五、应用举例
例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD。
A
B
h
q
1
q
1
l
ql2 / 8
h h
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc
EI
1 EI
2 ql 2 38
lh
qhl 3 ( ) 12EI
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。
C
lq
EI 20kN m 40kN m
10m
1
Mi
60
20
B
1 EI
(1 2
10 60
2 3
2010 1) 100 ( ) 2 EI
40
B
1 EI
1 2
101 (60
2 3
20)
100 ( ) EI
20
B
1 EI
(1 2
10 60
2 3
2010 1) 100 ( ) 2 EI
三、图形分解
求 B
ql2 / 2 MP A l/2
Mi
q ql2 / 8 l/2C l/2 B
1
c
yc 1 1 l ql2 1 l
EI EI 3 2 2 2
1 ql3 ()
24 EI
C
C
yc 1 (1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l )
MP图
1 M图
练习： 试求图示梁A端截面转角.
A
Ay0 EI
Pl / 2
P
1 (1 l Pl ) 1 (1) 1 Pl2 l/6
EI 2 2 2
8 EI
（顺时针）
1
MP图 1 M图
例. 试求图示梁D端竖向位移. EI=常数。
解: A
ΔAy
Ay0 EI
a m
1 ( 1 a m 2a 1 a m a)
解:
B
MM EI
P
ds
yc
EI
1 1 l Pl 1 EI 2 4 2
M 1
A
B
1
Mi
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结
果为正?
1 Pl2 ( ) 16 EI
练习： 试求图示梁A端竖向位移. P
解:
ΔAy
Ay0 EI
EI
A
l/2
l/2
Pl / 2
P
1 (1 l Pl ) 5 l 5 Pl3 () l/6 EI 2 2 2 6 48 EI l 5l/6
)
()
3 4 8 2 16 2 4 32 3 16 4048 EI
四、图乘法小结
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
（3） yc 应取自直线图中。
2. 若 与 yc 在杆件的同侧，yc取正值；
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
二、常见图形的面积和形心位置
b
l/4 l
A 1 bl 3
l/2
l/2
A 2 bl 3
b
b
5l/8 l
A 2 bl 3
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
1
q
A
B
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
三、图形分解
MP
ql / 4
Mi
l
1/ 2
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc
EI
1 ( 1 l ql 2 2 l 1 2l ql 2 2 l 2
EI 2 4 3 2 2
4 32 3
2 2 ql 4 ( ) 48EI EI
2l ql 2 1 l ) 8 22
例 4. 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。
一、图乘法
MM EI
P
ds
1 EI
MM Pds
(对于等 截面杆)
1
EI
MM Pdx (对于直杆)
(M x tan )
1 EI
x
tan
M Pdx
tan
EI
tan
EI
xMPdx
xc
1 EI
yc
图乘法求位移公式为:
ip
yc
EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
EI
l/2
l/2
MP
Pl / 4
1 1 1
A
l
ql2 / 4
B
Mi
l
1/ l
ql2 / 4
0
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
CD
yc 1 2 ql 2 1
EI EI 3 8 2
ql / 4 ql / 4
ql3
(
24 EI
)
例 3. 已知 EI 为常数，求A点竖向位移 A 。
q
q
1
l
A ql2 / 4
l/2
l
q
q
A
B
MP
ql2 / 8 EI ql2 / 4
l
ql2 / 8
ql 2
1
4
Mi
B
1 EI
(
2 3
l
ql 2 8
1 2
1 2
lql 2 4来自2 31)ql3 ( ) 24 EI
三、图形分解
求C截面竖向位移 C
q
3ql 2 / 32
A
B
EI
C
MP
ql2 / 8
3l / 4
l/4
P 1
q
3ql 2 / 32
能E用I M2 i图2 面2 积3 乘4
B
l 2
l 2
M12 PP图4l 竖12 标2l 吗12 ?13
Pl 4
)
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.
三、图形分解
求 B
40
A
B
MP 20
EI 2
32
3 a/3
1 ma2 () 6 EI
a 2a/3
m
B a
m
m
a/3
a/3
C a
a
D
MP图 1
M图
例. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
1 (1 Pl l 2 l Pl l l)
EI 2
3
4 Pl 3 () 3 EI
B
1 EI
(1 2
10 20
2 3
10 20 1) 500 ( ) 2 3EI
B
1 EI
1 2
101 (20
20 2) 500 ( ) 3 3EI
当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.
三、图形分解
求 B
A
MP
P Pl / 4
EI
l/2
l/2
B
1 ( 1 l 1 2 Pl
3ql2 / 32 q
3l / 4 q l/4 q
q(3l / 4)2 / 8 3ql 2 / 32
q(l / 4)2 / 8 3ql2 / 32
Mi
3l /16
B
1 EI
(2 3
3l 4
q(3l / 4)2 8
1 2
3l 16
1 3l 24
3ql 2
32
2 3
3l 16
2 l q(l / 4)2 1 3l 1 l 3ql 2 2 3l 19ql 4
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/3 2/3
B
1 EI
(1 2
10 40
2 3
1 10 20 1) 500 ( )
2
3 3EI
20 A
20kN m A
B 40 B 40kN m
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/ 2 2/3