乂务教育基础课程初中教学资料 --第一章直角三角形的边角关系§ 1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）学习目标：1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2. 能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.学习重点：........ ....1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系学习难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.学习方法：引导一探索法. 学习过程：一、生活中的数学问题：1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子 AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？哪个更陡？你是怎样判断的？B 2mC F 2.5m D≡EL-?P二组第三组二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt △ AB I Cl和Rt△ AB2C2有什么关系？⑵B I C l和BC L有什么关系？AC1 AC 2⑶如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3）呢？⑷由此你得出什么结论？三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡A C3C2 C]例2、在△ ABC中，∠ C=90°, BC=12cm AB=20cm 求tanA 和tanB 的值. E'lSmR1: 1.5的斜坡AD,求DB 的长.（结果保留根号）五、课后练习:1、 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 ,AB=3,BC=1,则 tanA= _______2、 在厶 ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,贝U tanA= ________ .3、在厶 ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则 tanC= ________四、随堂练习：1如图，△ ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗?2、如图，某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B,已知点B 到山脚的垂直距离为 55m 求山的坡度•（结3、若某人沿坡度i = 3: 4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置 升高 ____________ 米.4、菱形的两条对角线分别是 16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为 tan θ = ______ .5、如图，Rt △ ABC 是 一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡 AB 的长为12 m ,它的坡角为45 ,为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为4、在 Rt △ ABC 中，∠C 是直角，∠A ∠ B ∠C 的对边分别是 a 、b 、c,且 a=24,c= 25,求 tanA 、tanB 的值.5、若三角形三边的比是 25:24:7,求最小角的正切值56、如图，在菱形ABCc 中,AE ⊥BC 于E,EC=1,tanB= ,求菱形的边长和四12边形AECD 勺周长.§ 1.1从梯子的倾斜程度谈起(第二课时)学习目标： 1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义 2. 能够运用SinA 、CoSA 表示直角三角形两边的比. 3. 能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 4. 理解锐角三角函数的意义. 学习重点：1. 理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明 .2. 能用SinA 、CosA 表示直角三角形两边的比3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算 学习难点： 用函数的观点理解正弦、余弦和正切 .学习方法：探索——交流法. 学习过程：一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图 (1)直角三角形ABC 和直角三角形ABC 2有什么关系？AC “十 A 2C 2 BC “十 BC 2 ⑵ AC 1和 —— 有什么关系？ BC 1和 -呢？BAI BA BA BA,⑶如果改变A 2在梯子AB 上的位置呢？你由此可得出什么结论 ？ ⑷ 如果改变梯子 A1B 的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论 请讨论后回答.、由图讨论梯子的倾斜程度与 SinA 和cosA 的关系:⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>O),则糖的质量与糖水质量的比为 ____________ ;若再添加C 克糖(c>0),则糖的质 量与糖水的质量的比为 __________ .生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据所列式子及 这个生活常识提炼出一个不等式 ： ___________ .⑵、我们知道山坡的坡角越大，则坡越陡，联想到课本中的结论:tanA 的值越大，则坡越陡，我们会得到一个锐角逐渐变大时，它的正切值随着这个角的变化而变化的规律 ,请你写出这个规律： _______________ .⑶、如图，在 Rt△ ABC 中，∠ B=90° ,AB=a,BC=b(a>b),延长 BA BC,使 AE=CD=C,直线 CA DE 交于点 F,请运 用(2)中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式37、已知：如图，斜坡AB 的倾斜角a,且tan α = _ ,现有一小球从坡底4小球以多大的速度向上升高？A 处以20cm∕s 的速度向坡顶B 处移动,则8、探究:4、已知：如图， CD 是Rt△ ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC= AB ∙ BD.（用正弦、余弦函数的定义证明 ）4 在厶 ABC 中,AB=AC=10,sinC= — ,贝U BC= .5在厶ABC 中，已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是 333A.si nA=B.cosA=C.ta nA=三、例题:例1、如图，在 Rt △ ABC 中，∠ B=90°, AC = 200.sinA = 0.6 , 做一做:如图, 12在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°, cosA =, AC = 10 , AB 等于多13少？SinB 呢?cosB 、SinA 呢？你还能得出类似例 1的结论吗？请用一般 式表达.四、随堂练习：在等腰三角形ABC 中, 1、 AB=AG= 5, BC=6 求 SinB , cosB , tanB.2、 在厶 ABC 中，∠ C = 90° 4 ,SinA = , BC=2Q 求厶ABC 的周长和面积.53、 在厶 ABC 中.∠ C=90°, 1若 tanA=,贝U SinA=24、 五、课后练习:1、2、3 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 ,tanA=—,贝U SinB=4在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 ,AB=41,sinA= —,贝U AC= ,ta nB=,BC=3、β4 5 4D.cosB=5、如图，在厶ABC 中，∠C=90,si nA= 3,则BC等于()5AC3 r4 A.B. -C.D.4355§ 1.2 30 °、45 °、60 °角的三角函数值学习目标：6、Rt △ ABC 中，∠C=90 ,已知3cosA=-,那么 tanA 等于()A4 m3 C4 f5A. _B.C.D.34547、在厶ABC 中，∠ 【C=90° ,BC=5,AB=13,则 SinA 的值是A 512C512 A.B.C.D1313 1258、已知甲、乙两坡的坡角分别为 α、 β 若甲坡比乙坡更徒些 ,则下列结论正确的是A.tan α <tan βB.sin α <sinC.CoS α <CoSD.cos α >CoS β A.CD B.DB C.CB D.AC CBABCD CB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是 ()mA.100 Sin :B.100si nβ C.D. 100cosCOS L11、如图，分别求∠ α , ∠ β的正弦，余弦，和正切.12、在厶 ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是 BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在 Rt △ ABC 中,∠ BCA=90 ,CD 是中线,BC=8,CD=5.求 Sin ∠ ACD,cos/ ACD 和 tan ∠ ACD.14、在Rt △ ABC 中，∠ C=90 ,sinA 和CosB 有什么关系15、如图，已知四边形4ABCD中，BC =CD =DB，∠ADB =90^os ∠ABD=J 求: s ^ABD :s^ BCD1. 经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2. 能够进行30°、45 °、60°角的三角函数值的计算.3. 能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小 学习重点： 1. 探索30°、45°、60°角的三角函数值.2. 能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小 . 学习难点： 进一步体会三角函数的意义 .学习方法：自主探索法 学习过程： 一、问题引入［问题］为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含 30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度 二、新课［问题］1、观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？［问题］2、Sin30 °等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流. ［问题］3、cos30 °等于多少？tan30 °呢？［问题］4、我们求出了 30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角一一 45°、60°，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？ 结论:角度三角函数Sin αCo αtan α30° 〜45°60°［例1］计算：2 2(I) Sin30 ° +cos45 ° ； (2)Sin 60° +cos 60° -tan452.5 m ,当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差三、随堂练习 1.计算： (1)sin60 ° -tan45［例2］ 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 .(结果精确到0.01 m)⑵cos60° +tan602 sin45+sin60 ° -2cos45Sin 30⑸(、2 +1)-1+2sin30 ° -8 ； ⑹(1+ ..2)0- I 1-sin301+(1)-1四、课后练习：1、 R t △ ABC 中，N A =60： c =8 ,贝U a = ____ , b= _____ ；2、 在厶 ABC 中，若 c =2*：：3, b = 2,,则 tan B= ____ ,面积 S=⑺ Sin 601 -ta n60⑻ 2-3-( . 2003 + ∏ ) 0-cos60 ° -1-迈2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30° .高为7 m ,扶梯的长度是多少？3.如图为住宅区内的两幢楼，它们的高 AB= CD=30 m 两楼问的距离 AC=24 m 现需了解甲楼对乙楼的采光 影响情况•当太阳光与水平线的夹角为 30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到 0.1 m ， , 2 ≈ 1.41，,3 ≈ 1.73)⅛ _严□π口口3、 在厶ABC 中, AC BC = 1: A /3 , AB= 6, ∠ B = , AC = BC =4、 等腰三角形底边与底边上的高的比是 2 : ,3 ,则顶角为(A ) 6005、有一个角是(B) 900 (C 120030的直角三角形，斜边为(D ) 15001cm ,则斜边上的高为(A ) -Cm4(B ) -Cm2 (C )C m 4(D )-3 cm26、在 ABC 中,• C =90 ,若.B =2∙ A ,贝U tanA 等于().(A )√3 (B)-^3(C )仝2(D)- 27、如果∠ a 是等边三角形的一个内角，那么CoS a 的值等于().(A )(BV2(D 1方米a 元，则购买这种草皮至少要().(A ) 450a 元(B ) 225a 元(C ) 150a 元(D) 300a 元9、计算：⑴、Sin 2 60 cos 2 60⑵、Sin60 -2sin30 cos30⑶、Sin 30 -cos 2 45⑷、2cos45* + √330米150已知这种草皮每平“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,&某市在⑸、.2 si n600.3cos450l 、3cos600⑹、0—5sin30 -1⑺、2sin230 ∙tan30 cos60 tan60 °⑻、Sin245 - tan23010、请设计一种方案计算 tan 15 °的值。