第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii iij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。

由AC C B T=知，两个n 阶对称矩阵A 与B 合同且r(A)=r(B)定理1：二次型AX X f T=经可逆线性变换CY X =后，变成新的二次型BY Y f T =，它的矩阵AC C B T =且)()(B r A r =定理2：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的矩阵合同.三、正交变换化二次型为标准型定理3：对实二次型AX X f T=，其中A A T =，总有正交变换QY X =，使2222211)(nn TTTTy y y Y Y Y AQ Q Y AX X f λλλ ++=Λ===其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λn λλλ21，λ为f 的矩阵A 的特征值。

因为Q 是正交矩阵，则AQ Q AQ Q B T1-==，即经过二次型变换，二次型矩阵不仅合同而且相似。

将二次型f 用正交变换化为标准形的一般步骤为： （1）写出二次型f 的矩阵A（2）求出A 的全部相异特征值m λλλ ,,21，对每一个特征值求出其线性无关的特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面两两正交的单位向量作为列向量，排成一个n 阶方阵Q ，则Q 为正交阵且Λ==-AQ Q AQ Q T1为对角阵。

（3）作正交变换QY X =，即可将二次型化为只含平方项的标准型四、配方法(略,见例). 五、惯性定理和惯性指数定理4：若二次型AX X f T=经过可逆线性变换化为标准形，则标准型中所含平方项的个数等于二次型的秩。

定理5：一个二次型所化得的标准二次型虽然不是唯一的,但是它们的平方项的系数中,正的个数和负的个数是确定的,把这两个数分别称为原二次型的正惯性指数和负惯性指数，这个定理称为惯性定理一个二次型所化得的规范二次型221221q p p p x x x x ++--+ 在形式上是唯一的,称为其规范形，其中的自然数p,q 就是原二次型的正,负惯性指数。

性质1：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相等.(即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相等.)性质2：由正交变换法看出, 实对称矩阵A 的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数.六、正定二次型和正定矩阵定义1：如果当x 1,x 2,…,x n 不全为0时,有f(x 1,x 2,…,x n )>0，称二次型f(x 1,x 2,…,x n )称为正定二次型如果实对称矩阵A 所决定的二次型正定,则称A 为正定矩阵, 于是A 为正定矩阵也就是满足性质:当X0时,一定有X TAX >0，且A 一定是是对称矩阵。

二次型的正定性是在可逆线性变量替换中保持不变的. 即实对称矩阵的正定性在合同变换时保持不变.(2)性质与判断实对称矩阵A 正定合同于单位矩阵. 即存在可逆矩阵Q 使TQ AQ E =，或者存在可逆矩阵P ，使得A EP P T =对任意可逆矩阵C ，AC C T正定（即合同的矩阵，有相同的正定性）。

A 的正惯性指数等于其阶数n. A 的特征值都是正数. A 的顺序主子式全大于0.顺序主子式:一个n 阶矩阵有n 个顺序主子式,第r 个(或称r 阶)顺序主子式即A 的左上角的r 阶矩阵A r 的行列式|A r |.判断正定性的常用方法: 顺序主子式法,特征值法,定义法.⇔=0A A 不可逆⇔n A r )( ⇔Ax=0有非零解 ⇔0是A 的特征值⇔A 的列（行）向量组线性相关A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =只有零解；⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；β可由α1，α2,…，αn 惟一线性表示β=x 1a 1+x 2α2+…+x n αn⇔Ax =β有惟一解x =(x 1,x 2,…,x n )T ,A =(α1, α2,…, αn )⇔r (A )=r (A β)=n ⇔|A |≠0 ⇔Ax =0只有零解 ⇔λ=0不是A 的特征值AB =0⇔A (b 1,b 2,…, b s )=0, B =( b 1, b 2,…, b s )⇔Ab j =0, j =1,2,…,s⇔b 1,b 2,…,b s 均为Ax =0的解(⇒r (A )+r (B )≤n )⇔若b j ≠0且A 为n 阶方阵时，b j 为对应特征值λj =0的特征向量 ⇔A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关。

AB =C ⇔A (b 1, b 2,…, b r )=(C 1, C 2,…, C r )⇔Ab j =C j ,j =1,2,…,r⇔b j 为Ax =C j 的解.⇔C 1, C 2,…, C r 可由A 的列向量组α1, α2,…, αs 线性表示.[⇒r (C )=r (AB )≤r (A )或r (B )]⇔C 的行向量组可由B 的行向量组线性表示。

例 题一、概念型题1.写出二次型32312221321622),,(x x x x x x x x x x f -++=的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0313********313322212312121x x x x x x x x x x x x x x x A 2题答案：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000310********2.二次型322123222143212432),,,(x x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵是______。

3.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=314122421A 对应的二次型是______。

答案：32312123222128432x x x x x x x x x -++++.4.已知二次型323121322221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换x=Py 可化成标准型216y f =，则a = 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a a A 60063=++=a5.已知二次型3231212322212225x bx x x x ax x x x Ax x T ++++-=的秩为2，（2，1，2）T是A 的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准型是 解：二次型对应的矩阵A 为：()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=005011115112a b a b a a b b a a A ()b a A r =⇒=2因为（2，1，2）T是A 的特征向量，所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-21221211511λa a a a ，2,3==a λ()()⇒=-+=-036λλλλE A 6,3,0321-===λλλ，222163y y f -= 二、化二次型为标准型1.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数，然后写出其规范形。

（1）323121232221321222),,(x x x x x x x x x x x x f -++-+=解：先集中含有x 1的项，凑成一个完全平方，再集中含有x 2的项，凑成完全平方3223223121213212)22(),,(x x x x x x x x x x x x f --+++==()322322322322232122x x x x x x x x x x x --+---++()()22232232122x x x x x x ++-++=设⎪⎩⎪⎨⎧-==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++32332211322321321y y x y x y y x y x y x x y x x x ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321110100011y y y x x x ，Qy x = 标准型：23222122y y y f +-=，正惯性指数：2=p ，负惯性指数：1=q规范性：232221z z z f +-=(2) f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22+2x 1x 2-2x 1x 3+2x 2x 3.解：f(x 1,x 2,x 3)= （x 12+2x 1x 2-2x 1x 3）+2x 22+2x 2x 3=()()23232232152x x x x x x -++-+设⎪⎩⎪⎨⎧==+=-+3323213212y x y x x y x x x ，Cy x =，标准型：2322215y y y f -+= 正惯性指数：2=p ，负惯性指数：1=q ，规范性：232221z z z f -+=(3) f(x 1,x 2,x 3)= -2x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3.解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=33212211y x y y x y y x ，Cy X =，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100011011C ，()2322231222y y y y f ++--= 设：3322311,,y z y z y y z ==-= ，z z C y ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==1000101012 标准型：232221222z z z f ++-=，规范性：232221z z z f ++-=2.设二次型f(x 1,x 2,x 3)=X T AX =ax 12+2x 22-2x 32+2bx 1x 3,(b>0)，其中A 的特征值之和 为1, 特征值之积为-12.(1) 求a,b.(2) 用正交变换化f(x 1,x 2,x 3)为标准型。