二次函数各种题型汇总一、利用函数的对称性解题（一）用对称比较大小例1、已知二次函数y=x2-3x-4，若x2-3/2＞3/2-x1＞0，比较y1与y2的大小解：抛物线的对称轴为x=3/2，且3/2-x1＞0，x2-3/2＞0，所以x1在对称轴的左侧，x2在对称轴的右侧，由已知条件x2-3/2＞3/2-x1＞0，得：x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离，所以y2＞y1（二）用对称求解析式例1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（－1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。
解：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x=－1，又因为抛物线与x轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：x 1=－1－3=－4，x2=－1+3=2 则两交点的坐标为（－4，0）、（2，0）；设抛物线的解析式为顶点式：ya（x+1）+4，把（2，0）代入得a=－4/9。
所以抛物线的解析式为y=－4/9（x+1）2+4（三）用对称性解题例1：关于x的方程x2+px+1=0（p＞0）的两根之差为1，则p等于（）A. 2B. 4C. 3D. 5解：设方程x2+px+1=0（p＞0）的两根为x1、x2，则抛物线y=x2+px+1与x轴两交点的坐标为（x1，0），（x2，0）。
因为抛物线的对称轴为x=－p/2，所以x1=－p/2－1/2，x2=－p/2+1/2，因为x1x2=1。
所以(－p/2－1/2)(－p/2+1/2=1，p2=5 因为p＞0，所以p=5例2、如图，已知抛物线y=x2 +bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）解：由点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行可知，点A，B关于x=2对称。
设点B的横坐标为xB，∵点A的坐标为（0，3），所以，（0+xB）/2=2，xB=4∴B点坐标为（4，3）例2 （2010，山东日照）如图2是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是多少解析：由抛物线的对称性可知，抛物线与ｘ轴的另一交点为（－1，0），ax2+bx+c＜0的解集就是抛物线落在x轴下方的部分所对应的x的取值，不等式ax2+bx+c＜0的解集是－1＜x＜3．例3、（2010，浙江金华）若二次函数y=－x2+2x+k的部分图象如图3所示，则关于x的一元二次方程－x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2是多少；解：依题意得二次函数y=-x2+2x+k的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1-（3-1）=-1，∴交点坐标为（-1，0）∴关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的解为x1=3或x2=－1．故填空答案：x1=-1例4：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a－b+c的值为（） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2解法1：将P代入得：9a+3b+c=0由对称轴得：-b/2a=1, 得b=-2a 9a+3b+c=3a+c=0即a+2a+c=0 则 a-b+c=0解法2：由抛物线的对称轴:x=1，及点P（3，0），可求出抛物线上点P关于对称轴x=1的对称点的坐标为Q（-1，0），由于Q在抛物线上，有（-1，0）满足关系式，因为点p，Q在x轴上所以a-b+c=0，故选A．例5、抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2,7），B（6,7），C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_______________解析：由点A（-2,7），B（6,7）的纵坐标相同，可知A、B关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x=（-2+6）/2=2，于是设该抛物线上纵坐标为–8的另一点的坐标为（x2,-8)，则有2=（3+x2）/2，从而得x2=1，故答案为(1,-8).例6、已知抛物线上有不同的两点E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)．求抛物线的解析式．分析：关键是确定一次项系数b．观察抛物线上不同的两点E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)．纵坐标相同，因此判断得点E和点F关于抛物线对称轴对称．解：的对称轴为x=-b÷（-1/2×2）=b因为抛物线上不同的两点E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)．纵坐标相同，∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则b=[（k+3)+(-k-1)]÷2=1，∴抛物线的解析式为y=1/2x2+x+4例7（2010，山东聊城）如图5，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；．分析：（1）由点C （0，－3）知c ＝－3，只需求得a 、b 两个未知的系数，根据点A （－1,0）和对称轴x=1，利用待定系数法可求解；（2）由抛物线的对称性知，直线x=1是AB 的垂直平分线，因此MA ＝MB ，要使得MA+MC 最小，只要MC+MB 最小，所以点M 就是直线BC 与抛物线对称轴的交点．解：（1）∵抛物线经过点C （0，－3）∴c ＝－3，∴y ＝ax2+bx-3。
又抛物线经过点A （－1，0），对称轴为x=1，所以a-b-3=0 －b/2a=1 解得 a=1 b=-2∴抛物线的函数关系式为y ＝x2－2x-3由B （3，0），C （0，－3），解得y=x-3, 由x=1, 解得y=-2.当点M （1，-2）时，M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小（2）∵点A （－1,0），对称轴为x=1，∴点B （3，0）．连接BC,交对称轴x=1于点M.∵点M 在对称轴上，MA=MB ,∴直线BC 与对称轴x=1的交点即为所求的M 点. 设直线BC 的函数关系式为y=kx+b ， 由B （3，0），C （0，－3），解得y=x-3, 由x=1, 解得y=-2.当点M （1，-2）时，M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小例8、二次函数图像经过A （-3，1）、B （1，1）、C （-1，3）三点，求二次函数的解析式。
分析：由观察可知点A （-3，1）、B （1，1）是抛物线上对称的两点。
根据结论2，可知直线x =-1是此抛物线的对称轴，所以点C （-1，3）恰为抛物线的顶点。
设二次函数的解析式为y a x =++()132（顶点式），所以1113122=++=-a a ()，。
从而可确定二次函数的解析式为y x =-++12132()。
例9. 已知抛物线y ax bx c a =++≠20()经过点A （-3，-5），且b a =2。
试求抛物线经过除A 点以外的另一定点的坐标。
分析：按照常规思维写出解析式y ax bx c =++2，再确定某一常数点，思维受阻。
考虑到b a =2，从而可知对称轴为x =-1。
根据结论3，A （-3，-5）关于对称轴x =-1的对称点A ’一定在抛物线上，A ’点的坐标为（1，-5）。
因而另一定点的坐标为（1，-5）。
例10、已知，抛物线22)1(t t x a y +--=（a 、t 是常数且不等于零）的顶点是A ，如图所示，抛物线122+-=x x y 的顶点是B 。
（1）判断点A 是否在抛物线122+-=x x y 上，为什么？（2）如果抛物线22)1(t t x a y +--=经过点B ，①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。
解析：（1）抛物线22)1(t t x a y +--=的顶点A （1+t ，2t ），而1+=t x 当时，222)11()1(12-+=-=+-=x x x x y ＝2t ，所以点A 在抛物线122+-=x x y 上。
（2）①顶点B （1，0），0)11(22=+--t t a ，∵0≠t ，∴1-=a ；②设抛物线22)1(t t x a y +--=与x 轴的另一交点为C ，∴B （1，0），C （12+t ，0），由抛物线的对称性可知，△ABC 为等腰直角三角形，过A作AD ⊥x 轴于D ，则AD ＝BD 。
当点C 在点B 的左边时，)1(12+-=t t ，解得1-=t 或0=t （舍）；当点C 在点B 的右边时，1)1(2-+=t t ，解得1=t 或0=t （舍）。
故1±=t 。
例11. 如图2所示，圆O 的直径为2，AB 、EF 为互相垂直的两条直径，以AB 所在直线为y 轴，过点A 作x 轴，建立直角坐标系。
（1）写出E 、F 的坐标；（2）经过E 、F 两点的抛物线从左至右交x 轴于C 、D 两点，若||CD =3，试判定抛物线的顶点是否在圆内。
（3）若经过E 、F 两点的抛物线的顶点恰好在圆O 上，试求抛物线的解析式。
分析：（1）E 点的坐标为（-1，1），F 点的坐标为（1，1）；（2）根据结论2可知，E 、F 关于对称轴对称，从而可知对称轴为x =0。
C 、D 是抛物线与x 轴的两个交问题图点，根据结论1，易知C 点坐标为()-320，。
设解析式为y ax bx c =++2，建立方程组103232202=++=--+-=⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪a b c a b c b a() 可得解析式为y x =-+45952。
易知顶点在线段AB 上。
因为952<，故知抛物线顶点在圆内。
（3）根据抛物线的对称性和圆的对称性可知，抛物线的顶点只能为B 点或A 点，现分两种情况讨论。
（1）当B 点为顶点时，设解析式为y ax =+22（顶点式），所以1122=-+a ()。
解得a =-1，所以解析式为y x =-+22。
（2）当A 点为顶点时，设解析式为y ax =2，所以112=-a ()。
解得a =1，所以解析式为y x =2。
注意：求抛物线的解析式的过程中，为避免方程组中出现相同的方程，对称的两点中，只用其中一个点的坐标来列方程。
二、二次函数a 、b 、c 之间的关系题型及字母求值的题型1、二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b2－4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a －2b+c=0；④ a ︰b ︰c= －1︰2︰3.其中正确的是（ ）A. ①②B.②③C. ③④D.①④解析：由图可知，对称轴为x=1，图象与x 轴有两个交点（-1，0）和（3，0），故b 2－4ac >0；a-b+c=0,2a+b=0, 所以b=-2a,c=-3a,所以a ︰b ︰c = -1︰2︰3.解答：选D ．2、如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法中正确的个数为（ ） ①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0A ．1B ．2C ．3D ．解：①图象开口向下，能得到a ＜0；②对称轴在y 轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0； ③当x=1时，y ＞0，则a+b+c ＞0； ④由图可知，当﹣1＜x ＜3时，y ＞0． 故选C ．3、已知:M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a,b ），则二次函数y = –abx 2+(a+b)xA . 有最大值，最大值为 –92B . 有最大值，最大值为92C . 有最小值，最小值为92D . 有最小值，最小值为 –92【解析】M (a ,b )，则N (–a ,b )，∵M 在双曲线上，∴ab =12；∵N 在直线上，∴b =–a +3,即a +b =3； ∴二次函数y = –abx 2+(a+b)x= –12x 2+3x = –12(x –3)2+92，∴有最大值，最大值为92，【答案】B4、在平面直角坐标系中，将抛物线62--=x x y 向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．6【解析】因为是左或右平移，所以由)2)(3(62+-=--=x x x x y 求出抛物线与x 轴有两个交点 （3,0），（-2,0）将抛物线向右平移2个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离最小．5、二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图像的一部分如图所示，对于下列说法：①abc<0；②a-b+c<0； ③3a+c<0； ④当-1<x<3时，y>0．其中正确的是__________(把正确说法的序号都填上)．【解析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，∵与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∵对称轴为x =2b a-=1，得2a =－b ，∴a 、b 异号，即b ＞0， 又∵c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；∵抛物线与x 轴的交点可以看出，当x =－1时，y ＜0，∴a －b +c ＜0，故②正确；当x =－1时，y ＜0，而此时a －b +c =3a +c ，即3a +c <0；故③正确；观察图形，显然④不正确．【答案】①②③6、对于二次函数322--=mx x y ，有下列说法：其中正确的说法是 ．①它的图象与x 轴有两个公共点；②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则1=m ；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则1-=m ；④如果当4=x 时的函数值与2008=x 时的函数值相等， 则当2012=x 时的函数值为3-．【解析】①根据函数与方程的关系解答；∵△＝4m 2－4×（－3）＝4m 2＋12＞0，∴它的图象与x 轴有两个公共点，故本选项正确；②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；∵当x≤1时y 随x 的增大而减小（注意x 的取值包含1，一般情况下，二次函数的增减性是以对称轴为界限，但不包含对称轴，即x 的取值不能包含对称轴的值，）∴函数的对称轴x ＝－2m 2－=m ，在直线x ＝1的右侧，故本选项错误； ③将m ＝－1代入解析式，求出和x 轴的交点坐标；将m ＝－1代入解析式，得y ＝x 2＋2x －3，当y ＝0时，得x 2＋2x －3＝0，即（x －1）（x ＋3）＝0，解得，x 1＝1，x 2＝－3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；④根据坐标的对称性，求出m 的值，得到函数解析式，将m ＝2013代入解析式；④∵当x ＝4时的函数值与x ＝2008时的函数值相等，∴对称轴为x ＝4+20082＝1006，则－2m 2－＝1006，即m ＝1006，原函数可化为y ＝x 2－2013x －3，当x ＝2013时，y ＝20132－2013×2013－3＝－3，故本选项正确．【答案】①④（多填、少填或错填均不给分）7、（2013年广西玉林市，11，3）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,有如下结论：①c ＜1；②2a+b=0；③b 2＜4ac ；④若方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2，则正确的结论是（ ）A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④解：由抛物线与y 轴的交点位置得到：c ＞1，选项①错误；∵抛物线的对称轴为x=-ab 2 =1，∴2a+b=0，选项②正确； 由抛物线与x 轴有两个交点，得到b 2-4ac ＞0，即b 2＞4ac ，选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到ax 2+bx+c=0，∵方程的两根为x 1，x 2，且-a b 2 =1，及- ab =2， ∴x 1+x 2=-ab =2，选项④正确，综上，正确的结论有②④．故选C 8、已知二次函数y=ax 2+bx+c ，且a ＜0，a-b+c ＞0，则一定有（A ）A.有两个不相等的实根B.有两个相等的实根C.没有实根D.无法确定因为a<0所以抛物线开口向下因为a-b+c>0，可知x=-1时 ，函数值y>0，所以方程两个根分别位于-1两侧,显然这两个根不相等。