Par公司是一家高尔夫球设施制造商。
经理认为引进某种耐磨、持久的高尔夫球会使Par公司的市场占有率上升。
因此Par公司的研究小组致力于一种为抵抗切割以及使球更耐用而设计的高尔夫球外膜的调查。
研究者关注新外膜对击球距离的影响。
Par公司希望新的耐磨球与当前型号的高尔夫球有相同的击球距离。
为比较两种球的击球距离，该公司决定用40只新的耐磨型号球与40只当前型号球来做距离检验。
为了能将两型号的平均距离的差异归因于方案的不同，实验是由一个机械击球装置来进行的。
实验结果如下表，其中距离是按最接近的码数来测量的。
该数据存储在数据光盘的Golf数据集中。
管理报告：
1. 用公式表示并描述Par 公司用于比较当前球与新球击球距离的假设检验的基本原理。
2. 通过分析数据，得出假设检验的结论。
检验p -值是多少？您对Par 公司有何建议？
3. 对每种型号的数据给出描述性的统计总结。
4. 每种型号的总体均值的95％置信区间是多少？两个总体均值之差的95%的置信区间是多少？
5. 你认为对高尔夫球需要更大的样本容量做进一步检验吗？讨论之。
管 理 报 告
1. 用公式表示并描述Par 公司用于比较当前球与新球击球距离的假设检验的基本原理。
设X 表示当前型号高尔夫球的击球距离，Y 表示耐磨型号高尔夫球的击球距离，则X 与Y 是相互独立的随机变量，X 、Y 的分布未知。
21,X X ，……，40X 是取
自总体X 的样本容量为140n =的样本，
1240,,,Y Y Y 是取自总体Y 的样本容量为240
n =的样本。
(1) 提出假设： 原假设 012:H μμ= 备选假设 112:H μμ≠ (2) 选择统计量及分布：
根据中心极限定理，因30,3021>>n n ，所以近似有：
)40
,(~401)40
,(~4012
2240
121140
1σμσμN Y Y N X X i i i i ∑∑====
因而检验统计量及分布为：
()
()1
2~0,1X Y Z N μμ---=
(3) 给定显著水平α，查标准正态分布表求出临界值2
αZ ，从而)(21μμ-的置信
度为()%1100α-的置信区间为：
()()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡+
+-+--=4040
,
404022
2
12
22
212σσσσα
ααZ
y x Z y x I
方差22
2
1
,σσ未知时，则用
221
22
1
n S n S n
n +
近似
2
22
1
2
1n n σσ+
，从而置信区间：
()()⎥
⎥⎦
⎤⎢
⎢⎣
⎡++-+--=4040,
4040222
22221
21
n
n n n S S Z
y x S S Z y x I α
αα (4) 统计决策：若αI ∉0 或 ()
2
22040
40
2
1
αZ S
S
y x Z n n >+
-=
，则拒绝0H ；
若αI ∈0 或 ()
2
22040
40
2
1
αZ S
S
y x Z n n ≤+
-=
，则不拒绝0H 。
2. 通过分析数据，得出假设检验的结论。
检验p -值是多少？您对Par 公司有何建议？
通过对数据的分析得：
21n n =＝40， x ＝270.2750， y ＝267.5000，
1n S ＝8.7530， 2
n S ＝9.8969
α＝0.05时，2
αZ ＝1.96
所以)(21μμ-的置信度为95%的置信区间为：
()()⎥
⎥⎦
⎤⎢
⎢⎣
⎡++-+--=4040,4040222
22221
21
n
n n n S S Z
y x S S Z y x I α
α
α ＝[-1.319，6.869]
由于αI ∈0，所以不拒绝0H ，即1μ不显著异于2μ。
p -值＝{()
}328.140
40
2202
1
=+
-=
>n n S
S
y x Z Z P ＝0.184>0.05,因而同样不拒绝0H 。
因为1μ不显著异于2μ，故新型耐磨型号高尔夫球与当前型号高尔夫球的击球距离不能认为有显著差异。
也就是说，可以采用新的耐磨外膜技术。
3. 对每种型号的数据给出描述性的统计总结。
SPSS 软件计算结果如下：
4. 每种型号的总体均值的95％置信区间是多少？两个总体均值之差的95%的置信区间是多少？
1）1 的置信区间 SPSS 软件计算结果：
所以，1μ的置信区间为：0.05[267.4757, 273.0743]I =
2）2μ的置信区间 SPSS 软件计算结果：
所以，2μ的置信区间为：]6652.270,3348.264[05.0=I
3）12μμ-的置信区间 SPSS 软件计算结果：
所以，12μμ-的置信区间为：0.05[-1.6205,7.1705]I =
5．你认为对高尔夫球需要更大的样本容量做进一步检验吗？讨论之。
一般情况下，样本容量越大，估计的精确度越高。
但并不是越大越好，因为随着样本容量的增加，实验成本越来越大。
有效的实验容量要综合考虑这两种因素。
在当前的置信度水平下，已经可以达到检验的目的了。
如果还需要更高的精确度，可以通过增加样本容量来提高检验的精确度。
至于何种容量合适，可以从误差要求、成本等方面综合考虑。