第二节 用样本估计总体
时间：45 分钟 分值：75 分
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1．(2013·重庆卷)如下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为(
)
A.0.2 B ．0.4 C ．0.5
D ．0.6
解析 由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为 4，所以数
据落在区间[22,30) 4 0.4，故选 B.
内的频率为 ＝
10
答案 B
2．(2013·陕西卷)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测， 下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准， 产品长度在区间[20,25)上为一等品， 在区间[15,20)和[25,30)上为二等品， 在区间[10,15)和[30,35)上为三等品. 用频率估计概率， 现从该批产品中随机抽取 1 件， 则其为二等品的概率是(
)
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
解析由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1 件为二等品的概率为0.45.
答案 D
3．(2013·四川卷)某学校随机抽取20 个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5 将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )
解析由茎叶图知，各组频数统计如下表：
分组[0,5) [5,10) [10，[15，[20，[25，[30，[35，
区间15) 20) 25) 30) 35) 40) 频数
统计
1 1 4
2 4
3 3 2
答案 A
4．(2014·河南郑州预测)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，下图是据某地某日早7 点至晚8 点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )
A．甲B．乙
C．甲乙相等D．无法确定
解析由茎叶图可知甲数据比较集中，所以甲地浓度的方差小，选 A.
答案 A
5.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲乙丙丁
平均环数x8.3 8.8 8.8 8.7
(
) A ．甲 B ．乙 C ．丙
D ．丁
解析 由题目表格中数据可知，丙平均环数最高，且方差最小， 说明丙技术稳定，且成绩好，选 C.
答案 C
6. 样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平
均数为y (x ≠y )，若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…y m )的平均数z ＝αx ＋(1
－α)y ，其中 0＜α＜1
，则 n ，m 的大小关系为( )
2
A ．n ＜m
B ．n ＞m
C ．n ＝m
D ．不能确定
解析 依题意得 x 1＋x 2＋…＋x n ＝n x ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m y ， x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y m ＝(m ＋n )z ＝(m ＋n )αx ＋(m ＋n )(1 －α)y ，
所以 n x ＋m y ＝(m ＋n )αx ＋(m ＋n )(1－α)y . 所以Error!
于是有 n －m ＝(m ＋n )[α－(1－α)] ＝(m ＋n )(2α－1)．
因为 0＜α 1
＜ ，所以
2 2α－1＜0. 所以 n －m ＜0，即 n ＜m . 答案 A
二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
7.某校举行2014 年元旦汇演，九位评委为某班的节目打出的分数(百分制)如茎叶统计图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数为．
解析根据茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，得到的数据为七个，中位数为85.
答案85
8．(2014·武汉调研)
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．则
(1)图中的x＝；
(2)若上学所需时间不少于1 小时的学生可申请在学校住宿，则该校600 名新生中估计有名学生可以申请住宿．解析由频率分布直方图知20x＝1－20×(0.025＋0.006 5＋0.003＋0.003)，解得x＝0.012 5.上学时间不少于1 小时的学生频率为
0.12，因此估计有 0.12×600＝72 人可以申请住宿．
答案 0.012 5 72
9．(2014·安徽联考)已知 x 是 1,2,3，x,5,6,7 这七个数据的中位数，
且 1,3， x ， － y 这四个数据的平均数为 1
1 y 的最小值为
．
解析 由已知得 3≤x ≤5 ， 则 ＋
x
1＋3＋x －y
＝1，
，
4
∴y ＝x ， 1 1 1
∴ ＋y ＝ ＋x ，又函数 y ＝ ＋x 在[3,5]上单调递增，∴当 x ＝3 时 x x x 10
取最小值 .
3
答案
10 3
三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分) 10．(2014·衡阳调研)甲、乙两台机床同时生产一种零件，在 10 天中，两台机床每天出的次品数分别是：
10 天生产中出次品的平均数较小？出次品的波动较小？
1
解 x 甲＝ ×(0×3＋1×2＋2×3＋3×1＋4×1)＝1.5，
10 1
x 乙＝ ×(0×2＋1×5＋2×2＋3×1)＝1.2，
10 s 甲
2 ＝ 1 ×[(0－1.5)2＋(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋…＋(2－1.5)2＋(4－ 10
×
1.5)2]＝1.65，
s2＝
1
[(2－1.2)2＋(3－1.2)2＋(1－1.2)2＋…＋(0－1.2)2＋(1－
10
1.2)2]＝0.76.
从结果看乙台机床10 天生产中出次品的平均数较小，出次品的波动也较小．
11．(2013·新课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500 元，未售出的产品，每1 t 亏损300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T 表示为X 的函数；
(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000 元的概率．
解(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)
＝800X－39 000.
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
所以T＝Error!
－ ＝ (2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X ≤150. 由直方图知需求量 X ∈[120,150]的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7.
12．(2013·安徽卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取 30 名高三年级学生， 以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：
(1) 若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05，求甲校高三
年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60 分及 60 分以上为及格)；
(2) 设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 x 1、
x 2, 估计 x 1－x 2 的值．
解 (1)设甲校高三年级学生总人数为 n . 30
由题意知， ＝0.05，即 n ＝600.
n
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为 5，据此估计甲
校高三年级此次联考数学成绩及格率为 1 5 5
.
30 6
(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x ′1，x ′2.
根据样本茎叶图可知，30(x ′1－x ′2)＝30x ′1－30x ′2＝(7－5) ＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49 －53－77＋2＋92＝15.
因此x′1－x′2＝0.5.故x1－x2 的估计值为0.5 分．。