据。

4、 证明:sin ()x e x x f x x ππ⎧≤⎪=>当时，当时函数在()-∞+∞，上一致连续5、 设()f x 在[]0,1上有连续的导函数()f x ',(0)0f =,证明:11221()()2f x dx f x dx '≤⎰⎰.6、 证明:当x y ≤≤1,1时,有不等式22222()2.x y y x -≤+-7、 设()f x 在(),a b 上连续，并且一对一，(即当()12,,,x x a b ∈且12x x ≠时有12()()f x f x ≠）,证明: ()f x 在(),a b 上严格单调．上海大学200３年度研究生入学考试题数学分析1、 证明与计算：（１)对于任意的0a >,证明:lim n →∞(2)设()111,0,1,2,...,n n a k x k n n αα+==>=∑,证明: lim n n x →∞存在并求之.2、 判断下列结论是否正确，正确的请证明,错误的请举出反例. （3)存在级数1nn u∞=∑,使得当n →+∞时， n u 不趋于0,但1nn u∞=∑收敛.(４）20sin xdx +∞⎰是收敛的.(５) 211lim sin 0x x enxdx --→∞=⎰(此题只需指明理论依据)3、 计算(6)32222,()Sxdydz ydzdx zdxdy x y z ++++⎰⎰其中Ｓ为曲面: ()221,0z x y z -=+≥的上侧．(７)将把()f x x =在[],ππ-上展成Fourier 级数,并由此计算211nk k=∑． 4、 证明：(8）设函数(,)f x y =证明：它在()0,0上连续且有偏导数()()0,0,0,0,x y f f 但是(,)f x y 在()0,0不可微.(9)设函数()f x 在[]0,1上黎曼可积,证明: 2()f x 在[]0,1上也是黎曼可积．(10）当0x >时，证明: ()1ln 11xx +<.(１１)设()f x '在[]0,a 上连续，其中0a >,证明: 001(0)()()aa f f x dx f x dx a'≤+⎰⎰ (1２)设函数(),,F u v w 有连续的偏导数,证明：曲面,,0y z x F x y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭上各点的切平面都交于一点,并求出交点坐标(13)设闭曲线L: 2221Ax Bxy Cy ++=,其中20,0,,,A AC B A B C >->均为常数．记()11,x y 和()22,x y 分别表示曲线的最高点和最低点,证明: 120y y <. (１4）如果函数列(),1,2,...,n f x n =在[]0,1上一致收敛,证明：{}()n f x 在[]0,1上一致有界,即:存在0,M >使得(),n f x M ≤对[]0,1,x n ∀∈∀成立.(此题好象缺少条件) 进一步问,如果函数列在[]0,1上点点收敛，结论是否成立,请证明你的结论. (１5) 设函数()f x 在[0,)+∞上连续,()g x dx +∞⎰绝对收敛,证明：200lim ()()(0)()nn xf g x dx f g x dx n+∞→∞=⎰⎰上海大学2004年度研究生入学考试题数学分析1、 判断数列{}n S 是否收敛,其中111,231nn k S k k =⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭∑证明你的结论. 2、 在[]0,1区间上随机地选取无穷多个数构成一个数列{}n a ,请运用区间套定理或有限覆盖定理证明该数列{}n a 必有收敛子列.3、 设函数在[]0,1上连续, (0)(1)f f =，证明方程1()()3f x f x =+在[]0,1上一定有根. 4、 证明:达布定理：设()f x 在(),a b 上可微， ()12,,x x a b ∈,如果12()()0,f x f x ''<则在12,x x 之间存在一点ξ,使得()0f ξ'=.5、 给出有界函数()f x 在闭区间[],a b 上黎曼可积的定义,并举出一个[],a b 有界但是不可积的函数的例子,并证明你给的函数不是黎曼可积的.6、 闭区间[],a b 上的连续函数()f x ,如果积分()()0baf x x dx ϕ=⎰对于所有具有连续一阶导数并且()()0a b ϕϕ==的函数）（x ϕ都成立,证明:()f x 0=．７、判别广义积分dx xx⎰+∞sin 的收敛性和绝对收敛性，证明你的结论. ８、证明：2cos 1220lim π=+⎰+→dt t x t x x 9、计算:∑+∞=++-01121n n n ）（.10、试将函数x x f =)(在],0[π上展开成余弦级数，并由此计算:++++++222)12(151311k 11、函数列 ,2,1)(=n x f n ，,在]1,0[上连续,且对任意的),()(],1,0[x f x f x n n −−→−∈∞→,问)(x f 是否也在]1,0[上连续,证明你的结论．12、设函数,3),(33xy y x y x f -+=请在平面上每一点指出函数增加最快的方向，并计算出函数在该方向的方向导数.13、求解viviani 问题，计算球体2222a z y x ≤++被柱面ax y x =+22所截出的那部分体积. 1４、曲线积分⎰++L y x ydyxdx 22是否与路径无关,其中曲线L 不过原点,证明你的结论.1５、设函数)(x f 可微,若0)(2)(−−→−'++∞→x x f x f ,证明：0)(lim =+∞→x f x .上海大学2005年度研究生入学考试题数学分析1、设函数)(x f 在），（∞+0内连续，,0)(lim ='+∞→x f x 求.)(lim xx f x +∞→ 2、设函数)(x f 在[]20，有二阶导数，在[]20，上，，1)(1)(≤''≤x f x f 求证：2)(≤'x f .3、若dx x f ⎰+∞)(收敛，0)(lim =+∞→x f x 一定成立吗?举例并说明理由.4、求证:⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∏=+∞→2005)(ln 20051)2005(lim odx x f nnk x en f . 5、证明:dx xe ax ⎰+∞-0在+∞<≤<a a 00上一致收敛,但+∞<<a 0上不一致收敛.6、给出在Ｉ上一直连续的定义,并证明)1()(-=x x x g 在），∞+0[上一致连续. 7、,01lim2=--+++∞→b ax x x x 求b a ,的值．8、把[](]ππ，，00 01)(-∈⎩⎨⎧=x x f 展成fourier 级数，并证明：.12)1sin(233sin 1sin 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++= n n π9、求2222222)()()(:,R c z b y a x dxdy z dzdx y dydz x =-+-+-++∑⎰⎰外侧. 10、02222=++Cz By Ax 是椭圆方程,求证：椭圆的长半轴kl 1=．其中k 是方程022=++Bk CC A k 的最小根.11、,)(lim 21a a a a n n =++++∞→ 证明:nna a a nn ++++∞→ 212lim存在，并求之．12、,00 01sin)(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x x f a问a 在什么范围内，)(x f 在0=x 可导:在什么范围内)(x f 在 0=x 连续.13、,)(ln )(1⎰+=edx x f x x f 求.)(1⎰edx x f14、已知)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，)(,0)(x g x f >不变号，求.)()(lim dx x g x f bann ⎰+∞→15、)(x f 在I 上连续,)1( )()(),()(111≥==⎰+n dt t F x F x f x F xn n 求证：{})(x F n 在Ｉ上一致连续.上海大学2００6年度研究生入学考试题数学分析计算1、 求极限41sin 2lim x e x x x x -+-→ 2、 求级数...)13()23(1...1071741411++⨯-++⨯+⨯+⨯n n 的和。