高中数学立体几何大题训练1. 如图所示,在长方体 1111ABCD A B C D -中, AB=AD=1, AA 1=2,M 是棱 CC 1的中点(Ⅰ求异面直线 A 1M 和 C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ证明:平面 ABM ⊥平面 A 1B 1M 12. 如图, 在矩形 ABCD 中,点 , E F 分别在线段 , AB AD 上, 243AE EB AF FD ====. 沿直线 EF 将 AEF V 翻折成 ' A EF V , 使平面 ' A EF BEF ⊥平面 . (Ⅰ求二面角 ' A FD C --的余弦值;(Ⅱ点 , M N 分别在线段 , FD BC 上,若沿直线 MN 将四边形MNCD 向上翻折,使 C 与 ' A 重合,求线段 FM 的长。

3. 如图, 直三棱柱 111ABC A B C -中,AC BC =, 1AA AB =, D 为 1BB 的中点, E 为 1AB 上的一点, 13AE EB =.(Ⅰ证明:DE 为异面直线 1AB 与 CD 的公垂线;(Ⅱ设异面直线 1AB 与 CD 的夹角为 45°,求二面角111A AC B --的大小.4. 如图,在四棱锥 P — ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA ⊥平面 ABCD , AP=AB , BP =BC =2, E , F 分别是 PB , PC 的中点 .(Ⅰ证明:EF ∥平面 PAD ;(Ⅱ求三棱锥 E — ABC 的体积 V.5. 如图,棱柱 111ABC A B C -的侧面 11BCC B 是菱形, 11B C A B ⊥(Ⅰ证明:平面 1ABC ⊥平面 11A BC ; (Ⅱ设 D 是 11AC 上的点, 且 1//A B 平面 1B CD , 求 11 :A D DC 的值 .6. 已知三棱锥 P -ABC 中, PA ⊥ ABC , AB ⊥ AC , PA=AC=½AB ,N 为 AB 上一点, AB=4AN,M,S分别为 PB,BC 的中点 . (Ⅰ证明:CM ⊥ SN ;(Ⅱ求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 .AC DE F7. 如图△ BCD 与△ MCD 都是边长为 2的正三角形,平面MCD ⊥平面 BCD , AB ⊥平面 BCD, AB =(1 求点 A 到平面 MBC 的距离;(2 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。

8. 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是正方形, AB=2EF=2, EF ∥AB,EF ⊥ FB, ∠ BFC=90°, BF=FC,H为 BC 的中点,(Ⅰ求证:FH ∥平面 EDB;(Ⅱ求证:AC ⊥平面 EDB;(Ⅲ求四面体 B — DEF 的体积;9. 如图, 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, C E ⊥ AC,EF ∥CE=EF=1.(Ⅰ求证:AF ∥平面 BDE ; (Ⅱ求证:CF ⊥平面 BDE ; (Ⅲ求二面角 A-BE-D 的大小。

10. 已知正方体 ABCD -A ' B ' C ' D ' 的棱长为 1,点 M 是棱 AA ' 的中点,点 O 是对角线 BD ' 的中点 .(Ⅰ求证:OM 为异面直线 AA ' 和 BD ' 的公垂线; (Ⅱ求二面角 M -BC ' -B ' 的大小;(Ⅲ求三棱锥 M -OBC 的体积 .参考答案1.2. (Ⅰ解:取线段 EF 的中点 H ,连结 ' A H ,因为 ' A E =' AF 及 H 是 EF 的中点,所以 ' A HEF ⊥, 又因为平面 ' A EF ⊥平面 BEF . 如图建立空间直角坐标系 A-xyz 则 ' A (2, 2, , C (10, 8, 0 ,A CM A '''F (4, 0, 0 , D (10, 0, 0 .故' FA →=(-2, 2,, FD →=(6, 0, 0 . 设n →=(x,y,z 为平面 ' A FD 的一个法向量,所以取 z =(0,n =-。

又平面 BEF 的一个法向量 (0,0,1m =,故 cos , 3n m n m n m 〈〉==。

(Ⅱ解:设 , FM x =则 (4,0,0 M x +,因为翻折后, C 与A 重合,所以 ' CM A M =, 故, 222222(6 80=22x x -++--++( (,得 214x =, 经检验,此时点 N 在线段 BC 上,所以 214FM=。

方法二:(Ⅰ解:取线段 EF 的中点 H ,AF 的中点 G , 连结 ' , ' , A G A H GH 。

因为 ' A E =' A F 及 H 是 EF 的中点,所以 ' A H EF ⊥又因为平面' A EF ⊥平面 BEF ,所以 ' A H ⊥平面 BEF , 又 AF ⊂平面 BEF , 故 ' A H ⊥AF, 又因为 G 、 H 是AF 、 EF 的中点, 易知 GH ∥ AB ,所以 GH ⊥AF ,于是 AF ⊥面 ' A GH ,所以 ' A GH ∠为二面角' A DH C --的平面角, 在 ' Rt A GH 中, ' A H =GH =2, ' A G =所以 cos ' A GH ∠=.故二面角' A DF C --的余弦值为 3。

(Ⅱ解:设 FMx =,因为翻折后, C 与 ' A 重合,所以 ' CM A M =,而 222228(6 CMDC DM x =+=+-,222222' ' ' A M A H MH A H MG GH =+=++ 2=得 214x=,经检验,此时点 N 在线段 BC 上,所以 214FM =。

3. (I 连接 A 1B ,记 A 1B 与 AB 1的交点为 F.因为面 AA 1BB 1为正方形, 故 A 1B ⊥ AB 1, 且 AF=FB1, 又 AE=3EB1, 所以FE=EB1, 又 D 为 BB 1的中点, 故 DE ∥ BF , DE ⊥ AB 1. ……………… 3分作 CG ⊥ AB , G 为垂足,由 AC=BC知, G 为 AB 中点 .又由底面 ABC ⊥面 AA 1B 1B. 连接 DG ,则 DG ∥ AB 1,故 DE ⊥ DG ,由三垂线定理,得 DE ⊥ CD. 所以 DE 为异面直线 AB 1与 CD 的公垂线 .(II 因为 DG ∥ AB 1,故∠ CDG 为异面直线 AB 1与 CD 的夹角,∠ CDG=45°设AB=2,则 AB 1=, DG=, CG=, AC=.作 B 1H ⊥ A 1C 1, H 为垂足,因为底面 A 1B 1C 1⊥面 AA 1CC 1,故 B 1H ⊥面AA 1C 1C. 又作 HK ⊥ AC 1, K 为垂足,连接 B 1K , 由三垂线定理,得 B 1K ⊥ AC 1,因此∠ B 1KH 为二面角 A 1-AC 1-B 1的平面角,由此可求出二面角大小 4. 解 (Ⅰ在△ PBC 中, E , F 分别是 PB , PC 的中点,∴ EF ∥ BC . 又 BC ∥ AD , ∴ EF ∥ AD ,又∵ AD ⊄平面 PAD ,E F ⊄平面 PAD , ∴ EF ∥平面 PAD .(Ⅱ连接 AE , AC,EC , 过 E 作 EG ∥ PA 交 AB 于点 G ,则 BG ⊥平面 ABCD , 且 EG =12PA .在△ PAB 中, AD =AB , ∠PAB °, BP =2,∴ AP =ABEG=2.∴ S △ ABC =12AB ·BC =12∴ V E-AB C =13S △ ABC ·EG =132=13. 5. 解:(Ⅰ因为侧面 BCC 1B 1是菱形,所以 11BC C B ⊥又已知 B BC B A B A C B =⋂⊥1111, 且所又⊥C B 1平面 A 1BC 1,又⊂C B 1平面 AB 1C ,所以平面⊥C AB 1平面 A 1BC 1 .(Ⅱ设 BC 1交 B 1C 于点 E ,连结 DE , 则 DE 是平面 A 1BC 1与平面 B 1CD 的交线, 因为 A 1B//平面 B 1CD ,所以 A 1B//DE. 又 E 是 BC 1的中点,所以 D 为 A 1C 1的中点 .即 A 1D :DC 1=1.6. 证明:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB , AC , AP 分别为 x , y , z 轴正向建立空间直角坐标系如图。

则 P (0,0,1 , C (0,1,0 , B (2,0,0 , M (1,0,12, N (12,0,0 , S (1,12,0 .(Ⅰ 111(1,1, , (, ,0 222CMSN =-=--,因为 110022CM SN ∙=-++=,所以 CM ⊥ SN (Ⅱ 1(,1,0 2NC=-,设 a=(x , y , z 为平面 CMN 的一个法向量, 则 10, 2210. 2x y z x x y ⎧-+=⎪⎪=⎨⎪-+=⎪⎩令 ,得 a=(2,1,-2.因为cos , 2a SN ==所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45°。

7. 解法一:(1取 CD 中点 O ,连 OB , OM ,则 OB ⊥ CD , OM ⊥ CD . 又平面MCD⊥平面 BCD , 则 MO ⊥平面 BCD ,所以 MO ∥ AB ,A 、B 、 O 、 M 共面 . 延长 AM 、 BO 相交于 E ,则∠ AEB 就是 AM 与平面BCD 所成的角 . OB =MO=MO ∥ AB , MO//面 ABC , M 、 O 到平面 ABC 的距离相等, 作 OH ⊥BC 于 H ,连 MH ,则 MH ⊥BC ,求得:OH=OCsin600=2,MH=2, 利用体积相等得:A MBC M ABC V V d --=⇒=。

(2 CE 是平面ACM 与平面 BCD 的交线 .由(1知, O 是 BE 的中点,则 BCED 是菱形 .作 BF ⊥ EC 于 F ,连 AF ,则 AF ⊥ EC ,∠ AFB 就是二面角 A -EC -B 的平面角,设为θ. 因为∠ BCE =120°,所以∠ BCF =60°.sin 60BF BC =⋅tan 2AB BF θ==, sin 5θ=解法二:取 CD 中点 O ,连 OB , OM ,则 OB ⊥ CD , OM ⊥ CD ,又平面 MCD ⊥平面 BCD , 则 MO ⊥平面 BCD .以 O 为原点,直线 OC 、 BO 、 OM 为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系如图 .OB=OM O (0, 0, 0, C (1, 0, 0 , M (0, 0, , B (0, 0 , A (0,, (1设 (, , n x y z = 是平面 MBC的法向量,则,BM =, 由n B C⊥得 0x =; 由n B M⊥得=;取 1,1, n BA =-=,则距离BA n d n⋅==(2(1CM =-, (1, CA =-.DBA设平面 ACM 的法向量为 1(, , n x y z =, 由 11n C M n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得 0x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩.解得 x =, y z =,取 1,1 n =. 又平面 BCD 的法向量为 (0,0,1n =,则 111cos , n n n n n n⋅<>==⋅设所求二面角为θ,则 sin 5θ=.8. (1设底面对角线交点为 G ,则可以通过证明 EG ∥ FH ,得 FH ∥平面 EDB ; (2利用线线、线面的平行与垂直关系,证明 FH ⊥平面 ABCD ,得 FH ⊥ BC , FH ⊥AC ,进而得 EG ⊥ AC , AC ⊥平面 EDB ; (3证明 BF ⊥平面 CDEF ,得 BF 为四面体 B-DEF 的高,进而求体积 . 9.(1, 1//,21//, 2////AC BD G G AC EG GH H BC GH AB EF AB EFGH EG FH EG EDB FH EDB ∴∴⊂∴证:设与交于点 ,则为的中点,连 ,由于为的中点,故又四边形为平行四边形,而平面 , 平面证明:(I 设 AC 与 BD 交与点 G 。