方程的根与函数零点综合练习题答案一、选择题1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( )A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5B ．f (x )＝x 3－5x －5C ．f (x )＝ln x －3x ＋6D ．f (x )＝e x ＋3x －6 2．设函数f (x )＝13x －lnx (x ＞0)则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e )内均有零点B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1， (1，e )内均无零点 C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点；在区间(1，e )内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e )内有零点3．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)4．函数y ＝3x －1x 2的一个零点是( )A ．－1B ．1C ．(－1,0)D ．(1,0)5．若函数f (x )是奇函数，且有三个零点x 1、x 2、x 3，则x 1＋x 2＋x 3的值为( ) A ．－1B ．0C ．3D ．不确定6．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( ) A ．至少有一实数根B ．至多有一实数根C ．没有实数根D ．有惟一实数根7．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；8．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( ) A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有9．函数f (x )＝2x －log 12x 的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1,2) 10．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0)B 11．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－1212．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．313．函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在区间为( ) A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)14．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( ) A ．－1和16B ．1和－16 C.12和13D ．－12和－1315．函数f (x )＝(x －1)ln(x －2)x －3的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个16．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α、β是函数f (x )的两个零点，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( )A ．a <α<b <βB ．a <α<β<bC ．α<a <b <βD ．α<a <β<b17．若方程x 2－3x ＋mx ＋m ＝0的两根均在(0，＋∞)内，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤1B ．0<m ≤1C ．m >1D ．0<m <118．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]19．已知1x 是方程lgx +x =3的解，2x 是310=+x x的解，求21x x +（ ）A ．23B ．32C ．3D ．3120．方程0lg =-x x 根的个数（ ）A ．无穷多B ．3C ．1D ．0二、填空题21．方程e x －x －2＝0在实数范围内的解有________个．22．用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2，3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是 .23．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：则使ax 2＋bx 24．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.则a ＝________. 25．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，则满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合三、解答题26．证明方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2.27．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点是－2和3，当x ∈(－2,3)时，f (x )<0，且f (－6)＝36，求二次函数的解析式．28．求函数y ＝x 3－2x 2－x ＋2的零点，并画出它的简图．29．若函数f (x )＝log 3(ax 2－x ＋a )有零点，求a 的取值范围．30．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．答案： 1.[答案] D[解析] 对于函数f (x )＝e x ＋3x －6来说f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2>0∴f (1)f (2)<0，故选D. 2.[答案] D[解析] ∵f (x )＝13x －lnx (x ＞0)，∴f (e )＝13e －1＜0，f (1)＝13＞0，f (1e )＝13e ＋1＞0，∴f (x )在(1，e )内有零点，在(1e ，1)内无零点．故选D.3[答案] C[解析] ∵f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，即f (0)f (1)<0， ∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内． 4[答案] B[点评] 要准确掌握概念，“零点”是一个数，不是一个点． 5. [答案] B[解析] 因为f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，它有三个零点，即f (x )的图象与x 轴有三个交点，故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数．∴x 1＋x 2＋x 3＝0.6. [答案] D[解析] ∵f (x )为单调减函数，x ∈[a ，b ]且f (a )·f (b )<0，∴f (x )在[a ，b ]内有惟一实根x ＝0. 8. [答案] C[解析] 若a ＝0，则b ≠0，此时f (x )＝bx ＋c 为单调函数， ∵f (1)>0，f (2)<0，∴f (x )在(1,2)上有且仅有一个零点；若a ≠0，则f (x )为开口向上或向下的抛物线，若在(1,2)上有两个零点或无零点，则必有f (1)·f (2)>0， ∵f (1)>0，f (2)<0，∴在(1,2)上有且仅有一个零点，故选C. 9[答案] B[解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫14＝214－log 1214＝42－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝2－1>0，f (x )在x >0时连续，∴选B. 10. [答案] C[解析] 令f (x )＝e x －x －2，则f (1)·f (2)＝(e －3)(e 2－4)<0，故选C. 11. [答案] C[解析] 由条件2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a ∴g (x )＝－ax (2x ＋1)的零点为0和－12.12. [答案] C[解析] 令x 2＋2x －3＝0，∴x ＝－3或1∵x ≤0，∴x ＝－3；令－2＋ln x ＝0，∴ln x ＝2 ∴x ＝e 2>0，故函数f (x )有两个零点． 13. [答案] C[解析] 令f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x ，则f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，故选C. 14. [答案] B[解析] 由于f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点2和3，∴a ＝5，b ＝6.∴g (x )＝6x 2－5x －1有两个零点1和－16.15. [答案] A[解析] 令f (x )＝0得，(x －1)ln(x －2)x －3＝0，∴x －1＝0或ln(x －2)＝0，∴x ＝1或x ＝3，∵x ＝1时，ln(x －2)无意义，x ＝3时，分母为零，∴1和3都不是f (x )的零点，∴f (x )无零点，故选A.16. [答案] C[解析] ∵α、β是函数f (x )的两个零点，∴f (α)＝f (β)＝0，又f (x )＝(x －a )(x －b )－2，∴f (a )＝f (b )＝－2<0.结合二次函数f (x )的图象可知，a 、b 必在α、β之间．17. [答案] B[解析] 设方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，则有Δ＝(m －3)2－4m ≥0，且x 1＋x 2＝3－m >0，x 1·x 2＝m >0，解得0<m ≤1.18. [答案] D[解析] 解法1：取m ＝0有f (x )＝－3x ＋1的根x ＝13>0，则m ＝0应符合题设，所以排除A 、B ，当m ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2它的根是x ＝1符合要求，排除C.∴选D.解法2：直接法，∵f (0)＝1，∴(1)当m <0时必成立，排除A 、B ，(2)当m >0时，要使与x 轴交点至少有一个在原点右侧，则⎩⎨⎧m >0，Δ＝(m －3)2－4m >0，－m －32m >0，∴0<m ≤1.(3)当m ＝0时根为x ＝13>0.∴选D.23. [答案] (－∞，－2)∪(3，＋∞) 24. [答案] －2 [解析]ax －1x ＋1<0⇔(ax －1)(x ＋1)<0，∵其解集为(－∞，－1)∪(－12，＋∞)，∴a <0且－1和－12是(ax －1)(x ＋1)＝0的两根，解得a ＝－2.[点评] 由方程的根与不等式解集的关系及题设条件知，－12是ax －1＝0的根，∴a ＝－2.25. [解析] ∵－12是函数的零点，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝0，∵f (x )为偶函数，∴f (12)＝0， ∵f (x )在(－∞，0]上递增，f (log 14x )≥f ⎝⎛⎭⎫－12，∴0≥log 14x ≥－12，∴1≤x ≤2， ∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上单调减，又f (log 14x )≥f (12)，∴0≤log 14x ≤12，∴12≤x ≤1，∴12≤x ≤2.故x 的取值集合为{x |12≤x ≤2}．26. [解析] 令f (x )＝(x －2)(x －5)－1 ∵f (2)＝f (5)＝－1＜0，且f (0)＝9＞0. f (6)＝3＞0.∴f (x )在(0,2)和(5,6)内都有零点，又f (x )为二次函数，故f (x )有两个相异实根，且一个大于5、一个小于2. 27. [解析] 由条件知f (x )＝a (x ＋2)(x －3)且a >0 ∵f (－6)＝36，∴a ＝1∴f (x )＝(x ＋2)(x －3) 满足条件－2<x <3时，f (x )<0.∴f (x )＝x 2－x －6.28. [解析] 因为x 3－2x 2－x ＋2＝x 2(x －2)－(x －2)＝(x －2)(x 2－1)＝(x －2)(x －1)(x ＋1)， 所以函数的零点为－1,1,2.3个零点把x 轴分成4个区间： (－∞，－1]，[－1,1]，[1,2]，[2，＋∞]．在这4个区间内，取x 的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值(取精确到0.01的近似值)表：y … －4.381.8821.13－0.632.63…29. [解析] ∵f (x )＝log 3(ax 2－x ＋a )有零点，∴log 3(ax 2－x ＋a )＝0有解．∴ax 2－x ＋a ＝1有解． 当a ＝0时，x ＝－1.当a ≠0时，若ax 2－x ＋a －1＝0有解， 则Δ＝1－4a (a －1)≥0，即4a 2－4a －1≤0，解得1－22≤a ≤1＋22且a ≠0. 综上所述，1－22≤a ≤1＋22.30. [解析] (1)任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0.∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2.与假设x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．证法2：设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0(Ⅰ)若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，ax 0<1，∴f (x 0)<－1与f (x 0)＝0矛盾．(Ⅱ)若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1>0，ax 0>0，∴f (x 0)>0与f (x 0)＝0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．。