线性规划知识总结1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域（1）直线0:=++C By Ax l 把平面内不在直线上的点分成两部分，对于同一侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 所得的值的符号都相反。

（2）对于直线:l Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，可化为：y ＝kx ＋b 的形式。

对于二元一次不等式b kx y +≥表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的上方（包括直线y ＝kx ＋b ）。

对于二元一次不等式b kx y +≤表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的下方（包括直线y ＝kx ＋b ）。

注意：二元一次不等式)0(0<>++或C By Ax 与二元一次不等式)0(0≤≥++C By Ax 所表示的平面区域不同，前者不包括直线Ax ＋By ＋C ＝0，后者包括直线Ax ＋By ＋C ＝0。

2. 线性规划我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。

解决这类问题的基本步骤是：（1）确定好线性约束条件，准确画出可行域。

（2）对目标函数z ＝ax ＋by ，若b ＞0，则bz取得最大值（或最小值）时，z 也取得最大值（或最小值）；若b ＜0，则反之。

（3）一般地，可行域的边缘点有可能是最值点，有些问题可直接代入边缘点找最值。

（4）注意实际问题中的特殊要求。

说明：1. 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；2. 线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数个。

知识点一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1：基础题1. 不等式组201202y x x y -->⎧⎪⎨-+≤⎪⎩表示的平面区域是（ ）A B C D2. 如图，不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域面积是________________。

3. 如图所示的△ABC ，其平面区域对应的不等式组是________________。

（其中A 、B 、C 三点坐标分别是A （1，2），B （4，1），C （－2，－3））【思路分析】1. 表示的平面区域在直线02>--x y 02=--x y 的上方，不包括直线2--x y ＝002210221≤+-≤+-y x y x 表示的平面区域在直线的上方，包括直线221+-y x ＝0，故不等式组表示的平面区域是其公共部分。

2. 先画出不等式组表示的平面区域，再根据区域的形状，计算出面积。

3. 分别写出AB ，AC ，BC 的直线方程，根据对应的区域写出不等式组，注意分析是否包括AB 、AC 、BC 这三条直线。

【解题过程】 1. 不等式组表示的平面区域是不等式02x 2102-x -y ≤+->y ，的公共部分，故选D 。

2. 求出A （3，8）B （3，－3），C )25,25(-。

,11||=AB C 点到AB 的距离是211。

41212111121=⨯⨯=∴∆ABC S 3. AB 的直线方程是：x ＋3y －7＝0，AC 的直线方程是：3y －5x －1＝0，BC 的直线方程是：3y －2x ＋5＝0。

故平面区域对应的不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<--≤-+0523*******x y x y y x 。

【解题后的思考】画不等式组表示的平面区域时应注意是否包括此直线，求平面区域的面积时可根据区域的形状，采用适宜的方法求解。

例2：中档题1. 点P （a ，4）在不等式033>-+y x 表示的平面区域内，且到直线022=+-y x 的距离是5，则点P 的坐标是________。

2. 如图，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等的两部分，则k ＝___________。

3. 如图，在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x （a ＞－1为常数）表示的平面区域面积等于2，则a ＝________。

【思路分析】1. 根据点P 到直线022=+-y x 的距离建立关于a的方程，再根据P 点在不等式033>-+y x 表示的区域内求出a 的取值范围，进而决定a 的取舍。

2. 画出不等式组表示的平面区域，根据直线34+=kx y 过定点34,0(）再确定直线所通过的区域内的某一定点，才能保证此直线平分该区域。

然后把区域内的定点坐标代入直线方程，即可求k 的值。

3. 根据区域面积建立等量关系，进而求a 的值。

【解题过程】 1. 310343->⇒>-+a a Θ.1115)2(1|28|22==⇒=-++-a a a 或）或（,411)4,1(P ∴2. 由图得：不等式组表示的平面区域是ABC ∆的边界内部，且包括边界，直线34+=kx y 过定点A 34,0(）（即直线x ＋3y ＝4与y 轴的交点），要使直线34+=kx y 平分该区域，则直线过BC 的中点，易求BC 的中点坐标为)25,21(。

故37342125=⇒+⨯=k k3. 由已知，得：)1,1(11+⇒⎩⎨⎧=+=a A x ax y由)0,1(011B y x x ⇒⎩⎨⎧=-+=，)1,0(011C y x ax y ⇒⎩⎨⎧=-++=32)1(21|1|21=⇒=+=+=∴∆a a a S ABC 。

【解题后的思考】解决与本例题型相关问题的关键在于：一是理解点在平面区域内的含义（即点的坐标满足不等式），二是准确地画出平面区域，判断可行域的形状。

例3：应用与创新题 1. 已知复数yi x z +=，（),R y x ∈，在复平面内对应的点是M ，若]4,0[],3,0[∈∈y x ，则点M ),(y x 的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+00032y x y x 的概率是_____________。

2. 实数n m ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-≤-+111101n m n m ，则函数n mx y +=的图像经过第一、二、三象限的概率是_______。

【思路分析】1. 点M 的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+00032y x y x ，等价于点M 落在不等式组表示的平面区域内，而对任意的点M 的坐标满足]4,0[],3,0[∈∈y x 是一个矩形区域，故点M 的坐标满足不等式组的概率是不等式组表示的区域面积1S 与矩形区域面积2S 的比。

（几何概率） 2. 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-≤-+111101n m n m 表示的平面区域，函数n mx y +=的图像经过第一、二、三象限0,0>>⇔n m ，即满足条件的区域是第一象限的部分。

故所求的概率是第一象限的区域面积与不等式组表示的平面区域面积的比。

【解题过程】 1. 任意点M （x ，y ）落在矩形区域ABCD 内，区域面积122=S ，满足条件的区域OAD ∆（如图）的面积49233211=⨯⨯=S 。

故所求的概率是1631249==P2. 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-≤-+111101n m n m 表示的平面区域（如图），函数n mx y +=图像经过第一、二、三象限0,0>>⇔n m ，故满足条件的区域是第一象限的阴影部分。

故所求的概率是712721==p【解题后的思考】 解题过程中，几何概率知识常与平面区域面积问题联系在一起，解决此类问题的关键是准确地画出基本事件总数（无限个）对应的区域和某一事件A 发生所对应的区域，设它们的面积分别是S 、1S ，则事件A 发生的概率SS P 1=。

知识点二：求目标函数的最值及线性规划知识的实际应用 例4：基础题1. 设变量x ，y 满足不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x则y x z +=2的最大值是____________，最小值是_____________。

2. 已知点P （x ，y ）满足条件：k k y x xy x (020⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥是常数） 若y x z 3+=取得最大值是8，则k ＝_______________。

【思路分析】1. 先画出不等式组表示的平面区域，（如图）目标函数2z x y =+z x y +-=⇒2，此时z 是直线z x y +-=2在y 轴上的截距。

故z 的最值就是直线z x y +-=2在y 轴上的截距的最值。

作直线:0l x y 2-=（此时z ＝0，即x ＝0，y ＝0），然后作与直线0l 平行的直线。

找到通过区域上某一点，能使直线z x y +-=2在y 轴上的截距的最大、最小值的点（x ，y 的值）就是目标函数的最优解。

最后把点的坐标代入目标函数方程即可求z 的最值。

2. 画出不等式组表示的平面区域，在区域内找出使目标函数y x z 3+=取得最大值的点，即可求出k 的值。

【解题过程】1. 作出不等式组表示的平面区域（如图）作直线:0l x y 2-=（此时z ＝0，即x ＝0，y ＝0），然后作与直线0l 平行的直线，当该直线通过B 点时直线z x y +-=2在y 轴上的截距最小。

该直线通过A 点时，直线z x y +-=2在y 轴上的截距最大。

易求A （5，2），B （1，1）。

故max 25212z =⨯+=min 2113z =⨯+=2. 画出不等式组表示的平面区域目标函数y x z 3+=在点B （)3,3kk --处取得最大值是868)3(33-=⇒=-⨯+-∴k kk 【解题后的思考】对于求线性目标函数的最值问题仍是先要准确地画出可行域，作出目标函数通过原点的直线0l ，然后作平行于直线0l 的直线，在可行域内找到最优解，一般来说，可行域的边缘点有可能就是最值点，有些问题可直接代入边缘点找最值。

例5：中档题。

已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求下列目标函数的最值或取值范围。

（1）求z ＝x ＋2y －4的最大值。

（2）求2510z 22+-+=y y x 的最小值。

（3）求112++=x y z 的取值范围。

【思路分析】（1）只要求出线性目标函数P ＝x ＋2y 的最大值就可以求出z 的最大值。

（2）2510z 22+-+=y y x ＝（x －0）2＋（y －5）2，故z 可以看作是可行域内任意一点P （x ，y ）到定点Q （0，5）的距离的平方。

即要求z 的最小值，只要求出|PQ|2的最小值即可。

（3）由112++=x y z ＝)1()21(2----⨯x y 可知：z 表示可行域内的任意一点P （x ，y ）与定点T )21,1(--的连线的斜率的2倍，故要求z 的取值范围，只要求出斜率)1()21(----=x y k 的取值范围即可。