4.2解析几何--圆锥曲线的概念及性质一、选择题1．(2010·安徽双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 (A. B. C. D．(，0解析：∵原方程可化为－＝1，a2＝1，b2＝，c2＝a2＋b2＝，∴右焦点为.答案：C2．(2010·天津已知双曲线－＝1(a>0，b>0的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为 (A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：∵渐近线方程是y＝x，∴＝.①∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上，∴c＝6.②又c2＝a2＋b2，③由①②③知，a2＝9，b2＝27，此双曲线方程为－＝1.答案：B4．(2010·辽宁设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ (A．4 B．8 C．8 D．16解析：解法一：AF直线方程为：y＝－(x－2，当x＝－2时，y＝4，4A(－2,4．当y＝4时代入y2＝8x中，x＝6，4P(6,4，4|PF|＝|PA|＝6－(－2＝8.故选B.解法二：5PA∞l，4PA%x轴．又5 AFO＝60°，4 FAP＝60°，又由抛物线定义知PA＝PF，4≥PAF为等边三角形．又在Rt≥AFF′中，FF′＝4，4FA＝8，4PA＝8.故选B.答案：B5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 (A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，＝，从而PC＝2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2，则A(－5,0，C(5,0，设P(x，y，得＝2化简得x2＋y2＋x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．答案：A二、填空题解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c<b⇒c2<b2＝a2－c2⇒e2<，又e∈(0,1，所以e∈.答案：7．(2010·浙江设抛物线ψ2＝2πξ(π>0的焦点为Φ，点A(0，2．若线段ΦA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．解析：F，则B，∴2p×＝1，解得p＝.∴B，因此B到该抛物线的准线的距离为＋＝.答案：8．(2010·北京已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．解析：∵椭圆＋＝1的焦点为(±4,0，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0，∴c＝4，＝2，c2＝a2＋b2，∴a＝2，b2＝12，∴双曲线方程为－＝1，∴渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.答案：(±4,0x±y＝0即xD＝，由椭圆的第二定义得|FD|＝e＝a－.又由|BF|＝2|FD|，得a＝2a－，整理得a2＝3c2，即e2＝，解得e＝.答案：三、解答题10．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．解：解法一：设椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0或＋＝1(a>b>0，两个焦点分别为F1、F2，则由题意，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，∴a＝.在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝.在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.依题意知＝，∴b2＝.即椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.解法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，则|PF1|＝，|PF2|＝.由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，即a＝.由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴．故在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝，∴c2＝，于是b2＝a2－c2＝.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.11．(2010·湖北已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1求曲线C的方程；(2是否存在正数m，对于过点M(m,0且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1设P(x，y是曲线C上任意一点，那么点P(x，y满足－x＝1(x>0，化简得y2＝4x(x>0．(2设过点M(m,0(m>0的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1，B(x2，y2．设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m>0，于是①又＝(x1－1，y1，＝(x2－1，y2，·<0⇔(x1－1(x2－1＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2＋1＋y1y2<0. ②又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1<0⇔＋y1y2－[(y1＋y22－2y1y2]＋1<0，③由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2，④对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，即3－2<m<3＋2.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0，且m的取值范围是(3－2，3＋2．12．(2009·陕西，21已知双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0，离心率e＝，顶点到渐近线的距离为.(1求双曲线C的方程；(2如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若＝λ，λ∈，求△AOB面积的取值范围．解：解法一：(1由题意知，双曲线C的顶点(0，a到渐近线ax－by＝0的距离为，∴＝，即＝.由得∴双曲线C的方程为－x2＝1.(2由(1知双曲线C的两条渐近线方程为y＝±2x.设A(m,2m，B(－n,2n，m>0，n>0.由＝λ＝λ得P点的坐标为，将P点坐标代入－x2＝1，化简得mn＝，设∠AOB＝2θ，∵tan＝2，∴tan θ＝，sin 2θ＝.又|OA|＝m，|OB|＝n，∴S△AOB＝|OA|·|OB|·sin 2θ＝2mn＝＋1.记S(λ＝＋1，λ∈，则S′(λ＝.由S′(λ＝0得λ＝1，又S(1＝2，S＝，S(2＝，∴当λ＝1时，△AOB的面积取得最小值2，当λ＝时，△AOB的面积取得最大值.∴△AOB面积的取值范围是.解法二：(1同解法一．(2设直线AB的方程为y＝kx＋m，由题意知|k|<2，m>0.由得A点的坐标为，由，得B点的坐标为.由=λ得P点的坐标为，将P点坐标代入－x2＝1得＝.设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为(0，m．S△AOB＝S△AOQ＋S△BOQ＝|OQ|·|x A|＋|OQ|·|x B|＝m·(x A－x B＝m＝·＝＋1.以下同解法一．7.1数学思想方法--函数与方程思想一、选择题1．已知向量a＝(3,2，b＝(－6,1，而(λa＋b⊥(a－λb，则实数λ等于 (A．1或2 B．2或－ C．2 D．0解析：λa＋b＝(3λ－6,2λ＋1，a－λb＝(3＋6λ，2－λ，若(λa＋b⊥(a－λb，则(3λ－6·(3＋6λ＋(2λ＋1(2－λ＝0，解得λ＝2或λ＝－答案：B2．设f(x是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x＝x2.若对任意的x [t，t＋2]，不等式f(x＋t≥2f(x恒成立，则实数t的取值范围是 (A．[，＋∞ B．[2，＋∞C．(0,2] D．[－，－1]*[，]答案：A3．f(x是定义在(0，＋∞上的非负可导函数，且满足xf′(x＋f(x≤0.对任意正数a、b，若a<b，则必有 (A．af(a≤f(b B．bf(b≤f(aC．af(b≤bf(a D．bf(a≤af(b解析：∵xf′(x＋f(x≤0，即[xf(x]′≤0，∴xf(x是减函数．又∵a<b，∴af(a≥bf(b．又∵b>a>0，f(x≥0，∴bf(a≥af(a且bf(b≥af(b，∴bf(a≥af(a≥bf(b≥af(b，∴bf(a≥af(b．答案：C4．f(x是定义在R上的以3为周期的奇函数，f(2＝0，则函数y＝f(x在区间(－1,4内的零点个数为 (A．2 B．3 C．4 D．5解析：∵f(x是定义在R上的奇函数，∴f(0＝0.由f(2＝0，得f(－2＝0.又∵f(x的周期为3，∴f(1＝0，f(3＝0.又∵f＝f＝f＝－f，∴f＝0.故选D.答案：D5．已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x＝x2＋(a－4x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是 (A．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<2或x>3解析：将f(x＝x2＋(a－4x＋4－2a看作是a的一次函数，记为g(a＝(x－2a＋x2－4x＋4.当a∈[－1,1]时恒有g(a>0，只需满足条件即，解之得x<1或x>3.答案：B二、填空题6．已知不等式(x＋y≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．解析：只需求(x＋y的最小值大于等于9即可，又(x＋y＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以(2＋2＋1≥9，即(2＋2－8≥0求得≥2或≤－4(舍，所以a≥4，即a的最小值为4.答案：47．若关于x的方程(2－2－|x－2|2＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________．解析：令f(x＝(2－2－|x－2|2，要使f(x＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x的值域内的值．∵f(x的值域为[1,4∴1δa＋2<4，∴－1δa<2.答案：[－1,28．已知函数f(x＝，a∈R，若方程f2(x－f(x＝0共有7个实数根，则a＝________.解析：设y＝t2－t，t＝f(x作出两函数的图象如图所示，由t2－t＝0知t＝0，或t＝1，当t＝0时，方程有两个实根；当t＝1时，要使此时方程有5个不同实根，则a＝1.答案：19．若数列{a n}的通项公式为a n＝×n－3×n＋n(其中n∈N*，且该数列中最大的项为a m，则m＝________.解析：令x＝n，则0<x≤构造f(x＝x3－3x2＋x，x∈∴f′(x＝8x2－6x＋1令f′(x＝0，故x1＝，x2＝.∴f(x在上为增函数，f(x在上为减函数∴f(x max＝f即当x＝时，f(x最大，∴n＝2时，a2最大．∴m＝2.答案：2三、解答题10．设P是椭圆＋y2＝1(a>1短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值．解：依题意可设P(0,1，Q(x，y，则|PQ|＝.又因为Q在椭圆上，所以x2＝a2(1－y2．|PQ|2＝a2(1－y2＋y2－2y＋1＝(1－a2y2－2y＋1＋a2＝(1－a22－＋1＋a2，因为|y|≤1，a>1，若a≥，则≤1，当y＝时，|PQ|取最大值；若1<a<，则当y＝－1时，|PQ|取最大值2，综上，当a≥时，|PQ|最大值为；当1<a<时，|PQ|最大值为2.11．已知f(x是定义在正整数集N*上的函数，当x为奇数时，f(x＋1－f(x＝1，当x为偶数时，f(x＋1－f(x＝3，且满足f(1＋f(2＝5.(1求证：{f(2n－1}(n∈N*是等差数列；(2求f(x的解析式．(1证明：由题意得，两式相加得f(2n＋1－f(2n－1＝4.因此f(1，f(3，f(5，…，f(2n－1成等差数列．即{f(2n－1}(n∈N*是等差数列．(2解：由题意得，解得.所以f(2n－1＝f(1＋(n－1×4＝2(2n－1，因此当x为奇数时，f(x＝2x.又因为当x为奇数时，f(x＋1－f(x＝1，所以f(x＋1＝2x＋1＝2(x＋1－1，故当x为偶数时，f(x＝2x－1.综上，f(x＝.12．某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满足：3－x与t＋1成反比例．如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2010年生产化妆品的固定投资为3万元，每生产1万件化妆品需再投资32万元，当年每件化妆品的零售价定为“年平均成本的150%”与“年均每件所占促销费的一半”之和，则当年的产销量相等．(1将2010年的年利润y万元表示为促销费t万元的函数；(2该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝收入－生产成本－促销费解：(1由题意，得3－x＝，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.由题意，知每件零售价为＋·.年利润y＝x－(3＋32x－t＝16x－t＋＝16－t＋＝50－＝(t≥0．(2∵y＝50－≤50－2＝42(万元，当且仅当＝，即t＝7时，y max＝42，∴当促销费定为7万元时，利润最大．3.2数列求和及数列综合应用一、选择题1．若等比数列{an}的前n项和Sn，且S10＝18，S20＝24，则S40等于 (A. B. C. D.解析：根据分析易知：∵S10＝18，S20－S10＝6，∴S30－S20＝2，S40－S30＝，∴S40＝，故选A.答案：A2．数列{an}的通项公式an＝，若{an}的前n项和为24，则n为( A．25 B．576 C．624 D．625解析：an＝＝－(－，前n项和Sn＝－[(1－＋(－＋…＋(－]＝－1＝24，故n＝624.选C.答案：C3．(2010·大连模拟设Sn为数列{an}的前n项之和，若不等式a＋≥λa对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为 (A．0 B. C. D．1解析：a1＝0时，不等式恒成立，当a1≠0时，λ≤＋，将an＝a1＋(n－1d，Sn＝na1＋代入上式，并化简得：λ≤2＋，∴λ≤，∴λmax＝.答案：B4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*，则a20等于 (A．0 B．－ C. D.解析：5a1＝0，a n＋1＝，4a2＝－，a3＝，a4＝0，….从而知3为最小正周期，从而a20＝a3×6＋2＝a2＝－.答案：B5．(2009·广东已知等比数列{a n}满足a n>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝ (A．(n－12 B．n2C．(n＋12 D．n(2n－1解析：5a5·a2n－5＝22n＝a，a n>0，4a n＝2n，4log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a n－1＝log221＋3＋…＋(2n－1＝log22n2＝n2.故选B.答案：B二、填空题6．设数列{a n}的前n项和为S n，S n＝(n∈N*，且a4＝54，则a1＝________.解析：由于S n＝(n N*，则a4＝S4－S3＝－＝27a1，且a4＝54，则a1＝2.答案：27．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5＝5a3，则＝________.解析：设等差数列的公差为d，首项为a1，则由a5＝5a3知a1＝－d，4＝＝9.答案：98．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S4＝4a1＋6d≥10，即2a1＋3d≥5，S5＝5a1＋10d≤15，即a1＋2d≤3.又a4＝a1＋3d，因此求a4的最值可转化为在线性约束条件限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如图，可知在当a4＝a1＋3d，经过点A(1,1时有最大值4.答案：49．(2009·福建五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．解析：1,1,2,3,5,8,13,21，…该数列被3除所得的余数构成的数列为1,1,2,0,2,2, 1,0，…所得新数列中每4个数出现一个0，而又有5名同学，因而甲同学报的数为3的倍数的间隔为20，所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16,36,56,76,96次，共5个数，故答案为5.答案：5三、解答题10．(2010·济南模拟已知等比数列{a n}的前n项和为S n＝k·2n＋m，k≠0，且a ＝3.(1求数列{a n}的通项公式；(2设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n.解：(1方法一：依题意有①解得a2＝2k，a3＝4k，∴公比为q＝＝2，＝＝2，k＝3，代入①得m＝－3，∴an＝3·2n－1.方法二：n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1·k.由a1＝3得k＝3，∴an＝3·2n－1，又a1＝2k＋m＝3，∴m＝－3.(2bn＝＝，Tn＝，②Tn＝，③②－③得Tn＝，Tn＝＝.11．(2010·浙江五校联考已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＋a n＝1.(1求数列{a n}的通项公式；(2设b n＝log3(1－S n＋1，求适合方程＋＋…＋＝的n的值．解：当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝.当n≥2时，∵S n＝1－a n，S n－1＝1－a n－1，∴S n－S n－1＝(a n－1－a n，即a n＝(a n－1－a n，∴a n＝a n－1.∴{a n}是以为首项，为公比的等比数列，故a n＝·n－1＝2·n.(2∵1－S n＝a n＝n，b n＝log3(1－S n＋1＝log3n＋1＝－n－1，∴＝＝－，∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝－.解方程－＝，得n＝100.12．已知函数f(x＝(x≠－1，设数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝f(a n，数列{b n}满足b n＝|a n－|，S n＝b1＋b2＋…＋b n(n N*．(1用数学归纳法证明：bn≤；(2证明：Sn<.证明：(1当x≥0时，f(x＝1＋>1.因为a1＝1，所以an≥1(n∈N*．下面用数学归纳法证明不等式bn≤.①当n＝1时，b1＝－1，不等式成立．②假设当n＝k时，不等式成立，即bk≤，那么bk＋1＝|ak＋1－|＝≤bk≤.所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①和②，可知不等式对任意n∈N*都成立．(2由(1知bn≤.所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn≤(－1＋＋…＋＝(－1·<(－1·＝.故对任意n∈N*，Sn<.2.(安徽理10 函数在区0.5间〔 0,1 〕上的图像如图所示，则 m ， n 的值可能是（A）y(B(C(D【答案】B【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当，，则，由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选B.。