§ 6.1 测地曲率1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。

证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()}r f v u f v u g v =，22222()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++，222(),()()E f v G f v g v ''==+纬线即u—曲线：0v v =（常数），其测地曲率为2u g k ===为常数。

2、证明：在球面S(cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =，,0222u v πππ-<<<< 上，曲线C的测地曲率可表示成()()sin(())g d s dv s k u s ds dsθ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程，s是曲线C 的弧长参数，()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲线）之间的夹角。

证明 易求出2E a =, 0F =,22cos G a u =,因此g d k ds θθθ=221ln(cos )sin 2d a u ds a uθθ∂=+∂sin sin cos d u ds a uθθ=-，而1sincos dv dsa u θθ==，故 sin gd dv ku ds dsθ=-。

3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-，其中s是曲线C 的弧长参数，2g EG F =-，并且12112111222(())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ，22222111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ特别是，参数曲线的测地曲率分别为2311(())u g k u s '，1322(())vg kv s '= 。

证明 设曲面S 参数方程为12(,)rr u u =，1122:(),()C u u s u u s ==曲面S 上的曲线的参数方程为1122:(),()C u u s u u s ==，s 为C 的弧长参数；n 为S 上沿C 的法向量；曲线12()((),())r r s r u s u s ==，而 21()ii i du r s r ds ='=∑，21kij ij k ij k r r b n ==Γ+∑，2222,11()ji i ij i i j i du du d u r s r r ds ds ds ==''=+∑∑，22222,,1,11j j k ii k ij k ij k i j k i j k du du du du d u r b n r ds ds ds ds ds ====Γ++∑∑∑222221,1,1()j j k k ii ij k ij k i j i j du du d u du du r b n ds ds ds ds ds ====+Γ+∑∑∑，代入计算(,,)g k r r n '''=22222211,1,1,(),j j k ik ii i ij k ij i k i j i j du du du d u du du r r b n n ds ds ds ds ds ds ====⎛⎫=+Γ+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑222122,1[()j iij i j du du du d u ds ds ds ds ==+Γ∑22121122,1()](,,)j i ij i j du du du d u r r n ds ds ds ds =-+Γ∑，由此得到222122,1()j ig ij i j du du du d u k ds ds ds ds ==+Γ∑221212,1()]ji ij i j du du du d u ds ds ds ds =-+Γ∑，以上是测地曲率的一般计算公式。

换回参变量12,u u u v ==，即可得到结果。

4．若曲面S ：(,)r r u v =上曲线C :u = u(t),v = v(t),t 为曲线C上的任意参数，试导出测地曲率g k 的计算公式。

解 由于(,,)g r r r n κε=⋅= ，而222',''()ds ds d sr r r r r dt dt dt==+ ，所以()22332','',[(())](,,)()||'||g ds ds d s dsr r n r r r n r r n r dt dt dt dtκ=⨯+==，所以3('(),''(),())()||'()||g r t r t n t t r t κ=；记12,u u v u ==，又'iiidu r r dt=∑，22,''j i iij i i j i du du d u r r r dt dt dt=∑+∑22,,,j j ki i kijk ij k i j k i j k du du du du d u r b n r dt dt dt dtdt =∑Γ+∑+∑ ， 从而(','',)(''')r r n r r n =⨯⋅2221122122,,[()(j j ii ij iji j i j du du du du du d u du d u dt dt dt dt dt dt dt dt=+∑Γ-+∑Γ ||'||r g =∑，由此得到：2221122122,,2,[()()]()j j i ig ij ij i j i j j i ij i jdu du du du du d u du d u dt dt dt dt dt dt dt dt g dt dt κ=+∑Γ-+∑Γ∑。

5、求椭球面2222221x y z a b c ++=上由平面1x ya b +=所截的截线在点(,0,0)A a =的测地曲率。

6、求椭球面2222221x y z a b c ++=上由平面1x y za b c++=所截的截线在点(0,0,)Cc =的测地曲率。

6、2 测地挠率1、对曲面∑上的曲线Γ的测地挠率，有22)()()()()]g du du dv dvME LF NE LG NF MG ds ds ds dsτ=-+-+-. 证明 证法一 (()())g n s r s n τ''=⨯⋅，将||||u vu v r r n r r ⨯=⨯代入，利用拉格朗日恒等式，得(()())(()())||||u vg u v r r n s r s n n s r s r r τ⨯''''=⨯⋅=⨯⋅⨯()()1()()||||u vu vu v n s r n s r r s r r s r r r ''⋅⋅=''⋅⋅⨯，将 ()uv du dv n s n n ds ds '=+，()u vdu dv r s r r ds ds'=+代入，得 21||||()g u v Ldu Mdv Mdu Ndv Edu FdvFdu Gdv r r ds τ----=++⨯21||||()u v Edu Fdv Fdu Gdv Ldu MdvMdu Ndvr r ds ++=++⨯2221()()()()()||||()u v ME LF du NE LG dudv NF MG dv r r ds =-+-+-⨯ 222()()1||||()u v dv dudv du E F G r r ds LMN-=⨯22()()dv du dv du ds ds ds dsE F G LMN-=； 证法二 ((),(),g n s rs n τ''=， 由||||u vu v r r n r r ⨯=⨯，得11(,,)||||||||u v u v u v u v r r n n n r r n r r r r ⨯=⋅=⋅=⨯⨯从而1((),(),)(,,)||||g u v u v n s r s n r r n r r τ''=⨯1((),(),)(,,)||||Tu v u v n s r s n r r n r r ''=⨯()()()1()()()||||u v u v u v u v n s r n s r n s n r s r r s r r s n r r n r n r n n '''⋅⋅⋅'''=⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅ ()()01()()0||||1u v uvu v n s r n s r r s r r s r r r ''⋅⋅''=⋅⋅⨯ ()()1()()||||u vuvu v n s r n s r r s r r s r r r ''⋅⋅=''⋅⋅⨯，将 ()uv du dv n s n n ds ds'=+，()uvdu dvr s r rds ds'=+代入，得 21||||()g u v LduMdv Mdu Ndv Edu FdvFdu Gdv r r ds τ----=++⨯21||||()u v Edu Fdv Fdu Gdv Ldu Mdv Mdu Ndvr r ds ++=++⨯22)()()()()du du dv dvME LF NE LG NF MG ds ds ds ds=-+-+- . 2、设:()r r s Γ=是曲面∑上的曲线，证明：Γ是曲率线的充分必要条件是((),(),)0g n s r s n τ''==。

证明 设Γ是曲率线，于是()r s '是主方向，则有()//()n s r s ''， 从而((),(),)0g n s r s n τ''==；若((),(),)0g n s r s n τ''==，则有(),(),n s r s n ''共面，于是有()()n s ar s bn ''=+，而()0n s n '⋅=，必有0b =，于是()()n s ar s ''=， 即得()r s '是主方向，Γ是曲率线。