2019年12月17日9时57分
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例5 判别级数

ln 1
n2
1 n2
的敛散性
.
解:
ln
1

1 n2

ln
n2 1 n2
ln(n 1) ln(n 1) 2ln n
Sn
n
ln
k 2
1

1 k2

[ln 3 ln1 2ln 2] [ln 4 ln 2 2 ln 3] [ln 5
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基于级数与数列的这种关系,不难根据数列极限的 性质得出下面有关级数的定理．
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定理12.1（柯西准则）级数 un收敛的充要条件是
对任给 > 0 , 存在 N > 0, 使得当 m > N 以及对任意的正

1 1 2

1 23

1 34

1 n(n
1)
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 3 4
n n1
1 1 1 ( n ） n1
所以级数收敛, 其和为 1 .
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一、数项级数的概念
例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形,设 a0 表示

这个和逼近于圆的面积 A . 即
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解 1) 若
则部分和
1 qn a
从而
lim
n
1 Sn
q
1
a
q
因此级数收敛，其和为 a ;
1q
从而
lim
n
Sn


,
因此级数发散．
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2). 若
因此级数发散； 级数成为
因此 从而
a n为奇数
Sn

0
n为偶数
例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减
少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.
由自由落体运动方程
s

1 g t 2知 2
t

2s g
设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为
T t1 2t2 2t3

2 g
1 2
1 2
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定义1 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , ,
将各项依次用“+” 号连接起来的表达式
称为数项级数或无穷级数, 记为

un , 简记为 un .
n1
其中第 n 项 un叫做级数的通项或一般项.
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整数 p , 都有
| um1 um2 um p |
证 设所给级数部分和数列为 Sn(n 1, 2,), 因为
所以, 利用数列 Sn(n 1, 2,)
收敛的柯西准则即得本定理的结论．
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级数 un 发散的充要条件是：存在 0 > 0 , 使得
(
1 2)2

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对于有限个实数 u1,u2,…,un 相加后还是一个实数， 那么“无限个实数相加”会有什么结果呢？请看下
面的几个例子. 如在第二章提到《庄子·天下篇》
“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的例中,将每天截下
ln 3 2 ln 4] [ln(n 1) ln(n 1) 2ln n]
ln 2 ln(n 1) ln n ln(1 1n) ln 2

lim
n
Sn

Hale Waihona Puke n2,故原级数收敛
,
其和为 ln
2.
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结果肯定是0， 如写作
1 [(1) 1] [(1) 1] 1 0 0 0 , 则结果是 1．
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两个结果的完全不同，由此提出了两个问题： “无限个数相加”是否存在“和”； 如果存在， “和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能简单地与有限个数相 加作简单的类比，需要建立新的理论．
由于级数的收敛或发散(简称敛散性)是由它的部分和 数列 { Sn }来确定, 因而也可把级数作为数列 { Sn } 的 另一种表现形式．反之, 任给一个数列 { an }如果把它 看作某一数项级数的部分和数列, 则这个数项级数就是
这时数列 { an } 与级数具有相同的敛散性，且当{ an } 收敛时，其极限值就是级数的和．
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级数的前 n 项和
称为级数的第 n 个部分和，简称部分和.
定义2
则称无穷级数收敛 ,
并称 S 为级数的和, 记作
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则称无穷级数 un 发散．
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例3. 讨论等比级数 (也称为几何级数)
( q 称为公比 ) 的收散性．
那一部分的长度“加”起来是:
1 2

1 22

1 23


1 2n

,
1
由中学的知识，这无限个数相加的结果是
2 1 1
1
2
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又如下面由“无限个数相加”的表达式
1 (1) 1 (1) 如果将其写作
(1 1) (1 1) (1 1) 0 0 0 ,
不存在， 因此级数发散．
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综合 1)、2)可知， 等比级数
当 q 1 时, 等比级数收敛 ； 当 q 1 时, 等比级数发散．
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例4 判别下列级数的敛散性:
解
Sn