综合滚动练习：特殊的三角形
时间：45分钟分数：100分得分：________
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．已知一个等腰三角形底角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为() A．20°B．70°C．80°D．100°
2．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是()
A．12 B．15 C．18 D．20
3．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是()
A．AC＝A′C′，BC＝B′C′
B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′
C．AC＝A′C′，AB＝A′B′
D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′
第3题图第4题图4．如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠P AB的度数是()
A．10°B．15°C．20°D．25°
5．如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是()
A．△ABD≌△ACD
B．∠B＝∠C
C．△ABC是等腰三角形
D．△ABC是等边三角形
第5题图第6题图
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D，则∠D的度数为()
A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°
7．(2017·滨州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD ＝BA，则∠B的大小为【方法1②】()
A．40°B．36°C．30°D．25°
第7题图第8题图
8．★如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()
A．1个
B．2个
C．3个
D．3个以上
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．如图，已知∠B＝∠C，从①BE＝CE，②AB＝DC，③∠BAE＝∠CDE这三个等式中选出一个作为条件，可以推出△AED是等腰三角形的有________(填序号)．
第9题图第11题图
10．若△ABC的三边a，b，c满足条件：a－3＋b－4＋c－5＝0，则△ABC是________三角形．
11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则∠DAC＋∠C＝________°.
12．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.折叠该纸片，使点C落在点E 处，折痕为AD.若CD＝3cm，则BD的长为________cm.
第12题图第13题图
13．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA上，OP＝8，点M、N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝________．
14．(2017·淄博中考)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________．
三、解答题(共44分)
15．(8分)如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB＝30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？
16．(10分)如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E 在BC上，且AE＝CF.请判断AE与CF的位置关系，并说明理由．
17．(12分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形的周长为32，求BC和CD的长．
18．★(14分)如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.以OC为一边作等边△OCD，连接AD.
(1)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(2)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
参考答案
1．A 2.C 3.C 4.C 5.D 6.A7.B
8．D解析：如图，在OA，OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°.∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP ＝∠POF ＝60°.∵OP ＝OE ＝OF ，∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，∴EP ＝OP ，∠EPO ＝∠OEP ＝∠PON ＝∠MPN ＝60°，∴∠EPM ＝∠OPN .在△PEM 和△PON 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠PEM ＝∠PON ，PE ＝PO ，∠EPM ＝∠OPN ，
∴△PEM ≌△PON ，∴PM ＝PN .∵∠MPN ＝60°，∴△PNM 是等边三角形，∴只要∠MPN ＝60°，△PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选D.
9．①② 10.直角 11.90 12.6 13.3
14．23 解析：作AG ⊥BC 于G ，连接AD .∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴由勾股定理得AG ＝2 3.∵S △ABD ＋S △ACD ＝S △ABC ，∴12AB ·DE ＋12AC ·DF ＝12BC ·AG .∵AB ＝AC
＝BC ＝4，∴DE ＋DF ＝AG ＝2 3.
15．解：∵∠ADB ＝30°，∠ACB ＝15°，∴∠CAD ＝∠ADB －∠ACB ＝15°，(3分)∴∠ACB ＝∠CAD ，∴AD ＝CD ＝20米．(6分)又∵∠ABD ＝90°，∠ADB ＝30°，∴AB ＝12AD ＝10米，
∴树的高度为10米．(8分)
16．解：AE ⊥CF .(2分)理由如下：延长AE 交FC 于点G .∵∠ABC ＝90°，∴∠CBF ＝∠ABE ＝90°.(4分)在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，∵AE ＝CF ，AB ＝CB ，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF (HL)，∴∠EAB ＝∠FCB .(7分)∵∠FCB ＋∠CFB ＝90°，∴∠EAB ＋∠AFC ＝90°，∴∠AGF ＝90°，∴AE ⊥CF .(10分)
17．解：如图，连接BD .(2分)∵AB ＝AD ，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝AD ＝8，∠1＝60°.(5分)又∵∠1＋∠2＝150°，∴∠2＝90°.(7分)设BC ＝x ，∵四边形的周长为32，∴CD ＝32－AB －BC －AD ＝16－x .在Rt △BCD 中，由勾股定理得BC 2＝BD 2＋CD 2，即x 2＝82＋(16－x )2，(10分)解得x ＝10，∴16－x ＝6，∴BC ＝10，CD ＝6.(12分)
18.解：(1)△AOD 是直角三角形．(1分)理由如下：∵△ABC ，△OCD 是等边三角形，∴BC ＝AC ，OC ＝CD ，∠ACB ＝∠OCD ＝60°，∴∠BCO ＝∠ACD .在△BOC 与△ADC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧OC ＝DC ，∠BCO ＝∠ACD ，BC ＝AC ，
∴△BOC ≌△ADC ，(4分)∴∠ADC ＝∠BOC ＝α＝150°，∴∠ADO ＝∠ADC －∠ODC ＝150°－60°＝90°，∴△AOD 是直角三角形．(6分)
(2)由(1)知△BOC ≌△ADC ，∴∠CBO ＝∠CAD .设∠CBO ＝∠CAD ＝a ，∠ABO ＝b ，∠BAO ＝c ，∠CAO ＝d ，则a ＋b ＝60°，b ＋c ＝180°－110°＝70°，c ＋d ＝60°，∴∠DAO ＝a ＋d ＝(a ＋b )＋(c ＋d )－(b ＋c )＝50°.由(1)可知∠ADC ＝∠BOC ＝α，∴∠ADO ＝∠ADC －∠CDO ＝α－60°.(8分)△AOD 为等腰三角形有以下三种情况：①AO ＝AD ，则∠AOD ＝
∠ADO ，∴
180°－50°
2
＝α－60°，∴α＝125°；(10分)②OA ＝OD ，则∠OAD ＝∠ADO ，∴α－60°＝50°，∴α＝110°；(12分)③OD ＝AD ，则∠OAD ＝∠AOD ，∴180°－（α－60°）
2＝50°，
∴α＝140°.综上所述，当α为125°或110°或140°时，△AOD 是等腰三角形．(14分)。