地大（北京）本科高数课后练习题第一章极限习题1.11.设x n=n1+1n (n=1,2,……)，证明limn→∞x n=1，并填下表2.用“ε-N”方法证明下列各题（1）limn→∞1n2=0（2）limn→∞3n+12n+1=32（3）limn→∞(−1)n sinnn=0（4）limn→∞0.999…9（有n个9）=03.若limn→∞x n=a，证明limn→∞│x n│=│a│；反之是否成立？4.若数列{x n}有界，且limn→∞y n=0，证明limn→∞x n y n=05.对于数列{x n}，若limn→∞x2n=a且limn→∞x2n+1=a，证明limn→∞x n=a9设limx→x0f(x)=A,limx→x0g(x)=B(1)若A>B，证明存在点x0的某个去心邻域，使得在此邻域内f(x)>g(x);(2)若在点x0的某个去心邻域内有f(x) ≧g(x)，证明A≧B习题1.21.根据函数极限的定义证明（1）limx→3(3x−1)=8（2）limx→2(5x+2)=12（3）limx→−2x2−4x+2=-4（4）limx→−121−4x22x+1=22.当x→2时，y=x2→4，问δ等于多少，使得当│x-2│<δ时，恒有│y-4│<0.0013.设f(x)=f(x)={x 2,x<1x+1,x≥1(1)作f(x)的图形(2)根据图形写出极限limx→1−f(x)与limx→1+f(x)(3)当x→1时，f(x)有极限吗？4.求下列函数的极限：（1）limx→1+x │x│(2) limx→0+xx2+│x│(3)limx→0−xx2+│x│5. 根据函数极限的定义证明（1）limx→∞x2x+1=12（2）limx→√x=06. 下列极限是否存在？为什么？（1）limx→1x−1│x−1│（2）limx→∞arctanx(3) limx→∞e−x(4) limx→∞(1+e−x)7. 如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，证明f(x)在点x0的某个去心邻域内有界。

8. 证明limx→∞f(x)=A的充要条件是limx→+∞f(x)=limx→−∞f(x)=A习题1.3 无穷小与无穷大1.根据无穷小与无穷大的定义证明：（1）limn→∞1x=0（2）limn→3x2−9x+3=0（3）limn→0xsin1x=0（4）limn→02x+1x=∞（5）limn→∞x2=∞2. 下列各题中，指出哪些是无穷小，哪些是无穷大？ （1）1+2x x 2 当 x →0时（2）x+1X 2−9 当 x →3时 （3）2-x -1 当 x →0时 （4）lgx 当 x →0+时 （5）sinx1+secx 当 x →0时 3. 求下列极限并说明理由 （1） lim n→∞2x+1x（2） limn→01−x 21−x4. 根据函数极限或无穷大的定义，填写下表5. 函数y=xcosx 在（-∞，∞﹚上是否有界？当x →+∞时，这个函数是否为无穷大？为什么？习题1.41. 求下列极限（1） limx→2x 2+5x−3 （2） lim x→−1x+1x 3（3） lim x→√3x 2−3x 2+1（4） lim x→1x 2−2x+1x 2−1 （5） limx→0(x+h)2−x 2h（6） limx→∞x 2+12x 2−x−1（7） limx→∞x 2+xx 3−3x+1（8） 因为lim x→126x 2−5x+18x 2−1=0，所以lim x→128x 2−16x 2−5x+1=∞ （9） lim x→1(11−x -11−x^3)（10） √x 3−1√x 2−1（11） lim x→∞q x ={0 （│q │<1)1 (q =1)不存在 (q =−1)∞ (│q │>1)（12） lim x→−∞q x={∞ （│q │<1)1 (q =1)不存在 (q =−1)0 (│q │>1)（13） lim n→∞(1n 2+2n 2+⋯+nn 2)（14） lim n→∞(11·2+12·3+⋯+1n·(n+1))（15） lim x→∞(−2)x +3x(−2)x+1+3x+1(16) lim n→∞(n+1)(n+2)(n+3)5n 22.求下列极限（1） lim x→∞（e −x +sinx x) (2) lim x→0xcos 1x(3) lim n→0πn sinnπ(4) limx→∞arctanxπx(5) lim x→∞e −x arctanx(6) limx→∞e −xarctanx3. 下列各题的做法是否正确？为什么？ （1）limx→9x 2−9x−9=lim x→9(x 2−9)lim x→9(x−9)=∞(2) lim x→1(1x−1−1x 2−1)=lim x→1(1x−1)−lim x→1(1x 2−1)=∞－∞=0(3) limx→∞cosx x=lim x→∞cosx lim x→∞1x =0(4) 因为lim x→∞e −x不存在，所以limx→∞e −xarctanx不存在习题1.51. 求下列极限 （1） lim x→0sinaxsinbx（2） lim x→01−cosxx sinx（3） lim x→0tanx−sinx x 3（4） lim x→02x−tanx sinx（5） limx→0sin (sinx)x（6） lim x→∞(1+2x )x（7） lim x→0(1+tanx)cosx（8） lim x→∞（x+ax−a ）x（9） lim x→−1(2+x)2x+1（10） limx→0ln (1+x)x（11）limx→0sin n x sin (x n)（12）limx→πsinx x−π（13）limx→0arcsinxx（14）limx→0arctanx sinx（15）limn→∞2n sin32n（16）limx→∞(x+1x)x+3（17）limx→0(1−2x)1sinx（18）limx→π2(1+cosx)3secx（19）limx→∞(x+2x2+1)x2+1（20）limx→∞(1+1x+1x2)x2.利用极限存在的准则证明：（1）limn→∞n·(1n2+π+1n2+2π+⋯+1n2+nπ)（2）数列√2、√2+√2、√2+√2+√2、……的极限存在，并求出该极限。

（3）limn→+∞√x2+1x+1=1习题1.6无穷小的比较1.证明：当x→0时，arcsinx~x，arctanx~x2.利用等价无穷小的性质，求下列极限（1）limx→0tan3x sin2x（2）limx→0sin2x arctanx（3）limx→0arcsinx n(sinx)m（4）limx→0tanx−sinxsin3x（5）limx→0(x+1)sinxarcsinx（6）limx→0sinxx3+3x3.当x→0时的极，试确定下列各阶无穷小对于x的阶数（1）x3+100x2（2）x+sinx （3）√tanx3（4）1-cos2x （5）√a+x2−√a(a>0) （6）√x23-√x习题1.7 函数的连续性与间断点1.研究下列函数的连续性，并画出函数图形（1）f(x)=xx（2）f(x)=（3）f(x)={x2 (│x│≤1) x (│x│>1)2.指出下列函数的间断点，并说明这些间断点的类型。

如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使之连续。

（1）f(x)=x−2x2−5x+6（2） f(x)=xtanx （3） f(x)=cos 21x（4） f(x)={x +1 (0≤x <1)1 (x =1)−x +3 (1<x ≤2) 3. 讨论函数f(x)=limn→∞1−x 2n1+x 2n x 的连续性，若有间断点，判别其类型。

4. 确定a,b 值，使得f(x)=x−b(x−a )(x−1)有无穷间断点x=0，有可去间断点x=1 习题1.81. 设f(x)是连续函数，证明│f(x) │也是连续的。

2. 设f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]上f(x)恒为正，证明1f(x)在[a,b]上亦连续。

3. 求下列极限：（1） lim x→0√x 2−2x +9（2） lim x→π2(cos2x)3 （3） lim x→0cos(π√1−2x4+3x )（4） lim x→π2ln(2cos2x) （5） lim x→π4√2−2cosxtan 2x （6） limx→asinx−sina x−a（7） lim x→b a x −a bx−b(a>0) （8） lim x→0ln (1+3x)x（9） lim x→0sinxx 2+x（10） lim x→−∞(x 3+2x −1)（11） limx→0ln (a+x )−lnax（12） lim√x−√2+√x−2√x 2−4（13） limx→+√x+√x+√x √x+1（14） lim x→0(a x +b x +c x 3)1x4. 设f(x)={sinaxx,x <0e , x =0(1−bx)1x,x >0，试确定a,b 的值，使f(x)在(-∞,+ ∞)内连续。

5. 设A=max{a 1,a 2,a m },a k >0(k=1,2,L,m)，证明lim x→∞√a 1n +a 2n +L +a m n n =A习题1.91. 证明方程sin x=x-1在区间[0, π]内至少有一个根。

2. 若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)<a,f(b)>b ，则在(a,b)至少有一点C ，使得f(c)=c3. 若f(x)在[a,b]上连续，x 1,x 2,L,x n 是[a,b]中的几个点，又t 1>0,t 2>0,L,t n >0，且t1+t2+L+tn=1,证明在[a,b]至少有一点ξ，使得 f(ξ)=t 1f(x 1)+t 2f(x 2)+L+t n f(x n )4. 若函数f(x)在（-∞，+∞）上连续，且lim x→+∞f(x)存在，证明f(x)在（-∞，+∞）上有界。

习题2.2【导数与微分】1. 求下列函数的导数 （1） y=ax 2+bx+c（2） y=lnx-2logx+3log 2x （3） y=x 2(2+√x )（4） f(u)=(u +1)2(u-1) （5） y=x 2cosx （6） p(x)=√x sinx （7） y=3a x - 2x（8） y=(√x -a)( √x -b) ( √x -c) （9） y=11+x+x 2（10） y=1−sint1+sint（11） y=ax+bcx+a (ad-bc ≠0)（12） y=secx tanx+3√x 3arctanx 2 求下列函数的导数 （1） y=√a 2−x 2 （2） y=√a 2+x 2（3） y=√1−x1+x 3（4） y=√1+ln 2x （5） y=√tan x2 （6） y=sin 2x3cot x 2（7） y=sin 2(2x −1) （8） y=cos 2(cos2x) （9） y=x 2sin 1x（10） y=√1+tan (x +1x )（11） y=√x +√x +√x +√x （12） y=2xlnx（13） y=e sin 3x （14） y=ln 3(x 2) （15） y=ln[ln(lnx)] （16） y=arc cos 1x （17） y=arc cos √1−3x （18） y=√1−x 2（19） y=[arc cos (1x )]2e −x （20） y=arc sin √1−x1+x （21） y=cos[arc cos √x ]（22） y=arcsinxarccosx（23） y=e arcsinx +arctan e x （24） y=（ab ）x（bx ）a（xa ）b（25） y=e −sin 21x（26） y=ln(arc cos2x) （27） y=ch(sh x) （28） y=th(lnx) （29） y=shx e chx （30） y=ln(chx)+12ch 2x3 求曲线方程y=x 2+5相切且通过点(1,2)的直线方程。