第十章 联立方程组模型第一节 联立方程组模型概述一、问题的提出1、单一方程模型存在的条件是单向因果关系。

2、对于变量之间存在的双向因果关系，则需要建立联立方程组模型。

3、经济现象的表现多以系统或体系的形式进行，仅用单一方程来反映存在局限性。

二、联立方程组的概念1、联立方程组模型的定义。

由一个以上的相互联系的单一方程组成的系统（模型），每一个单一方程中包含了一个过多个相互联系（相互依存）的内生变量。

联立方程组表现的是多个变量间互为因果的联立关系。

联立方程组与单一方程的区别是估计联立方程组模型的参数必须考虑联立方程组所能提供的信息（包括联立方程组里方程之间的关联信息），而单一方程模型的参数估计仅考虑被估计方程自身所能提供的信息。

2、联立方程组模型的例子。

（1）一个均衡条件下市场供给与需求的关系。

)3()2(0)1(012101110s i d i ii s i ii d i Q Q u P Q u P Q =>++=<++=βββααα 称（1）式为需求方程，（2）式为供给方程，（3）式为供需均衡式；d i Q 表示需求量，s i Q 表示供给量，i P 表示价格，i i u u 21,分别为（1）式和（2）式的随机误差项。

按照经济学基本原理，商品的供给与商品的需求共同作用于价格，反过来，价格也要分别决定商品的供给与需求。

这就是方程（1）与方程（2）的作用机制，如果考虑了均衡条件，这又是方程（3）的作用。

因此，通过这一联立方程组将上述商品的供需与价格的相互作用过程得到了反映。

（2）一个凯恩斯宏观经济模型。

011012(4)(5)(6)t t tt t tt t t t C Y u I Y u T C I G ββαα=++=++=++ 式中，C 表示消费，Y 表示国民总收入（又GDP ，实际上它们是有区别的），I 表示私人投资，G 表示政府支出，u1、u2分别为消费函数和投资函数中的随机误差项。

三、联立方程组模型的基本问题（即联立方程组模型的偏倚性）1、内生解释变量与随机误差项的相关性。

2、直接对联立方程组模型运用OLS 法，所得的参数估计值是有偏的，并且是不一致的。

例如，设凯恩斯收入决定模型为[][]01)(11)1()0)(())(())())(((),cov(1)(11)1(11)(111)1(10122111110111011100110110≠-=-=-==-=--=-=-∴-+-=-+-+-=-+-+-=∴++=-+++=∴+=<<++=βσβββββββββββββββββββββU E U U E U E U Y E Y E U E U Y E Y E U Y U Y E Y I U E I Y E U I Y U I Y I U Y Y I C Y U Y C t t tt t tt t t t t t tt t tt t t tt t tt t表明内生变量Y 在作解释变量时与随机误差U 相关。

对凯恩斯模型中的消费函数求参数的估计，有（用离差形式表示）∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑+==++=++===-=-=-=---=21221021022221)1()()0)(()()())((ˆy Uy yYy y Uy Yy y y y U Y y Cy Y Y y yy C Cy y y C C Y Y Y Y C C ββββββ求1ˆβ的数学期望 1211)()ˆ(βββ≠+=∑∑y Uy E E 在上式中，由于∑≠0)(Uy E ，所以，1ˆβ不是1β的无偏估计。

再看参数估计的一致性。

对1ˆβ的表达式两端同时求概率极限，得 1212121212111)lim()lim()lim()ˆlim(βσβσβββββ≠-+=+=+=+=∑∑∑∑∑∑Y ny n Uyp y Uy p y Uy p p表明1ˆβ不是1β的一致性估计。

下面根据此例用具体的数据（文件名kaiensimx ）加以说明。

假定投资I 得数据已知，并且用蒙特卡罗方法生成随机误差U 得数据，再假定 0),cov(04.0)var(),0(0)(,0)(2===≠==-t t t s t t t I U U s U U E U E σ 进一步假定消费函数中得参数真实值已知为8.0,210==ββ。

（1）由8.0,210==ββ和U 的值，根据1110111ββββ-+-+-=t t t U I Y 计算Y 的数值；（2）由8.0,210==ββ、Y 的数值和U 的数值，根据消费函数计算C 的数值。

（3）由于用蒙特卡罗方法生成随机误差U 的数据，则样本误差应正好是“真实”误差，故求C 对Y 的回归，所得的参数估计就应是8.0ˆ,2ˆ10==ββ，与真实值一致。

（4）但当Y 与U 相关时，则参数估计的无偏性不再满足。

（Gujarati ，计量经济学，第641页）四、联立方程组模型中的几个概念1、内生变量。

其数值由模型体系所决定的变量称之为内生变量。

其特点是：（1）内生变量受模型体系的影响，反之亦然；（2）内生变量是随机变量。

2、前定变量。

包括外生变量和滞后内生变量。

外生变量是指，它取的数值不由模型体系所决定。

其特点是：（1）外生变量影响模型体系，反之不成立；（2）外生变量是非随机变量。

外生变量与内生变量的关系是：外生变量能够影响内生变量，但内生变量不能影响外生变量。

举例说明，（1）均衡条件下的供需模型；（2）凯恩斯的宏观经济模型。

1、 结构型模型。

根据经济学理论或现实经济活动，对某种经济结构或某种经济主体的行为运用数学关系式进行“直接”描述。

其过程可表述为 经济原型→数学模型为了简单起见，下面直接给出联立方程组模型结构型的矩阵形式(7)BY X U +Γ=其中，Y 为内生变量向量，X 为前定变量向量，U 为随机误差向量，B 为内生变量结构参数矩阵，Γ为前定变量结构参数矩阵（向量或矩阵的具体表示见教科书第211页）。

2、 简化型模型。

所谓简化型模型是指在联立方程组模型中每一个内生变量只由前定变量和随机误差线性表示，或者说内生变量只是前定变量和随机误差的函数。

用矩阵表示的过程如下，假设0B ≠，则1111(8)(9)Y B X B U B V B U Y X V----+Γ=∏=-Γ==∏+令有称（9）式为模型的简化型。

简化型模型与结构型模型的区别是：结构型模型中的方程左端为内生变量，但右端也可能出现内生变量；简化型模型中的方程左端为内生变量，但右端只有前定变量。

注意：在已知前定变量未来值的情况下，利用（9）式的样本估计式可直接对模型中的内生变量进行预测。

3、递归模型。

在结构型模型中，如果方程的结构按如下形式，即111112211221121122222331132231132233k k k k k k y x x x u y y x x x u y y y x x x u γγγβγγγββγγγ=++++=+++++=++++++则称为递归模型。

递归模型的特点是方便估计，无模型的识别问题。

第二节 联立方程组模型的识别问题一、识别的概念1、一个例子。

设凯恩斯宏观经济模型为)3()2()1(210110tt t tt t tt t I C Y u Y I u Y C +=++=++=ββαα 将（3）式变换为，)4(t t t C Y I -=将（4）式代入（2）式，得)5(210t t t t u Y C Y ++=-ββ将（5）式整理，得到如下模型：)6()1(210t t t u Y C --+-=ββ对比（1）式与（6）式，两个C 的表达式（均表示消费模型），对消费函数来讲表达式不惟一，究竟哪一个才是表达消费的函数，这就是所谓的识别问题。

再例如，同样是上述模型，将（1）式代入（3）式，得)7(11111)1(11110101101110t t t tt t tt t t tt t t u I Y u I Y u I Y Y I u Y Y αααααααααα-+-+-=++=-++=-+++= 比较（3）式与（7）式，国民总收入也有两个表达式，那么哪一个才是国民总收入的函数？不仅如此，（3）式为恒定式，而（7）式为一随机函数。

由凯恩斯宏观经济模型结构可知，该模型具有合理的经济学解释，即式（1）与（2）的参数，在所对应的经济意义解释上应该是惟一的，但经过一定的数学变换，我们发现事实并非如此。

比较式（2）与式（6），可以看出对于样本数据,,t t t C Y I ，均能得到参数0β与1β的估计0ˆβ与1ˆβ。

现在的问题是0ˆβ与1ˆβ究竟是投资函数（2）还是消费函数（6）的参数估计？这也是联立方程组模型的识别问题。

2、识别的定义。

总的原则是看方程组中一个方程与另一个方程有无差异，也就是看每一个方程出现的变量是否一致，如果出现在不同方程里的变量不一样，则方程为可识别，否则就不可识别。

关于识别的定义大致有以下几种情况：（1）方程的统计形式是否具有惟一型；（2）零系数规则；（3）结构型与简化型系数之间导出的关系。

本教科书仅从（3）给出识别的含义。

3、模型的识别问题。

只有当联立方程组中每一个（结构）方程是可识别的，则该方程组才是可识别的。

反之，当方程组模型中有一个方程不可识别，则整个方程组都不可识别。

相比较，以此判断方程组不可识别更容易。

4、联立方程组可估计的条件：内生变量的个数=联立方程组中方程的个数。

二、识别的类型下面通过几个例子来看利用结构型与简化型系数之间导出的关系所表现的识别类型。

1、不可识别。

设模型为)3()2(0)1(012101110s i d i ii s i ii d i Q Q u P Q u P Q =>++=<++=βββααα )4(11121100210110βαβααβββαα--+--=∴++=++∴=i i i ii i i si d i u u P u P u P Q Q 将（4）式代入（1）式或（2）得111121211121111011111000111121111011βαβαβαβαβαβαπβααβπβαβαβαβαβα--=--=--=--=--+--===i ii i i i i i s i d i i u u v u u v u u Q Q Q 令 则简化型模型为)6()5(2110i i ii v Q v P +=+=ππ由结构型与简化型系数之间的关系可以看出，简化型模型的系数只有两个，而结构型模型的系数有四个，显然要由简化型系数解出结构型系数是不可能的，即每一个结构方程都是不可识别，从而整个方程组不可识别。

如果在此基础上引入前定变量，则识别的状况会发生变化。