4、若有等腰关系时, 则需设法再找：
①顶角对应相等
②其中一组底角对应 相等 ③底和腰对应成比例
例：如图，在锐角△ABC中，D是边AB的中点, 思考：若△ABC为等腰三角形（非等边），连接DC，是否有三角形相似？ 若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？
A
D
B
C
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初三年级数学学科
分析： （1）当AB=AC时， ②△ADC与△BCD：不相似！ 如果△ADC与△BCD相似：
A
D
B
C
例：如图，在锐角△ABC中，D是边AB的中点, （3）若△ABC为等腰三角形（非等边），连接DC，是否有三角形相似？ 若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？
分析： （1）当AB=AC时，
②△ADC与△BCD 不相似！ 如果△ADC与△BCD相似：
4、若有等腰关系时, 则需设法再找：
①顶角对应相等
②其中一组底角对应 相等 ③底和腰对应成比例
从全等到相似
从全等到相似
从全等到相似
从全等到相似
从相似到全等
全等图形和相似图形可以互相转化.
作业： 1. 已知：在△ABE和△BCF中，若BA=BE，BC=BF，且∠ABE=∠FBC=α，
取AF、CE的中点M、N，连接BM、BN、MN， 求证：BM=BN，∠MBN=α
全等三角形和相似三角形的再认识（下）
例：如图，在锐角△ABC中，D是边AB的中点, （3）若△ABC为等腰三角形（非等边），连接DC，是否有三角形相似？ 若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？
A D
分析： 若△ABC为等腰三角形（非等边）时，
（1）AB=AC （2）AB=BC （3）AC=BC
对称得到
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形 与原三角形相似; 三边对应成比例的两个三角形相似； 两角分别相等的两个三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
两个图形相似，其中一个图形可以看 作由另一个图形放大或缩小得到
从全等到相似——放大/缩小的数量关系与位置关系
特殊 一般
B
C
例：如图，在锐角△ABC中，D是边AB的中点, （3）若△ABC为等腰三角形（非等边），连接DC，是否有三角形相似？ 若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？
分析： （1）当AB=AC时， 图中有△ADC、△BCD、△ABC共3个三角形
①△ADC与△ABC：
A
∠A是公共角
只需再寻找一组等角
D
例：如图，在锐角△ABC中，D是边AB的中点, （1）过点D作直线，是否能得到全等三角形？请你写出作图方法， 并说出判定两三角形全等的依据.
A
D
B
C
例：如图，在锐角△ABC中，D是边AB的中点, （1）过点D作直线，是否能得到全等三角形？请你写出作图方法， 并说出判定两三角形全等的依据.
A D
解：
分析： （1）当AB=AC时，
③△BCD与△BAC 相似！ ∠B是公共角
A D
从角的角度添加：
∠BDC=∠ACB； “斜A” ∠BDC=∠B；
∠BCD=∠A.
B
C
从边的角度添加：
BC=CD； BD BC ；
BC AB
BC 2 AB；
2
BC 2 AC.
2
例：如图，在锐角△ABC中，D是边AB的中点, （3）若△ABC为等腰三角形（非等边），连接DC，是否有三角形相似？ 若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？
D B
A
A
解：
①过点D作BC的平行线DE，
再过点D作AC的平行线DF.
D
E
△ADE≌△DBF.（ASA）
CB
②连接DC.
F
C
△DEC≌△CFD.（ASA）
例：如图，在锐角△ABC中，D是边AB的中点, （2）过点D作一条直线，是否能得到相似三角形？请你写出作图方法， 并说出判定两三角形相似的依据.
对应边成比例，对应角相等；
对应角相等；
对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）
所有的对应线段、对应的量都相等
的比都等于相似比；
面积比等于相似比的平方
判定方法 形成过程
SSS（边边边）； SAS（边角边）； ASA（角边角）； AAS（角角边）；
HL（斜边直角边）
两个图形全等，其中一个图形可以 看作由另一个图形平移、旋转、轴
分析： （2）当AB=BC时，
A D
A D
分析：与（1）类似， 因为这两种情况AB都是腰， 点D都是腰AB的中点！
B
C
B
C
（1）
例：如图，在锐角△ABC中，D是边AB的中点, （3）若△ABC为等腰三角形（非等边），连接DC，是否有三角形相似？ 若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？
解： （2）当AB=BC时， 与（1）类似
若∠ADC=∠B 若∠ADC=∠ACB
D
与外角性质矛盾！
B
C
例：如图，在锐角△ABC中，D是边AB的中点, （3）若△ABC为等腰三角形（非等边），连接DC，是否有三角形相似？ 若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？
分析： （1）当AB=AC时， 图中有△ADC、△BCD、△ABC共3个三角形
A
若∠ADC=∠BDC 若∠ADC=∠B 若∠ADC=∠DCB
A
A
A
D
D
D
D
B
C
B
C
与已知非等边矛盾！
B
C
B
C
与外角性质矛盾！ 与外角性质矛盾！
例：如图，在锐角△ABC中，D是边AB的中点, （3）若△ABC为等腰三角形（非等边），连接DC，是否有三角形相似？ 若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？
①△ADC与△ABC：不相似！ ∠A是公共角
A
只需再寻找一组等角
若∠ADC=∠B 若∠ADC=∠ACB
D
与外角性质矛盾！ 且∠ACB=∠B
B
C
∠ADC=∠B 与外角性质矛盾！
例：如图，在锐角△ABC中，D是边AB的中点, （3）若△ABC为等腰三角形（非等边），连接DC，是否有三角形相似？ 若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？
A
A
A
D B
D
D
E'
C
B
C
B
F' C
△AE’D ∽△ABC.
△BDF’ ∽△BAC.
归纳： 1、以上共有四对三角形相似，可以归为两类：一类为“正A”型；另一类为“斜A”型.
A
A
A
A
D B
E
D
CB
F
“正A”型
D
C
B
D E'
CB
F' C
“斜A”型
归纳： 2、判定两个三角形全等和相似的常规思路:
判定两个三角形全等的常规思路
时，则需设法再找：
②其中任一角的对边对
应相等(AAS)
2、若有两组 边对应相 ①夹角对应相等(SAS) 等时，则需设法再找： ②第三边也对应相等
(SSS)
判定两个三角形相似的常规思路
1、若有平行截线时： 则用预备定理 ①另一组角也对应相等
2、若有一组角对应相 ②夹等角两边对应成比 等时，则需设法再找： 例
判定两个三角形相似的常规思路
1、若有两组角对应相等 ①夹边对应相等(ASA)
时，则需设法再找：
②其中任一组角的对边
对应相等(AAS)
1、若有平行截线时：
则用预备定理
2、若有两组 边对应相 ①夹角对应相等(SAS) 等时，则需设法再找： ②第三边也对应相等
(SSS)
2、若有一组角对应相 ①另一组角也对应相等 等时，则需设法再找： ②夹等角两边对应成比
例
①夹等角的另一边也对 3、若有一边、一角对应 应相等(SAS) 相等时， 则需设法再找：②另一角也对应相等
(AAS或ASA)
4、在Rt△中, 若有一组 ①斜边对应相等(HL)
直角边对应相等时，则 ②另一组直角边也对应
需设法再找：
相等(SAS)
3、若有两组边对应成 ①夹角对应相等 比 例 时， 则需 设法再 ②第三边也对应成比例 找：
D B
A
①△BCD不可能与△ABC相似；
②△ADC不可能与△BCD相似；
③△ACD∽△ABC：
（添加∠ACD=∠B或 ∠ADC=∠ACB
C
或DC=AC 或
AD AC AC BC
等. ）
例：如图，在锐角△ABC中，D是边AB的中点, （3）若△ABC为等腰三角形（非等边），连接DC，是否有三角形相似？ 若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？
B
C
例：如图，在锐角△ABC中，D是边AB的中点, （3）若△ABC为等腰三角形（非等边），连接DC，是否有三角形相似？ 若没有，添加一个什么条件就存在三角形相似？
分析： （1）当AB=AC时， 图中有△ADC、△BCD、△ABC共3个三角形
①△ADC与△ABC：
∠A是公共角
A
只需再寻找一组等角
若∠ADC=∠B
海淀区初中学生在线学习课程
初三年级数学学科
全等三角形和相似三角形的再认识（上）
观察这两组三角形，从图中看到了什么？想到了什么？
全等三角形
相似三角形
全等三角形
图形
C
C’
相似三角形
C
C’
A
B A’
B’
AB
A’
B’
定义 能够完全重合的两个三角形全等. 对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.