直线、角、平行、垂直（直线公理）经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

注：简称“两点确定一条直线”。

（距离公理）在所有联结两点的线中，线段最短。

注：简称“两点之间线段最短”。

两条直线相交，只有一个交点。

同角（或等角）的余角相等。

同角（或等角）的补角相等。

对顶角相等。

经过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。

直线外一点与直线上各点联结的所有线段中，垂线段最短。

平行公理经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

（平行线判定）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

注：简称“同位角相等，两直线平行”。

课本作为公理。

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

注：简称“内错角相等，两直线平行”。

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

注：简称“同旁内角互补，两直线平行”。

（平行线性质）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

注：简称“两直线平行，同位角相等”。

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

注：简称“两直线平行，内错角相等”。

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

注：简称“两直线平行，同旁内角互补”。

如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则那么这两个角相等或互补。

定理如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。

定理如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。

三角形定理（三角形不等式）三角形任何两边的和大于第三边。

推论三角形任何两边的差小于第三边。

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。

推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

注：有书上称之“外角定理”。

推论2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

推论三角形的三个外角的和等于360°。

（三角形全等判定法则）边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS）角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA）推论（角角边定理）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS）注：老课本作定理。

等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等。

推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。

（三线合一定理）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

■在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。

注：简称“大边对大角”。

等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

注：简称“等角对等边”。

推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

■在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。

注：简称“大角对大边”。

定理在直角三角形中，两个锐角互余。

定理（斜边上中线定理）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

推论1 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

推论2 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）注：老课本作定理。

定理（线段的中垂线定理）线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

定理（角平分线定理）在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

逆定理到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

角的平分线可以看作是到角的两边的距离相等的所有点的集合。

（轴对称性质1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的联线被对称轴垂直平分。

（轴对称性质2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上。

四边形多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n－2）·180°。

推论1 任意多边形的外角和等于360°。

推论2 如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。

平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等。

平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等。

推论夹在两条平行线间的平行线段相等。

平行线之间的距离处处相等。

平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形判定定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

■两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角。

矩形性质定理2 矩形的对角线相等。

矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形。

矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形性质定理1 菱形的四条边都相等。

菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形。

菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

（中心对称性质1）关于中心对称的两个图形，对称点联线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（中心对称性质2）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。

等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。

等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

■等腰梯形的对角线相等。

平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他*直线上截得的线段也相等。

注：（任何一条与平行线相交的）推论1 经过梯形一个腰的中点与底边平行的直线，必平分另一腰。

推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

面积、勾股定理公理矩形的面积等于它的长a和宽b的积。

推论正方形的面积，等于它的边长a的平方。

定理平行四边形的面积等于它的底a和高h的积。

推论等底等高的平行四边形的面积相等。

定理三角形的面积等于它的底a和高h的积的一半。

推论1 等底等高的三角形面积相等。

推论2 菱形的面积等于它的两条对角线的积的一半。

定理梯形面积等于它的两底a、b的和与高h的积的一半。

推论梯形面积等于它的中位线长与高的积。

勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方。

勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

比例线段和相似形比例的性质定理a cb d=ad bc⇔=。

推论a bb c=2b ac⇔=。

合比性质a cb d=a b c db d±±⇒=。

等比性质a cb d==…mn=（b＋d＋…＋n≠0）a c m ab d n b++⋅⋅⋅+⇒=++⋅⋅⋅+。

平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例。

■平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

定理如果一条直线截三角形的两边，其中一边上截得的一条线段和这边与另一边上截得的对应线段和另一边成比例，那么，这条直线平行于第三边。

推论如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

三角形内角平分线性质定理三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

三角形外角平分线性质定理如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边对应成比例。

定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理1 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

三角形相似的判定定理2 如果一个三角形的两个角和另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

三角形相似的判定定理3 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

■直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

（重心定理）三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。

（相似三角形性质）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

相似三角形周长的比等于相似比。

定理相似三角形面积的比等于相似比的平方。

（直角三角形射影定理）直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

两个相似多边形对应对角线的比等于相似比。

定理相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比。

定理相似多边形的面积比等于相似比的平方。

定理相似多边形的周长比等于相似比。

两个位似多边形一定相似，它们的相似比等于对应顶点与位似中心的距离的比，它们的各对对应边分别平行。

圆定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是对称轴。

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦；（3）弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧。

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

（圆周角定理）一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

推论1同弧或等弧所对的圆周角均相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

一点对圆的一直径的视角若等于直角，则该点必落在圆上。

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。