论述计算题（40分）1、试分析DFT与DTFT及Z变换之间的关系，并详细阐述用DFT计算线性卷积的方法和步骤。

FT（傅里叶变换）是对纯虚数变换的情况，是拉普拉斯变换的特殊情况，即傅里叶变换是S仅在虚轴上取值的拉普拉斯变换。

Z变换是离散化的拉普拉斯变换（即拉普拉斯变换对应的是连续信号，而Z变换对应的是离散信号），是离散时间傅里叶变换（DTFT）的一种拓展形式，所以Z变换和拉普拉斯变换类似。

DFT（离散傅里叶变换）是傅里叶变换的离散形式，也即将x(t)进行傅里叶变换后进行离散采样得的函数X[jw]DTFT（离散时间傅里叶变换）为将x(t)先进行离散采样处理得到离散时间系列x[n]，然后再对x[n]进行傅里叶变换。

可以看作是将()jwX e在频域展开为傅立叶级数，傅立叶系数即是x[n]。

DTFT是Z变换的特殊情况，只有绝对可和的离散信号才有DTFT，所以Z变换用于那些不满足绝对可和的信号，如T j Tz eσ+Ω=(T 是采样间隔)，当σ=0时,就是DTFT。

此时其时域是离散的，而频域依然是连续的。

图像上，对应的是z平面的单位圆。

用DFT计算线性卷积：线性卷积：一个离散序列通过一个离散的线性时不变系统，它的输出即为y[k]，即在时域上，输出信号等于输入信号和系统的单位脉冲响应h[k] 的卷积。

即：y[][]*[]k x k h k=y[k]利用DFT 的循环卷积特性，可由DFT 计算线性卷积：比如若系列x[k]的长度为N，系列h[k]的长度为M，则L>=N+M-1点的循环卷积等于x[k]与h[k]的线性卷积。

即：x[k]*h[k]=x1[k] h1[k]DFT实现具体过程为：1. 首先将两序列在尾部补零，延拓成长度为L=M+N -1的序列2. 将两序列进行循环卷积，卷积后的结果即为线性卷积的结果 即：其中乘法总次数为：23log 2LL L ⨯+ 结论：线性卷积可以完全使用DFT 实现，而DFT 可以使用其快速算法FFT 大大降低计算量。

2、试分析归纳总结IIR 滤波器设计的基本思路及典型的几种滤波器实现方法。

数字IIR （无线冲击响应）滤波器设计的基本思路是：首先给定数字滤波器的技术指标，然后将其装换为模拟滤波器的技术指标，之后再转换成模拟低通滤波器的技术指标，代入到设计的模拟低通滤波器G(p)，得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器H(s)，最后通过转换便可得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器H(z)。

模拟低通滤波器的设计：1、首先给定模拟低通滤波器的技术指标通带截止频率p ω、组带下限截止频率 s ω、通带允许的最大衰减p α和阻带内应达到的最小衰减s α2、然后设计低通滤波器10111011()N NN N N NN N d d s d s d s G s c c s c s c s----++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+，定义衰减函数22()1()10lg 10lg()|()|X jw w Y jw G jw α== 3、将p ω、s ω对应的衰减p α和s α代入到衰减函数，便可以求出G(s)。

从而使使G(s)的对数幅频响应210log |()|G jw 在p ω、s ω处分别达到p α和s α的要求。

模拟高通、带通及带阻滤波器的设计：1、 给定高通、带通或带阻的技术指标 , , ,p s p s ηηαα2、 通过=/p ηΩΩ进行ηλ⇒的频率转换从而得到低通滤波器的技术指标 , , ,p s p s λλαα3、 设计模拟低通滤波器G(p)，通过q j η=进行p q s ⇒和的频率转换便可以得到高通、带通或带阻滤波器H(s)。

数字高通、带通及带阻滤波器的设计：1、给出数字高通()dhp H z 的技术要求,,,p s p s ωωαα2、通过tan()2ωΩ=转换得到模拟高通()ahp H s 的技术要求,,,p s p s ααΩΩ3、通过p ηΩ=Ω、1λη=的转换得到模拟低通G(p)的技术要求,,,p s p s λλαα4、设计模拟低通滤波器G(p)，通过p p sΩ=转换得到模拟高通转移函数()ahp H s5、最后通过11z s z -=+转换便可以得到数字高通转移函数()dhp H z 注：对于带通（BP ）数字滤波器的设计，只需改变上述中的步骤3和步骤4为：31 BWBWηΩΩ=Ω-Ω=Ω 222ηηλη-=22222(1)(1)(1)BW z z p z -+Ω+=Ω- 对于带阻（BS ）数字滤波器的设计，也只需改变上述中的步骤3和步骤4为：31 BW BW ηΩΩ=Ω-Ω=Ω 222ηληη=- 22222(1)(1)(1)BW z z p z -+Ω+=Ω-3、试分析归纳总结FIR 滤波器设计的基本思路及典型的几种滤波器实现方法。

FIR 数字滤波器由于只有零点而没有极点，所以没办法借用连续滤波器的设计方法。

其基本思路是：直接从频域出发，即以某种准则逼近理想的频率特性，且保证滤波器具有线性相位。

采用的方法是窗函数法：1、 由理想的频率响应得到理想的()d h n2、 由()d h n 得到因果、有限长的单位抽样响应()h n3、 对()d h n 加窗得到较好的频率响应低通滤波器的设计：1、设理想低通滤波器的幅频为1，相频为零，则可得到理想的()d h n ：1()()2j j n d dh n He e d πωωπωπ-=⎰12ccj n e d ωωωωπ-=⎰sin()c n nωπ=2、将()d h n 通过使用窗函数便可以得到单位抽样响应()h n ：()(2)d h n h n M =-,0,1,...,n M =于是0()()Mn n H z h n z -==∑，为了省去每次的移位，令2()j jM d H e e ωω-=，得到：2()0j M j d e H e ωω-⎧=⎨⎩ 0cc ωωωωπ≤≤≤≤3、对()d h n 加窗以得到较好的频率响应2sin(2)1()2(2)ccjM j n cd n M h ne e d n M ωωωωωωππ---==-⎰()()d h n h n =，0,1,...n M =（注：使用了矩形窗）结论：上式的的表达式及设计()H z 的思路可推广到高通、带阻及带通滤波器，也可推广到其它特殊类型的滤波器。

实际上，给定一个()j d H e ω，只要能积分得到()d h n ，即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有线性相位的FIR 滤波器()H z 。

高通滤波器的设计：步骤同上述低通滤波器，只是通过令：()0j M j d e H e ωω-⎧=⎨⎩ 0c c ωωπωω≤≤≤≤通过积分加窗后得到：sin[(2)]sin[(2)]()(2)c d n M n M h n n M πωπ---=-结论：相当于用一个截止频率在π处的低通滤波器（实际上是全通滤波器）减去一个截止频率在c w处的低通滤波器。

带通滤波器的设计：步骤同上述低通滤波器，只是通过令：2()0j M j d e H e ωω-⎧=⎨⎩ l hωωω≤≤其它通过积分加窗后得到：sin[(2)]sin[(2)]()(2)h l d n M n M h n n M ωωπ---=-结论：相当于用一个截止频率在h w 处的低通滤波器减去一个截止频率在l w 处的低通滤波器。

带阻滤波器的设计：步骤同上述低通滤波器，只是通过令：2()0j M j d e H e ωω-⎧=⎨⎩,l h ωωωω≤≥其它通过积分加窗后得到：sin[()]sin[()]sin[()]222()(2)l h d M M M n n n h n n M ωπωπ-+---=-()()(),0,1,...,d h n h n w n n M ==（()w n 可以是矩形窗，也可以是其它形式窗函数）4、采用巴特沃思滤波器设计一个IIR 数字带通滤波器，系统抽样频率2000Hz ，要求：（1）通带范围为300到400Hz ，在带边频率处的衰减不大于3dB ；（2）在200Hz 以下和500Hz 以上衰减不小于18dB 。

注：数字频率p ω和s ω的取值范围为0～π，单位：弧度，而MATLAB 工具函数常采用标准化频率，p ω和s ω的取值范围为0～1，所以根据2/s w f f π= ，可得到/2/s w f f π=，所以以下程序使用截止频率/2/p s w w f f π==，其它类似。

%设计要求%抽样频率为2KHZ ，通带范围是300HZ 到400HZ ，%通带（300-400HZ ）衰减不大于3dB,在200HZ 以下和500HZ 以上衰减不小于18dB源码：Fs=2000;%给定抽样频率wp_d=300;%通带下限截止频率 wp_s=400;%通带上限截止频率 ws_d=200;%阻带下限截止频率 ws_s=500;%阻带上限截止频率wp=[wp_d wp_s]*2/Fs; ws=[ws_d ws_s]*2/Fs;%计算通带截止频率wp ，阻带频率wsAp=3;As=18;%设置通带允许最大衰减设置为3dB ，阻带应达到的最小衰减为18dBNn=256;%取样点数[N,wn]=buttord(wp,ws,Ap,As);%计算巴特沃斯滤波器阶次和截止频率%N为滤波器阶数 wn为滤波器截止频率数字滤波器[b,a]=butter(N,wn,'bandpass');%频率变换法设计巴特沃斯带通滤波器[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a); %求出巴特沃斯带通滤波器幅频、幅度、相位等subplot(2,1,1)plot(w*Fs/(2*pi),mag);xlabel('f/Hz');%频率（HZ）ylabel('幅度/dB');axis([0,1000,0,1.5]);%设置标尺范围title('数字带通巴特沃斯滤波器')grid on;subplot(2,1,2);plot(w*Fs/(2*pi),180/pi*unwrap(pha));xlabel('f/Hz');ylabel('相位/角度');grid on;实现效果：结论：在200Hz以下衰减大于22.42dB，500Hz以上衰减大于18dB，均大于18dB；在300~400Hz之间衰减均为2.731dB，均小于3dB，所以能达到要求。