6 / 6备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇 数列与不等式专题07 数列与不等式相结合问题【典例1】【2020届安徽省亳州市高三上学期期末教学质量检测】 记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知12n n S a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求使得22020n n a S >+的n 的取值范围. 【思路引导】 （1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；（2）由（1）可得2122n n a -=，21nn S =-，从而得到不等式解得.【典例2】【2020届重庆西南大学附属中学校高三第五次月考】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且当*n N ∈时，n S 是12n +与2m 的等差中项(m 为实数). （1）求m 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）令()*21log n n b a n N=+∈，是否存在正整数k ，使得1111210n n n kbb b n ++⋅⋅⋅+>+++对任意正整数6 / 6n 均成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由. 【思路引导】（1）根据等差中项的性质列方程，求得n S 的表达式.利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，结合{}n a 是等比数列，求得m 的值及数列{}n a 的通项公式. （2）由（1）求得n b 的表达式，将不等式1111210n n n kb b b n ++⋅⋅⋅+>+++左边看成()f n ，利用差比较法判断出()f n 的单调性，由此求得()f n 的最小值，进而求得k 的最大值.【典例3】【2020湖北省武汉华中师大附中高三5月考试】已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，735S =，且2a ，5a ，11a 成等比数列．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围．【思路引导】（1）由题意可得()()()1211176735,2410,a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩解得1a d ，即可求得通项公式；(2)111112n n a a n n +=-++,裂项相消求和n T = ()112222n n n -=++，因为存在*N n ∈，使得10n n T a λ--≥成立，所以存在*N n ∈，使得()()2022n n n λ-+≥+成立，即存在*N n ∈，使得()222n n λ≤+成立.求出()222n n +的最大值即可解得λ的取值范围.【典例4】【2020届江西省南昌市上学期期末考试】已知{}n a 是递增的等比数列，若3520a a +=，且12354a a a ，，成等差数列.6 / 6（1）求{}n a 的前n 项和n S ； （2）设12n n b S =+，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：113n T ≤<. 【思路引导】 （1）利用等差中项可得21352a a a =+,再利用等比数列的通项公式代入求得q ,可代回3520a a +=中求得1a ,进而由公式求解即可； （2）由（1）可得121n nb =-,则1132nnb ≤<,从而求和即可证明【典例5】【陕西省安康市2019-2020学年高三上学期12月阶段性】 已知数列{}n a 为等差数列. （1）求证：()212n n n a a a ++；（2）设21n a n =-，且其前n 项和n S ，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：2n T <.【思路引导】(1)利用等差数列的性质122n n n a a a ++=+,再根据基本不等式即可证明. (2)由等差数列的求和公式求解n S ,再由裂项相消的缩放法求证即可.【典例6】【2020届天津市第一中学高三上学期第二次月考】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，5462,,4a a a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n b 的前n 项和(1)2n n n S b +=，*n N ∈，且11b =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设,,n n nb nc a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n P .（3）设252123n n n n n b d a b b +++=，*n N ∈，{}n d 的前n 项和n T ，求证：13n T <.6 / 6【思路引导】(1)根据题意列出方程组，求出1a 、q ，从而得到{}n a 的通项公式，当2n ≥时，11122n n n n n nb n b S S b --+=-=-，化简可得{}n b n是首项为1的常数列，即可求得{}n b 的通项公式； (2)分类讨论，当n 为偶数时，()()13124n n n p b b b a a a -=++⋯++++⋯+，分别利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和即可，当n 为奇数时，由1n n n P P b -=+可求得结果；(3)裂项法可得【典例7】【河北省石家庄二中2019-2020学年高三年级上学期12月月考】 已知数列{}n a 满足125a =，且*113220,N n n n n a a a a n ++-+=∈，数列{}n b 为正项等比数列，且123b b +=，34b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令2nn nb c a =，12n n S c c c =+++，求证：101nS <<. 【思路引导】（1）变形已知等式得数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而可求通项公式，数列{}n b 是等比数列，用基本量法可求得通项公式；（2）用错位相减法求得和n S ，即可证结论成立．1. 【2020届北京市昌平区高三上学期期末数学试题】 已知等差数列{}n a 满足13428,4a a a a +=-=. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）记数列1{}n S 的前n 项和为n T ，若99100n T >，求n 的最小值.6 / 62. 【天津市红桥区2019届高三二模数学】已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列(*)n N ∈，24a =，且21+a 是1a 与3a 的等差中项． I.求数列{}n a 的通项公式；II.设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111=++++n nT S S S S ，证明：12n T ≤<． 3. 【2020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*21n n S a n N +=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11111n n n c a a +=++-，n T 为数列{}n c 的前n 项和.求证：123n T n >-. 4. 【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高考适应性月考卷】已知数列{}n a ,是一个等差数列,且22a =,145a a +=,数列{}n b 是各项均为正数的等比数列,且满足:112b =,24164b b ⋅=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; （2）求证:11222n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<.5. 【湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2019-2020学年高三联考数学】已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）证明：2221274n S S S +++<． 6. 【2020届重庆市云阳江口中学高三上学期第三次月考】设数列{}n a 的前n 项和n S ，数列{}n S 的前n 项和为{}n T ，满足*32,n n T S n n N =-∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅰ）求证：*1,n S n N ≥∈.6 / 67. 【湖南省邵阳市2019-2020学年高三第一次联考】 已知数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且满足1a ，212a +，3a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1{}n a 的前n 项和为n T ，求使1|2|500n T -<成立n 的最小值. 8. 若数列{an}是的递增等差数列，其中的a 3=5，且a 1，a 2，a 5成等比数列， （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n =，求数列{b n }的前项的和T n ．（3）是否存在自然数m ，使得 ＜T n ＜5m对一切n ∈N*恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．9. 【内蒙古呼和浩特市2019-2020学年高三上学期质量普查调研】已知n S 为数列n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+，且1n n a b =.(1)求数列{}n b 的通项公式n b ；(2)求满足122311...7n n b b b b b b ++++<的n 的最大值. 10. 设()()1122,,,A x y B x y 是函数()21log 21x f x x =+-的图象上任意两点，且1()2OM OA OB =+，已知点M 的横坐标为12．（1）求证：M 点的纵坐标为定值； （2）若*121...,,2n n S f f f n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++∈≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且求n S ； （3）已知=12 131 2(1)(1)nn n n S S +⎧⎪⎪⎨=≥++⎪⎪⎩，其中*n N ∈，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n n T S λ+<+对一切*n N ∈都成立，试求λ的取值范围．。