B
WAB
(T G) dr
A
B
A G dr
A
d
T B ds
v
G
B
mg
cos
dr
A
0 mgl cosd
mgl sin
对于珠子利用动能定理，得
mgl sin
1 2
mv
2 B
1 2
mv
2 A
而 vA 0， vB v ，所以
v 2gl sin
例2.一质量为10kg的质点，沿x 轴无摩擦 的运动. 设t =0时，质点位于原点，速度为 零（即初始条件为：x0 0,v）0 . 0问：
保守力所作的功与路径无关，仅决定 于始、末位置．
引力的功
W
(G
m'm )
rB
(G
m'm
rA
)
重力的功 W重 (mgzb mgza )
弹力的功
W
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
F dr F dr A
ACB
ADB
C
F dr F dr F dr
l
ACB
BDA
W l F dr 0
W Wx Wy Wz
功的单位（焦耳）
1J 1Nm
平均功率 P W
瞬时功率 P
t lim
ΔW
dW
F
v
t0 Δt
dt
P Fvcos
功率的单位（瓦特）
1 W 1 J s1 1 kW 103 W
例1、设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N。
如果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内
W ex W in Ek Ek0
W in Wiin Wcin Wnicn
i
非保守 力的功
Wcin ( Epi Epi0 ) (Ep Ep0 )
i
i
W ex Wnicn (Ek Ep ) (Ek0 Ep0)
W ex
W in nc
(Ek
Ep ) (Ek0
Ep0 )
这力作了多少功？
解：
a
F m
6t 3t 2
dv adt
3t
a dt
dv dt
两边积分：
v
t
dv 3tdt
0
0
v 3t2 2
v dx
dx vdt 3 t 2dt
dt
2
W F dx 2 6t 3 t 2dt 9 t 4 2 = 36J
02
40
二、动能定理
1、
质点的动能定理
m1v102 m2v202
f21 m2
对m1+m2:
W外力
W内力
(1 2
m1v12
1 2
m2v22
)
(
1 2
m1v102
1 2
m2v202
)
设有n个质点构成一个系统,对系统内所有质点求和
W外 W内
1 2
mivi2
12mivi20
质点系的动能定理：
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力 和内力作功之代数和。
W F dr
A
Ft dr
Ft
m dv , v dt
dr dt
W v2 mv dv v1
1 2
mv22
1 2
mv12
v1 dr
θ B
F
v2
W
1 2
mv22
1 2
mv12
Ek 2
Ek1
合外力对质点所作的功，等于质点动 能的增量 ——质点的动能定理
注意 ➢ 功是过程量，动能是状态量； ➢ 功和动能依赖于惯性系的选取，
间的摩擦系数为 ，车厢长为d ，物块进入小车
后带动小车开始运动. 当车行驶l 距离时，物块 刚同好 一滑 速到 度一运端动的v. 挡试板分处析.在然上后述物过块程与中小: 平板车以
（1）物块与平板车组成的质点组动量守恒否？
（2）质点组的动能守恒否？
（3）动量和动能有何不同？
v0
v
l
d
解 （1）若把物块与车选为一个质点组， 则该质点组在水平方向无外力作用，所以质 点组在水平方向上动量守恒，在上述所描述 的过程中，初末态的动量相等，有
mv0 (M m)v
考虑过程中间的某一状态时，物块和小车 的速度不同，此时也有动量守恒的关系
mv0 Mv车 mv块
（2）在上述所描述的过程中，对于物块和 小车构成的质点组，虽然没有外力做功，但 有一对摩擦内力存在，这一对内力所做的功 分别为:
物块受与运动方向相反的摩擦力，大小
为 m，g 位移为l + d ，因为力与位移方向相反，
第四章 功和能
力的空间累积效应：
F
对
r
积累
W，动能定理
动能、功、动能定理、机械能守恒
§4-1 功 动能定理
一功
1 恒力作用下的功
W
F
cos
r
F
r
F
r
2 变力的功
质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力 F 所
作的功 。
W1 F1 cos1r1
W2 F2 cos 2r2
重力势能
Ep mgz
弹性势能
Ep
1 2
k x2
保守力的功 W (Ep2 Ep1) EP
——保守力作功，势能减少
势能计算 W (Ep Ep0 ) Ep
令 Ep0 0
Ep (x, y, z)
Ep0 0
F
dr
(x, y,z)
讨论
势能是状态的函数 Ep Ep (x, y, z)
b
Wab
b
F dr
a
a mgk dxi dyj dzk
b a
mgdz
mg
zb
za
z
za a
r
zb
b
mg
O
y
x
(3) 弹性力作功
F F'
o x Px
F kxi
dW kxdx
W
x2 Fdx
x1
x2 x1
kxdx
( 1 2
k x22
1 2
k x12
)
二 保守力与非保守力
（1）生产实践和科学实验的经验总结； （2）能量是系统状态的函数； （3）系统能量不变, 但各种能量形式可 以互相转化； （4）能量的变化常用功来量度．
讨论
下列各物理量中，与参照系有关的物 理量是哪些？（不考虑相对论效应．）
(1) 质量 (2)动量 (3) 冲量 (4) 动能 (5)势能 (6)功
（1）设质点在F =3+4t 牛顿力的作用下运动 了3秒（t 以秒计），它的速度和加速度增为 多大？
（2）设质点在F =3+4x 牛顿力的作用下移动 了3米（x 以米计），它的速度和加速度增为 多大？
解 （1）设t 时刻质点速度为v ,则由动量
定理得
t
mv mv0
Fdt
0
t
0(3 4t)dt
（3）动量和动能的相同点是：二者都是 描述质点运动的状态量.
动量和动能的不同点是： 动量是矢量， 而动能是标量；动量取决于力对时间的积累 （冲量）, 而动能则取决于力对空间的积累 （功）；质点组动量的改变仅与外力的冲量 有关，质点组动能的改变不仅与外力有关而 且还与内力有关；质点间机械运动的传递用 动量来描述，机械运动与其它形式运动的传 递用动能来描述.
机械能 E Ek Ep
W ex Wnicn E E0
——质点系的功能原理
六 机械能守恒定律
当 W ex
W in nc
0
时，有 E
E0
——只有保守内力作功的情况下，质点
系的机械能保持不变．
E Ek Ep Ek Ek0 (Ep Ep0 ) Ek Ep
说明 守恒定律的意义
能量守恒定律：对一个与自然界无任何 联系的系统来说, 系统内各种形式的能量可 以相互转换，但是不论如何转换，能量既不 能产生，也不能消灭。
§4-2 保守力 势能 机械能守恒定律
一万有引力、重力、弹性力作功的特点
(1) 万有引力作功
m' 对m 的万有引力为
m'm
F G r 2 er
m移动dr时，F作元功为
rA
A r
m
dr
r dr
m'
rB
B
dW
F
dr
G
m'm r2
er
dr
m从A到B的过程中F 作功：
B m'm
B A F2
dr
B A Fn dr
W W1 W2 Wn
结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点
作功之代数和 。
讨论
(1) 功的正、负
0o 90o , dW 0
90 o
90 o
180 o , F dr
dW 0 dW 0
(2) 作功的图示
F cos
W r2 F cos dr r1
3t 2t 2
所以v 3t 2t 2 , a dv 3 4t
m
dt m
代入数据t =3s、m =10kg可得速度和加速 度分别为 v 2.7m s1, a 1.5m s2.
（2）设移动到x 位置时质点速度为v ，则由 动能定理，得
1 mv 2
2
1 2
mv
2 0
x
Fdx
0
x
0 (3 4x)d x
势能具有相对性，势能大小与势能零 点的选取有关． 势能是属于系统的． 势能差与势能零点选取无关．