圆锥曲线测试题一、选择题（ 共12题，每题5分 ）1已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）（A ）10 （B ）20 （C ）241（D ）4142椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P到它的右焦点的距离是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）83椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）（A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）84以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ ）（A ）222=-y x （B ）222=-x y（C ）422=-y x 或422=-x y （D ）222=-y x 或222=-x y 5双曲线191622=-y x 右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，则P点到左准线的距离为（ ）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）126过双曲线822=-y x 的右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么△F 1PQ 的周长为（ ）（A ）28 （B ）2814-（C ）2814+（D ）287双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F 1、F 2，︒=∠12021MF F ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3（B ）26（C ）36（D ）33 8在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( )(A)22( B) 2 (C) 2(D) 229 如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）（A ）02=-y x （B ）042=-+y x （C ）01232=-+y x （D ）082=-+y x 10如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A)46(B)26 (C) 26(D) 2311 中心在原点，焦点在y 轴的椭圆方程是22sin cos 1x y αα+=，(0,)2πα∈，则α∈（）A ．(0,)4π B ．(0,]4π C ．(,)42ππ D ．[,)42ππ12 已知双曲线()222210,0x y C a b a b -=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为（）A 、65B 、75C 、58D 、95二、填空题（ 20 ）13 与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，-3）的椭圆的标准方程是。

14 离心率35=e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是。

15 以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为16已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F aPF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是．三、解答题（ 70 ）17) 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

18) 已知双曲线与椭圆125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程. 19)求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为338的双曲线方程。

20．(1)椭圆C:12222=+b y a x(a ＞b ＞0)上的点A(1,23)到两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程;(2)设K 是(1)中椭圆上的动点, F 1是左焦点, 求线段F 1K 的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点, 当直线PM 、PN 的斜率都存在并记为k PM 、k PN 时，那么PN PMk k⋅是与点P 位置无关的定值。

试对双曲线 12222=-b y a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明。

解：(1)13422=+y x(2)设中点为(x,y), F 1(-1,0) K(-2-x,-y)在13422=+y x 上 ⇒134)2(22=++y x(3)设M(x 1,y 1), N(-x 1,-y 1), P(x o ,y o ), x o ≠x 1 则)1(22122-=a x o b y )1(221221-=a x b y 2221202212022120212010101010)(a b x x b x x y y x x y y x x y y PN PM a x x k k ===⋅=⋅---++--- 为定值。

21 (1)当k 为何值时，直线l 与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。

(2) 过点P （1，2）的直线交双曲线于A 、B 两点，若P 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程；（3）是否存在直线l ，使Q （1，1）为l 被双曲线所截弦的中点。

若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0(*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点.(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±2时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)3时，方程(*)有一个实根，l与C①当Δ=0,即3－2k=0,k=2有一个交点.3,又k≠±2,故当k＜－2或－2＜k②当Δ＞0,即k＜23时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点. ＜2或2＜k＜23时，方程(*)无解，l与C无交点.③当Δ＜0，即k＞23，或k不存在时，l与C只有一综上知：当k=±2,或k=2个交点；3,或－2＜k＜2,或k＜－2时，l与C有两当2＜k＜2个交点；3时，l与C没有交点.当k＞2（2）假设以P 为中点的弦为AB ，且A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=4 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1 即k AB =2121x x y y --=1但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与有交点，所以以P为中点的弦为：y=x+1.(3)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1 即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，故假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.13)与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，的标准方程是22186x y +=或223412525y x +=。

14）离心率35=e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是2291520x y +=。

17) 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

(8分)解:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:2219x y +=.联立方程组22192x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得,21036270x x ++=. 设A(11,x y ),B(22,x y ),AB 线段的中点为M(00,x y )则:12185x x +=-,0x =12925x x +=所以0y =0x +2=15.也就是说线段AB 中点坐标为(-95,15).18) 已知双曲线与椭圆125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.(10分) 解:由于椭圆焦点为F(0,±4),离心率为e=45,所以双曲线的焦点为F(0,±4),离心率为2, 从而所以求双曲线方程为:221412y x -=. 20)求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为338的双曲线方程。

(10分)解:设双曲线方程为x 2-4y 2=λ.联立方程组得: 22x -4y =30x y λ⎧⎨--=⎩,消去y 得，3x 2-24x+(36+λ)=0设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A(11,x y ),B(22,x y )，那么：1212283632412(36)0x x x x λλ+=⎧⎪+⎪=⎨⎪∆=-+>⎪⎩ 那么：解得: λ=4,所以，所求双曲线方程是：2214x y -=。