教学内§1.1 函数教学目的】 理解并掌握函数的概念与性质教学重点】 函数的概念与性质 教学难点】 函数概念的理解教学时数】4 学时一、组织教学，引入新课 极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数 学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限 . 因此掌握极限的思想与方法是 学好高等数学的前提条件 . 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念 、讲授新课 （一）、实数概述1、实数与数轴 1）实数系表 2）实数与数轴关系x,x 01）绝对值的定义： xx,x 0x,x 02）绝对值的几何意义 3）绝对值的性质练习：解下列绝对值不等式：① x 5 3 ，② x 1 2 3、区间 （1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间 设 a 与 b 均为实数，且 a b ，则（3）实数的性质：封闭性 有序性 稠密性 连续性数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作 [a ，b ) 数集｛ x a x b ｝为以a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作( a ，b ] 区间长度： b a ② 无限区间 数集｛ xa x｝记作[a ， )， 数集｛xa x｝记作( a ， ) 数集｛ x x a ｝记作( ，a]， 数集｛ x x a ｝记作(，a )实数集 R 记作( ， )3)邻域① 邻域：设 a 与 均为实数，且 0 ，则开区间( a ， a )为点 a 的 邻域记作U(a, ) ，其中点 a 为邻域的中心， 为邻域的半径② 去心邻域：在的 邻域中去掉点 a 后，称为点 a 的去心邻域，记作 U (a, ) (二) 、函数的概念1、函数的定义 ：设有一非空实数集 D ，如果存在一个对应法则 f ，使得对于每一个 x D ，都有一个惟一的实数 y 与之对应，则称对应法则 f 是定义在 D 上的一个函数. 记作 y f(x)，其中 x 为自变量， y 为因变量，习惯上 y 称是的函数。
定义域： 使函数 y f ( x )有意义的自变量的全体，即自变量 x 的取值范围 D 函数值：当自变量 x 取定义域 D 内的某一定值 x 0时，按对应法则 f 所得的对应值 y 0 称 为函数 y f(x)在 x x 0时的函数值，记作 y 0 f(x 0)。
值 域：当自变量 x 取遍 D 中的一切数时，所对应的函数值 y 构成的集合，记数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的闭区间，记作 [a ，b ]数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的开区间，记作( a ，b )作M，即M y y f (x),x D 函数的二要素：定义域、对应法则2】 判断下列每组的两个函数是否相同3】求下列函数的定义域：答：(1) D y ( , 2) ( 2, 2) ( 2,4] ；( 2)函数 f ( x)的定义域是 [0，2]．2、函数的表示法分段函数：当自变量在定义域内的不同区间取值时，用不同的表达式表示的函数取整函数 y [x] n,n x n 17.5,0 x 3现行出租车的收费标准：p(x) 7.5 1.5 x 3 ,3 x其中 x 表示不小于 x 的最小整数2)列表法：将一系列自变量 x 的数值与对应的函数值 y 列成表格表示函数的方法3)图形法：用图形表示函数的方法1.1】1设 f(x) x 1 1 ，求(1)f(x 1)；(2) f f 1x．答： 1)f (x 1) 1 1 (x 1) 1 x答： 2)1.2】f(x)x1x x 1 x 1 2x 1 x1设 f (x 1) x 2 4x 3，求 f(x) ， f 1 xx 2 2x 6 ， f 1 = 1 2 1x x2 (1 2x 6x 2) ．21) y 2ln x, y ln x ，2)x , y x 2 1) f(x) x 21 2 4 x ；2) f(x)=1,0x11, 1 x 21) 公式法：用数学表达式表示函数的方法例如： 绝对值函数 yx,x 0；x,x 01,x 0符号函数 y sgn x 0,x 01,x 0说明：三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用.3、函数的性质(1)单调性定义：设函数y f (x) 的定义域为D，区间I D，若对I 内的任意两点x1,x2 ，当x1 x2时，f(x1) f (x2) ，则称y f(x)在I 上单调增加；若当x1 x2时，有f (x1) f(x2) ，则称f(x) 在I 上单调减少，区间I 称为单调区间.说明：讨论函数的单调性必须指明所在的区间。
(2)奇偶性定义：设函数y f(x)在D 上有定义，若对于任意的x D，都有f( x) f(x)，则称y f (x) 为偶函数；若有f( x) f (x)，则称y f (x) 为奇函数.性质：奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称。
偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称.【例4】判断下列函数的奇偶性．a x a x 1 x(1) y a a ,(a 0,a 1) ； (2) y ln1 x；2 1 x(3) f(x) x42x2；(4) f(x) x31．答： (1) 偶函数； (2) 奇函数； (3)偶函数； (4)非奇非偶函数．(3)有界性定义：设函数的定义域为D，区间I D，若存在一个正数M ，使得对任意的xI ，恒有f(x) M ，则称函数y=f(x) 在区间I 上有界。
若不存在一个正数M ，则称函数y f (x) 在区间I 上无界.说明：讨论函数的有界性必须指明所在的区间。
例如：y sin x 与y cosx 都在( , )内有界 .1y 在( 0， 1)上无界，而在( 1， 2)上有界x(4)周期性定义：设函数y f (x)在D 上有定义，若存在一个非零的实数T，对于任意的x D ，恒有f(x T) f(x)，则称f ( x)是以T为周期的周期函数.最小正周期；周期函数的周期由无数个，其中正周期中最小的周期为最小正周期说明：通常所说的函数的周期，指的是最小正周期，但有些周期函数无最小正周期2例如：y sin x的周期是2 ，y tan x的周期是，y A sin( wx )的周期是2.w 函数y c,( c为常数)是周期函数，但不存在最小正周期,(三)、反函数1、定义：设函数y f ( x) ，其定义域为D，值域为M. 如果对于每一个y M ，有惟一的一个x D 与之对应，并使y f (x)成立，则得到一个以y 为自变量，x为因变量y的函数，称此函数为y f (x) 的反函数，记作x f 1(y) 说明：x f 1(y) 的定义域为M，值域为D.因习惯上自变量、因变量分别用x 、y表示，则y f (x)的反函数表示为y f 1(x)例如：y x 的反函数是y x2 (x 0) ，其定义域就是y x 的值域0, ，值域是y x 的定义域0,12、性质：函数y=f(x)和其反函数y f 1(x)的图象关于直线y x对称3、反函数的存在性：一一对应的函数一定有反函数，从而严格单调的函数一定有反函数【例5】求下列函数的反函数x(1) y 2x 1,x ( , ) ；(2) y e 1,x ( , )(四)、初等函数1、基本初等函数(1)常数函数y c ( c为常数)，其图形为一条平行或重合于x轴的直线.2)幂函数y x ( 为实数) ,其在第一象限内的图形学习必备 欢迎下载22三角函数 y sinx ， y cosx ， y tanx ， y cotx ，y secx ， y cscx . 其中正弦函数 y sin x 和余弦函数 y cosx 的定义域都为 R ，值域都为1,1 ， x R,且 x k ,k Z ，值域为 Ry arctan x ， y arc cot x 。
其中 y arcsin x 与 y arccosx 的定义域都为 1,1 ，值域分别为 2 2y=arcanx 的定义域 R ，值域为4) log a x(a 0,a 1) ，定义域 (0, ) ，值域为 R ，图形如图 1-3(b )所示.ππ5)3)对数函数 y正切函数 y tanx 的定义域为6）反三角函数 y arcsin x ， y arccos x ，b)2、复合函数(1) 定义：设函数 y f(u) 的定义域为 D f ，函数 u (x)的值域为 M ，若 M D f ，则将 y f (x) 称为 y f (u) 与 u ( x)复合而成的复合函数， u 称为中间变量， x 为自 变量. 例如：函数 y lnu,u x 2 1，因为 u x 2 1的值域 1, 包含在 y lnu 的定义域 (0，+ )内，所以 y ln(x 2 1)是y lnu 与u x 2 1复合而成的复合函数 . (2)注意：① 并不是任何两个函数都可以复合的 .如 y arcsin u 与u 2 x 2就不能复合 . 因为 u 2 x 2的值域为 2, ，而 y nicarsu 的定义域为 1,1 ，所以对于任意的x 所对应的 u ，都使 y arcsin u 无意义；② 复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合 .【例 6】 指出下列复合函数的复合过程( 1) y 2x 1 ；( 2) y ln tan x .2解：( 1)y 2x 1是由 y 3 u 与 u 2x 1复合而成的；xx(2) y ln tan 是有 y lnu,u tan , 复合而成的 . 22【例 7】 已知 f (x) 的定义域为 1,1 ，求 f (ln x) 的定义域.解： 由 1 ln x 1得 1 x e ， 所以 f (ln x)的定义域为 1,e . ee3、初等函数1) 定义：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合，且可用一个解析式表示的函数，称为初等函数 .2) 说明：分段函数中有些是初等函数，有些是非初等函数五)、建立函数关系举例通常先要找到这个实际问题中的变量与变量之间的依赖关 系，然后把变量间的这种依赖关系用数学解析式表达出来(即建立函数关系) ，最后进行 分析、计算 .【例 9】从边长为 a 的正三角形铁皮上剪一个矩形，设矩形的一条边长为 x ， 周长为 P ，面积为 A ，试分别将 P 和 A 表示为 x 的函数 . 解： 设矩形的另一条边长为 a x tan60 =3(a x)22该矩形周长 P = 3(a x) 2x (2 3)x 3a ， x (0,a)3(a x) 3 3 2矩形面积 A x axx 2， x (0,a) .2 2 2【例 10】 电力部门规定，居民每月用电不超过 30 度时，每度电按 0.5 元收费，当用电超过30度但不超过 60 度时，超过的部分每度按 0.6元收费 ,当用电超过 60 度时 ,超过部 分按每度 0.8 元收费。