第六章 定积分的应用
§6.1 定积分的元素法 §6.2 平面图形的面积
一、填空题 1．定积分
⎰
b
a
dx x f )(的几何意义是 。

2． )(x f 、g(x)在[a,b] 上连续，则由y=f(x),y=g(x)和x=a,x=b 所围成图形的
面积A= 。

3．计算y 2=2x 与y=x-4所围成图形的面积时，选用 作积分变量较为简捷。

二、选择题
1．曲线y=x ln 与直线0,,1
===
y e x e
x 及所围成的区域的面积S= 。

（A ）、2)11(e - （B ）、e e 1- （C ）、e
e 1+ （D ）、e 1
1+
2．曲线r=2acos θ所围图形的面积A= 。

（A ）、
θθπ
d a 22
0)c o s 2(2
1
⎰ （B ）、θθππd a 2)c o s 2(21⎰- （C ）、
θθπ
d a 2
20
)c o s 2(2
1⎰
（D ）、2θθπd a 220)cos 2(21⎰ 3．曲线⎪⎩⎪⎨⎧==t
a y t
x 3
3sin cos 所围图形的面积A= 。

（A ）、
28a π （B ）、24a π （C ）、283a π （D ）、22
a π 三、求下列各曲线所围成的图形的面积。

1． 曲线y=x 3-6x 与y=x 2所围成图形的面积。

2． 曲线y=-x 2+-3及共在点（0，-3）和（3，0）处的切线所围成图形的面积。

3． 曲线y=sinx 与y=sin2x(0)π≤≤x 所围成图形的面积。

4． r =3cos θθcos 1+=r 及所围成图形的面积。

5． 摆线⎩⎨
⎧-=-=)
cos 1()
sin (t a y t t a x 的一拱（)20π≤≤t 与横轴所围成图形的面积。

四、在曲线族y=a(1-x 2)(a>0)中确定一条曲线，使该曲线和其在（-1，0）和（1，0）两点处
的切线所围图形的面积最小。

§6.3 体积
一、判断题
1．平面图形)()(0,x g y x f b x a ≤≤≤≤≤绕X 轴旋转一周的生成的旋转体的体积V=dx x f x g b
a
})]([)]({[22-⎰
π
（ ）
2．平面图形)()(0,x g y x f b x a ≤≤≤≤≤绕X 轴旋转一周的生成的旋转体的体积V=dx x f x g b
a
2)]()([-⎰
π
（ ）
二、求下列已知曲线围成的图形，按指定的轴旋转所成的旋转体体积：
1． 由xy=1,y=x 及x=2围成的图形绕X 轴及Y 轴。

2． -=1y 12
-x 与X 轴围成图形绕X 轴。

三、有一立体以抛物线y 2=2x 与直线x=2所围成的图形为底，而垂直于抛物线轴的截面都是
等边三角形，求该立体的体积。

四、证明：由平面图形)(0,0x f y b x a ≤≤≤≤≤绕Y 轴旋转所成的旋转体的体积为 V=⎰
b
a
dx x xf )(2π
§6.4 平面曲线的弧长
一、求下列曲线的弧长
1． 曲线y=x x ln 2
1
412-上相应于e x ≤≤1的一段弧的长。

2． 曲线x=arctant,y=)1ln(2
1
2t +上相应于10≤≤t 的一段弧的长
3． 心形线r=a(1+cos θ)的全长。

二、求曲线y=
⎰-
x
dt t 2
cos π
的全长。

三、在摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。

四、求x=y -4,x=y 24-,x=0所围平面图形的边界的周长。

§6.5 功、水压力和引力
一、选择题
1． 弹簧从平衡位置拉长至L 1时，做功W 0，再从L 1拉长至L 1+L 2时，做功8W ，则L 2/L 1= 。

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）22 2． 矩形闸门宽a 米，高h 米垂直放在水中，上沿与水面平齐，则该闸门所受的水压力
p= . (A)
⎰
h
ahdh 0
(B)
⎰
a
ahdh 0
(C)
⎰
a
ahdh 0
2
1
(D) ⎰
a
ahdh 0
2
3．矩形闸门的一边恰与水面平齐，且此闸门垂直与水面，过此矩形的中心作水平线将矩形分为面积相等的上下两部分，设上部所受压力为p 1(N),下部所受压力为p 2(N)，则
=2
1
p p 。

（A ）
21 （B ）31 （C ）3
2
（D ）与矩形的具体尺寸有关 二、半径为r 米的半球形水池，其中充满了水，把池内的水吸尽，至少需要做多少功？
三、用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第
一次时，将铁钉击入木板1cm ，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？
四、一个直立的高为H ，底面半径R 的圆形水桶，注满水，求圆桶侧面所受的压力。

五、设有一长度为L ，线密度为 的均匀细棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量
为m 的质点，试求该细棒对质点的引力。

六．设有一条半径为R ，中心角为ϕ的圆弧形细棒，其线密度为常数 ，在圆心处有一质量为m 的质点 M ，试求这细棒对质点M 的引力。

§６.６ 平均值 一、计算函数f(x)=x x x e
x cos sin 22
++在区间(ππ,-)上的平均值。

二、一物体以Ｖ＝3t 2+2t(m/s)作直线运动，计算它在t=0到t=3秒这段时间内的平均速度。

三、计算周期为Ｔ的矩形脉冲电流⎩
⎨⎧≤<≤≤=)(0)
0(T t c c t a τ的有效值。

一、求抛物线y=-x 2+4x-3及其在（0，3）和（3，0）处的切线所围图形的面积。

二、求双纽线r 2=a 2sin2θ所围图形的面积。

三、求由x=2t-t 2,y=2t 2-t 3所围图形的面积。

四、求由平面图形y=cosx-sinx ，y=0(4
0π
≤
≤x )绕X 轴旋转的旋转体体积。

五、求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱及y=0绕X 轴旋转的旋转体体积。

六、一立体图形，其底面由星形线3
23
23
2a y x =+所围成，用垂直于x 轴的平面去截时，截
面都是正方形，求它的体积。

七、用定积分方法证明椭球122
2222≤++c
z b y a x 的体积V=abc π34。

八、求曲线y=ln(1-x 2)(2
1
0≤
≤x )的长。

九、求曲线r=asin 3
3θ
的长，)20(πθ≤≤。

十、求曲线y=1+asint,x=2+asint )2
0(π
≤
≤t 的长。

十一、 半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中
取出，需作功多少？
十二、 有一等腰梯形闸门，它的两条边底各长10米和6米，高为20米，较长的底边与水
面平齐，门面与水面垂直，计算闸门一侧所受的水压力。

十三、 求y=x x x 22
3-+在[-3，3]上的平均值。

十四、 已知交流电流I=I m sin100t π在02.00≤≤t 上的有效值为4，求I m .
一、求抛物线y 2=4(x+1)与抛物线y 2=4(1-x)所围图形的面积。

二、求两椭圆1122
222222≤+≤+a
y b x b y a x 及 （a>0,b>0）公共部分的面积。

三、若曲线y=cosx (2
0π
≤
≤x )与X 轴，Y 轴所围成的圆形被曲线y=asinx,y=bsinx,(a>b>0),
分成面积相等的三部分，试确定a,b 的值。

四、设曲线y=x 2-2x+4在点M （0，4）处的切线与曲线y 2=2(x-1)所围成的图形为A 求：
（1） A 的面积；
（2） 将A 绕Y 轴旋转而成的旋转体的体积。

五、设x 2+(y-a)2 ≤16 (a>4)绕X 轴旋转一周的旋转体的体积为1602
π，求a .
六、证明：曲线y=sinx 上相应于x 从0变到π2的一段弧长等于椭圆：2x 2+y 2=2的周长。

七、已知两点A （a,0）B(0,a)在星形线x=acos 3t y=asin 3t (2
0π
≤
≤t )上，求点M 使
⋂
AM =⋂
AB 4
1
八、一块边长为3、4、5m ，重500kg ，面密度均匀的三角形钢板，水平放置，求将此钢板
竖立在3m 边上需做多少功。

九、一底为8cm,高为6cm 的等腰三角形膜片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水
面平行，而顶离水面3cm ，试求它每面所受的压力。