四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题（1）理第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}2(,)|1A x y y x==-，{}(,)|2B x y y x ==，则AB 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．03．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数21()cos 2f x x x =+的大致图象是 A ．B ．C ．D ．5．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-6．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A ．－30B ．－40C ．40D ．507．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为 A ．12B ．35C ．25D ．3108．设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 29．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有 A ．12种B ．18种C ．24种D ．64种10．关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 的最大值为2；③()f x 在[],ππ-有3个零点；④()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增. 其中所有正确结论的编号是 A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是 A ．(]1,2B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 12．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22-D12第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知随机变量ζ服从正态分布()22,N δ，则()2P ζ<=___________.14．已知实数x ，y 满足205y x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则2yz x =+的最大值为______.15．已知()||f x x x =，则满足(21)()0f x f x -+≥的x 的取值范围为_______．16．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________． 三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分17．（12分）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()sin sin sin C B A B =+-． (I)求角A 的大小（II）若a =ABC的面积2S =,求△ABC 的周长． 18．（12分）某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：x1 2 3 4 56 7y5 8 8 10 14 15 17(I)经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （II ）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X 的分布列及数学期望．参考公式：1221ˆni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，71364i i i x y ==∑，721140i i x ==∑． 19．（12分）如图在直角ABC ∆中，B 为直角，2AB BC =，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD 的中点． （Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．20．（12分）已知抛物线()21:20C x py p =>和圆()222:12C x y ++=，倾斜角为45°的直线1l 过抛物线1C 的焦点，且1l 与圆2C 相切． （Ⅰ）求p 的值；（II ）动点M 在抛物线1C 的准线上，动点A 在1C 上，若1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+．求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程．21．（12分）已知函数()()222ln ,2af x ax xg x ax ax x=+-=-+ （Ⅰ）若0,a ≥讨论()f x 的单调性;（II ）当0a >时,若函数()f x 与()g x 的图象有且仅有一个交点()00,x y ,求[]0x 的值(其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[[][0.3710,0.37 1.2.92])=-=-=.参考数据:20.693 ,3 1.099 ,5 1.609,7 1.946ln ln ln ln ====（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程13cos ,23sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴）中，直线l ()sin 4m m R πθ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （II ）若圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|21|f x x =-．（Ⅰ）解不等式()||3f x x <+；（II ）若对于x ，y R ∈，有1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤，求证：(67)f x ≤．理科数学参考答案1．B 2．C3．C4．C5．D6．C7．D8．B9．C10．D11．B 12．A13．1214．101115．1[,)3+∞16．68⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17．（I ）∵A B C π++=，∴()C A B π=-+．∴sin sin()sin sin()C A B B A B =+=+-，∴sin ?cos cos ?sin sin sin ?cos cos sin A B A B B A B A B +=+-，∴2cos ?sin sin A B B =，∴1cos 2A =，∴3A π=． （II）依题意得：2221·sin {22cos ABC S bc A a b c bc A∆===+-∴226{13bc b c =+=， ∴222()225b c b c bc +=++=，∴5b c +=，∴5a b c ++=+∴ABC ∆的周长为518．（I ）依题意：()1123456747x =++++++=， ()158810141517117y =++++++=，721140i i x ==∑，71364i i i x y ==∑，7172217364741121407167ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，11243ˆˆa y bx =-=-⨯=， 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =+． （II ）二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：()1110224P X ==⨯=，()1113002233P X ==⨯⨯=，()111156002332618P X ==⨯+⨯⨯=，()1119002369P X ==⨯⨯=，()11112006636P X ==⨯=．所以，总金额X 的分布列如下表：X0 300 600 900 1200P14 13 518 19 136总金额X 的数学期望为11511030060090012004004318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元． 19．证明：（Ⅰ ）取DB 中点N ，连结MN 、EN ， ∵ 12MNBC =，12EF BC =，∴ 四边形EFMN 是平行四边形， ∵ EF BE ⊥，EF DE ⊥，BEEF E =，∴ EF BDE ⊥平面，∴ EF EN ⊥，∴MF MN ⊥，在DFC ∆中，DF FC =， 又∵ M 为CD 的中点，∴MF CD ⊥， 又∵ MFMN M =，∴MF BCD ⊥平面．解：（Ⅱ）∵DE BE ⊥，DE EF ⊥，BE EF E =，∴ DE BEF ⊥平面，以E 为原点，BE 、EF 、ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设2BC =，则()000E ，，，()010F ，，，()220C -，，，()111M -，，， ∴ ()0,1,0EF =，()1,0,1FM =-，()2,1,0CF =-，设面EMF 的法向量(),,m x y z =，则00m EF y m FM x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,0,1m =，同理，得平面CMF 的法向量()1,2,1n =，设二面角E MF C --的平面角为θ，则3cos m n m nθ⋅==⋅，∴ 二面角E MF C -- 20．解：（1）依题意设直线1l 的方程为2py x =+， 由已知得：圆222:(1)2Cx y ++=的圆心2(1,0)C -，半径r =1l 与圆2C 相切，所以圆心到直线1:2pl y x =+的距离d===6p 或2p =-（舍去）．所以6p；（2）依题意设(,3)M m -，由（1）知抛物线1C 方程为212x y =，所以212x y =，所以6x y '=，设11(,)A x y ，则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+． 令0x =，211111111266y x y y y y =-+=-⨯+=-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -，所以11(,3)MA x m y =-+， 1(,3)MB m y =--+，∴()12,6MN MA MB x m =+=-，∴1(,3)ON OM MN x m =+=-．设N 点坐标为(,)x y ，则3y =，所以点N 在定直线3y =上．21．解：（1）()2222122'2a ax x af x a x x x --=-+-=对于函数()222,h x ax x a =--21160a ∆=+>当0a =时，则()1'0,f x x=-<()f x ∴在()0,∞+单调递减；当0a >时，令()0f x '<，则2220ax x a --<，解得104x a<<∴()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；令()0f x '>，解得x >()f x 在14a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭单调递增． （2）0a >且两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0aax x x+-=在()0,∞+只有一个根 令()22ln a F x ax x x =+-，则()3222'ax x a F x x --= 令()[)322,0,x ax x a x ϕ=--∈+∞，则()2'61x ax ϕ=-()0,a x ϕ>∴在⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()min x ϕϕ=注意到()()020,a x ϕϕ=-<∴在⎛ ⎝无零点，在⎫+∞⎪⎪⎭仅有一个变号的零点m ()F x ∴在()0.m 单调递减，在(),m +∞单调递增，注意到()130F a =>根据题意m 为 ()F x 的唯一零点即0m x =- 11 - 20003002ln 0220a ax x x ax x a ⎧+-=⎪∴⎨⎪--=⎩消去a ，得：3003300232ln 111x x x x +==+-- 令()332ln 11H x x x =---，可知函数()H x 在()1,+∞上单调递增 ()101022ln 220.693077H =-=⨯-<，()292932ln 32 1.00902626H =-=⨯-> ()[]002,3,2x x ∴∈∴=22．（Ⅰ）消去参数t ，得到圆C 的普通方程为()()22129x y -++=.πsin 4m θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 0m ρθρθ--=.所以直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=.（Ⅱ）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于22=，解得3m =-±23．（1）由()||3f x x <+得|21|||3x x -<+，则12213x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩，或102123x x x ⎧<<⎪⎨⎪-<+⎩，或012 3.x x x ≤⎧⎨-<-+⎩， 解得142x ≤<，或102x <<，或20x -<≤，即24x -<<， 所以不等式()||1f x x <+的解集为{|24}x x -<<.（2）证明：由1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤， 所以217()|21||2(31)3(21)|2|31|3|21|326f x x x y y x y y =-=-++-≤-++-≤+=.。