第十二章重积分
本章所介绍的重积分的被积函数是多元函数，积分范围是平面或空间的一个区域，因此重积分是一元函数定积分的推广。

第一节二重积分的概念与性质
一、教学目标
1、正确理解二重积分的概念；
2、知道二重积分的性质及二重积分的几何意义。

二、教学重点
1、二重积分的概念；
2、二重积分的性质。

三、教学难点
二重积分的概念
四、教学内容
1.二重积分的概念
（i）曲顶驻体的体积
（ii）非均匀平面薄片的质量（iii）二重积分的定义（iv）二重积分的几何意义2.二重积分的性质
3、例题
例 1 根据二重积分性质比较二重积分
()D
x y d σ+⎰⎰与2
()D
x y d σ+⎰⎰的大小，其
中D 是由x 轴，y 轴及直线1x y +=所围成区域.
例 2 利用二重积分性质估计积分值
():01,01
D
I xy x y d D x y σ
=+≤≤≤≤⎰⎰.
五、布置作业
第二节 二重积分的计算
一、教学目标
1、掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标）；
2、能根据积分区域和被积函数的特点选择坐标系及积分次序，能正确定出累次积分的积分限。

二、教学重点
二重积分的计算方法 三、教学难点
化重积分为累次积分的定限问题
四、教学内容
1. 二重积分在直角坐标系下的计算 （1）原理
（2）例题 例 1 计算
D
xyd σ
⎰⎰，其中D 是由
1,2y x ==及y x =所围成的闭区域.
例2 计算
22
3D
x y d σ⎰⎰，其中D 是由x 轴，
y 轴及抛物线21y x =-围成.
例3计算
D
xyd σ⎰⎰，其中D 是由抛物线
2y x =及直线2y x =-所围成闭区域.
例4 计算二重积分
2
D
xy d σ⎰⎰，其中D 是由
224x y +=及y 轴围成右半区域.
例 5 计算
2
y D
e dxdy -⎰⎰，其中D 是由直线0,,1x y x y ===围成.
（3）小结：
由于将二重积分化为累次积分，有两种积分次序，所以可以通过二重积分将已给出的累次积分次序加以更换，这种更换有时会简化计算
例6 更换下列积分次序： （1）
1
10
1
(,)x
x dx f x y dy --⎰
⎰
；
（2）
3
93
1
1
3
3
(,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx +⎰
⎰⎰⎰.
2. 二重积分在极坐标系下的计算
（1） 原理
（2）例题 例7 将二重积分
(,)D
f x y d σ⎰⎰化为极坐标
系下累次积分，其中D 为
222,0x y Ry x +≤≥.
例9
计算二重积分
D
σ，其中
222:()(0)D x a y a a -+≤>.
例10
计算D
I =
⎰⎰，其中2222{(,)4}D x y x y ππ=≤+≤.
例11 计算
2
2()
222,{(,)}
x y D
e dxdy D x y x y a -+=+≤⎰⎰.
第三节 三重积分的概念与计算 一、教学目标
1、了解三重积分的概念；
2、会计算简单函数的三重积分。

二、教学重点、教学难点
1、三重积分的概念；
2、计算简单函数的三重积分。

三、教学内容
一.三重积分的概念
（1）非均匀密度的物体质量
（2）三重积分的定义
二.三重积分的计算 1、
2、
4、例题例1 计算三重积分I xdxdydz
Ω
=⎰⎰⎰，其中Ω由三个坐标面与平面1
x y z
++=围成.
例 2 计算z d x d
Ω
⎰⎰⎰，其
中:z
Ω=z h
=所围区域.
四、布置作业
第四节利用驻面坐标和球面坐标计算三重
积分
一、教学目标
1、学会利用驻面坐标计算三重积分；
2、学会利用球面坐标计算三重积分；
3、培养学生的空间观念和绘图能力。

二、教学重点、教学难点
1、利用驻面坐标计算三重积分；
2、利用球面坐标计算三重积分。

三、教学内容
1.利用驻面坐标计算三重积分例1 利用驻面坐标计算三重积分zdV
Ω
⎰⎰⎰，其中
22 {(,,)}
x y z z z x y Ω==+
.
例 2 利用驻面坐标计算三重积分2222
(),:2,0 2.
x y dV x y z z
Ω
+Ω+=≤≤⎰⎰⎰
2.利用球面坐标计算三重积分
例 3 计算三重积
分
222
,:.
x y z z Ω
Ω++≤四、布置作业
第五节重积分的应用
一、教学目标
1、使学生掌握利用二重积分求平面图形的面积；
2、使学生掌握利用二重积分和三重积分求空间封闭曲面所围的立体体积；
3、使学生学会用重积分计算曲面面积；
4、使学生学会计算平面薄板、空间物体的质量以及平面薄片的重心。

二、教学重点
1、用重积分计算物体的体积；
2、用重积分计算空间物体的质量。

三、教学内容
1.平面图形的面积
例1 求曲线
00
0),(0),0
y p x x x y
>=>=所围图形面积.
2.空间封闭曲面所围的立体的体积
例 2 一个立体由四个面0,0,1,1
x y x y
====所围驻体被平面
z=及236
x y z
++=所截，求立体体积.
例3
求由曲面22
z z x y
==+所
围立体的体积. 3.曲面面积
例 4 求球面2222
x y z a
++=，被圆柱面22
x y ax
+=所截部分面积.
4. 质量
例5 设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线
2r θ=上的一段弧(0)2
π
θ≤≤
与直线
2
π
θ=
围成，它的密度2
2
(,)x y x y ρ=+，
求此薄片质量.
例6 球心在原点，半径为R 的球体，在其任一点的密度与此点到球心距离成正比，求球的质量.
5. 平面薄片的重心
例7 求位于两圆2sin ,4sin r r θθ==之间的均匀薄片的重心.
四、布置作业。