x1=X(1,1);x2=X(2,1);
end
end
if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001)
a(k+1)
b(k+1)
k
f0(k+1)
break;
逐次插值逼近法 近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化
指寻求 n元实函数f在整个n维向量空间Rn上的最优值点的方法。无约 束最优化方法大多是逐次一维搜索的迭代算法。这些迭代算法的基本
..........
3
思想是：在一个近似点处选定一个有利搜索方向,沿这个方向进行一 维寻查,得出新的近似点。然后对新点施行同样手续，如此反复迭代, 直到满足预定的精度要求为止。根据搜索方向的取法不同，可以有各 种算法。
else
m(k+1)=c*m(k);
..........
12
end end
结果：
•
ans =
•
• 1.0000
•
•
• ans =
•
• -7.1594e-004
•
•
• k=
•
• 14
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13
小结
讲解了两个求解有约束非线性规划问题的特点. 易于实现，方法简单. 没有用到目标函数的导数.
...
8
4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法： （1） 给定初始内点 x(0) S ，允许误差 e>0，
障碍参数 (1) ，缩小系数b (0,1) ，置 k=1；
（2） 以 x(k1) 为初始点，求解下列规划问题： min f (x) (k) B(x) ，令x(k) 为所求极小点 s.t. x S
（3） 如果 (k) B(x (k) ) e ，则停止计算，得到结果x(k) ，
（4） 否则令 (k1) b (k) ，置 k=k+1，返回（2）。
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9
内点法框图 k k1
x(0) S0 , 1 0, [0,1], 0, k 1
min f ( x) kq( x)
=diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2');
for k=1:100
x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);
for n=1:100
f1=subs(fx1);
f2=subs(fx2);
f11=subs(fx1x1);
f12=subs(fx1x2);
..........
11
f21=subs(fx2x1);
f22=subs(fx2x2);
if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)
a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f));
break;
else
X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]';
m(1)=1;c=0.2;a(1)=2;b(1)=-3;
f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15;
fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1,'x2');fx2x1
最速下降法（负梯度法） Newton法 共轭梯度法 拟Newton法 变尺度法
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4
二.有约束问题
（一）罚函数法（SUMT） 1、算法思想： 将有约束优化问题转化为一系列无约束优化问题 进行求解.(Sequential Unconstrained Minimization Technique-SUMT） 2、算法类型： 外点法（外惩法） 内点法（内惩法）
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5
3、问题：
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6
4.1、外点法（外部惩罚函数法）：
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7
外点法框图： k k1
初始x(0) , 1 0, 1 0, k 1
以x(k)为初始点, 解
min f (x) k p(x)
得到 x(k 1)
No
k1 k
k p( x(k1) )
问题的转化技巧（近似为一个无约束规划）.
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14
（二）拉格朗日乘子法 （三）可行方向法与广义简约梯度法 （四）SQP方法
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三.Matlab求解有约束问题
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16
运行输出：
x= 24.0000 12.0000 12.0000
fval =
-3.4560e+03
运行输出：
x= 0.2578 0.2578
resnorm = 124.3622
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21
Thank you for your attention!
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22
s.t. x S0 从x(k )出 发, 求 得 x(k1)
No
k1 k
kq( x(k1) )
yes
停
x(k1) opt
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内点法的matlab程序：
m=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);
syms x1 x2 e;
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（二）非负条件下线性最小二乘lsqnonneg
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（三）有约束线性最小二乘lsqlin
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（四）非线性最小二乘lsqnonlin
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求解x,使得下式最小
e e 10 (2 2k
kx1
kx 2)2
k 1
非线性规划问题的求解方法
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1
Content
无约束非线性规划问题 有约束非线性规划问题
Matlab求解有约束非线性规划问题
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一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用 价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。