在生命科学和社会科学中，生命现象和社会现象都是一 种复杂现象，非线性关系更是常见。
客观世界是复杂的，所以科学家们认为“世界在本质上 是非线性的”。但以往人们对复杂事物的认识总是通过还原 论方法把它加以简化，即把非线性问题简化为线性问题。这 种认识方法虽然在科学研究中发挥过巨大作用，但是随着科 学技术和社会的发展，已经精暴品p露pt 出它的局限性，从而要求人3
人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性
可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、
经济学，以及社会科学等众多的科学之中，可以存在于
物质系统的多个层次上，它是物质运动、发展的一种普
遍的表现形式，即是自然界普遍的规律之一。下面举几
个例子来说明自相似性。
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太阳系的构造与原子的结构作一对比，就会发 现这两个系统在某些方面具有惊人的相似。虽然这 两个系统在自然界中尺度相差如此悬殊，但它们物 质系统之间存在着自相似的性质。
目前国内外定期召开有关分形的学术会议，出版会议 论文集和关于分形的专著，在重要期刊上经常发表涉及 分形理论和应用的论文。世界上1257种学术刊物在80 年代后期发表的论文中,与分形有关的占据37.5%。从发 表论文来看，所涉及的领域包括哲学、物理、化学、材 料化学、电子技术、表精面品p科pt 学、计算机科学、生物学、 4
下面给出“分形”的两个定义，在物理上易于理解， 但不够精确，也不够数学化。
定义1（Mandelbrot,1986）,部分以某种形式与整体 相似的形状叫分形。
定义2（Edgar,1990），分形集合是这样一种集合， 它比传统几何学研究的所有集合还更加不规则
（irregular）,无论是放大还是缩小，甚至进一步缩小， 这种集合的不规则性仍然是明显的。
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图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状
图1.2 日本传统精绘品画ppt中对海浪的描述
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图1.3 山脉的复杂形态
另外，在科学研究中，对许多非规则性对象建模分 析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对 象，都需要 一种新的几何学来描述。
所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态， 是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分 形的几何，称为分形几何精，品又ppt称为描述大自然的几何。 8
“分形”这个名词是由美国IBM公司研究中心物理
部研究员暨哈佛大学数学教授曼德勃罗特（Benoit
B.Mondelbrot）在1975年首次提出（创造）的，其原义
是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体，这个名词
是参照了拉丁文fractus(弄碎的)后造出来的。它含有英文
中
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frature(分裂)fraction（分数）的双重意义。而我国在山 西五台山南山寺的影壁墙上的碑文中，早在清朝时代就 有了“日月光明，分形变化”的语句。
医学、农学、天文学、气象学、地质学、地理学、城市 规划学、地震学、经济学、历史学、人口学、情报学、 商品学、电影美学、思维、音乐、艺术等。
分形是一门新的学科，它的历史很短，目前正处在发 展之中，它涉及面广但还不够成熟，然而分形理论具有 强大的生命力。
一、非线性复杂系统
（一）什么是分形（fractal）
分形理论
——非线性科学三大理论前沿之一
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前言
一、非线性复杂系统
（一）什么是分形（FRACTAL）
（二）自相似性
（三）标度不变性
二、非欧氏几何学（分形几何学）
三、分形理论的应用
结束语
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分形理论
——非线性科学三大理论前沿之一
前言
自然界大部分不是有序的、平衡的、稳定的和确定性的， 而是处于无序的、不稳定的、非平衡的和随机的状态之中， 它存在着无数的非线性过程，如流体中的湍流就是其中一个 例子。
们直接研究复杂事物，以便更准确、更充分地反映其本 来面目。因此，一门研究复杂现象的非线性科学应运而 生。
在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要特征，但 同时，在这些极其复杂的现象背后，存在着某种规律性。 分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这些难 题，透过扑朔迷离的无序的混乱现象和不规则的形态， 揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的本 质联系。
物质系统之间的自相似性在生物界也广泛地存在 着。以人为例，人是由类人猿进化到一定程度的产 物，解剖学研究表明，人体中的大脑、神经系统、 血管、呼吸系统、消化系统等在结构上都具有高度 的自相似性。图1.4是人体小肠的结构，由图可以看 到，当以不同的放大倍数观察小肠结构时，即从a到 e较大的形态与较小的形态之间的相似表明小肠结构 具有自相似性。
人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。 在历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密切 相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观 世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、射影 几何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界的许多 现象，如各种工业产品的现状，建筑的外形和结构等。 但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。 例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、 闪电、海浪等等，例如图1.1、图1.2和图1.3所示。用欧 几里德几何学是无能为力的。
分形具有广阔的应用前景, 在分形发展的过程中，许
多传统的科学难题，由于分形的引入而取得显著进展。
分形作为一种新的概念和方法正在许多领域应用探索。
美国著名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就
不能称为科学的文化人。正因为分形饱含哲理，概念新
颖，且应用前景宽广，才能引起人们的浓厚兴趣。
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（二）自相似性
分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不 同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统 或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整 体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。 一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局 域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。
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图1.4 人体精小品p肠pt的自相似结构
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一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝与 该棵大树相比，在构成形式上完全相似。又会发现该树 枝上分叉长出来的更小的细枝条，仍具有大树构成的特 点。当然，这只能是在一定尺度上呈现相似性，不会无 限扩展下去。另外，树枝与树枝之间，树叶与树叶之间， 也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树叶的叶脉，也 可以发现类似的自相似结构。