工程力学—材料力学
第十三章 应力状态与强度理论
F
q
m
x
x
m
x
Me
Me
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工程力学—材料力学 三、单元体特征
第十三章 应力状态与强度理论
单元体三个方向上的尺寸均无穷小
2 3
每个面上应力均匀分布
1
1
任意一对平行平面上的应力相等
3 2
单元体的应力状态可代表一点的应力状态
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13.6 广义胡克定律 13.7 强度理论 东北大学秦皇岛分校
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第十三章 应力状态与强度理论
§13.1 应力状态与强度理论
一、一点的应力状态 拉伸或压缩
扭转
cos2
2
sin
2
T
T
Al
B
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T
IP
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弯曲
q
A
l
第十三章 应力状态与强度理论
My
第十三章 应力状态与强度理论
四、应力状态分类
2 3
1
1）空间（三向）应力状态
三个主应力1 、2 、3 均不等于零
3 2 2
2）平面（二向）应力状态
三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零 1
1 1
2
3）单向应力状态
1
三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零
1
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工程力学—材料力学 三向应力状态的实例 滚珠轴承
R
( x
2
y
)2
2 xy
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工程力学—材料力学 二、应力圆的作图方法
第十三章 应力状态与强度理论
应力圆法——应力分析的图解法
y
y
α
x
τα
xy x
o
① 建 - 坐标系,根据已知应力选取适当比例尺 东北大学秦皇岛分校
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y
y
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α
x
D
τα
xy x
d e
x
a
y
y yx c
x xy
f b
由力的平衡
第十三章 应力状态与强度理论
n
e
e
x
x
xy
α
α n
dA
α dAcos α
α
ayx y f t
a
f dAsin
Fn 0 dA ( xydAcos ) sin
( xdA cos )cos ( yxdA sin ) cos ( ydA sin ) sin 0
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
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第十三章 应力状态与强度理论
把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得
(
x
y
2
)2
2
( x
y
2
)2
2 xy
上式为以、 为变量的圆方程。此圆称为应力圆或莫尔圆
以 为横坐标轴， 为纵坐标系轴
圆心的坐标
C(
x
y
,0)
பைடு நூலகம்
2
圆的半径
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第十三章 应力状态与强度理论
主平面：切应力为零的面 主应力：主平面上的正应力
A
通过受理构件的任意点必定存在 三个相互 垂直的主平面,因而没一点都有三个主应力 分别记为 1 ,2 , 3 且规定按代数
值大小的顺序来排列, 即 1 2 3
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第十三章 应力状态与强度理论
Ft 0 dA ( xydAcos ) cos
( xdAcos )sin ( ydAsin ) cos ( yxdAsin ) sin 0
化简以上两个平衡方程最后得
x cos2 y sin2 xy 2 sin cos
F
第十三章 应力状态与强度理论
3
A
2
1
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§13.2 平面应力状态分析——解析法
y
y yx xy
x
x
z
y yx
x xy
单元体的六个侧面上仅在四个侧面上作用有应力，且其作用 线均平行于单元体的不受力表面，称为平面应力状态。 单向受力与纯切应力状态均为平面应力状态的特殊情况。 东北大学秦皇岛分校
m
60MPa
100MPa x
60o
α
m
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§13.3 平面一般应力状态分析——应力圆法
一、应力圆
斜截面应力计算公式为
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
改写为
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
Iz
重要结论 (1) 杆件内不同位置的点具有不同的应力 (2) 同一点不同方位面上的应力也是各不相同
一点的应力状态 过一点不同方位面上应力的总和
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二、应力状态的研究方法
取单元体法
F
A
F
A
A
F
A
σa
A
τa τβ
σβ
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四个面上既有正应力又有切应力 所取方位不同，单元体各面上应力不同
x
2
y
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
( x y )sin cos xy (cos2 sin2 )
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
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第十三章 应力状态与强度理论
不难看出 90 x y
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
注意：
1）应力均为正值，并规定α自x轴开始逆时针转动为正， 反之为负。
o
B
C
A
② 量取 OA= x
AD = xy 得 D 点
y
D′
x
③量取 OB= y BD′= yx 得 D′ 点
④连接 DD′两点的直线与 轴相交于 C 点
⑤以C为圆心, CD 为半径作圆,即得相应于该单元体的应力圆 东北大学秦皇岛分校
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第十三章 应力状态与强度理论
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第十三章 应力状态与强度理论
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第十三章 应力状态与强度理论
目录
13.1 应力状态概念及其表示方法
13.2 平面应力状态应力分析——解析法
13.3 平面一般应力状态分析——应力圆法
13.4 极值应力与主应力
13.5 空间应力状态的主应力与最大切应力
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第十三章 应力状态与强度理论
1）斜截面上的应力
y
y
y
y yx
yx xy x
d e
x
c
x
x
x
xy
f
z
a
b
已知：垂直于坐标轴x的截面上，应力为 、x 。x y 垂直于坐标轴y的截面上，应力为 、y 。y x
研究与坐标轴z平行的任一横截面ef上的应力 东北大学秦皇岛分校
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2）式中τxy和τyx均为垂直于x轴的截面上的x面上的切应力，
且按切应力互等定理，二者相等。
3）单元体无限小，故aef部分可视为汇交力系平衡。
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第十三章 应力状态与强度理论
【例13.1】 已知应力状态如图所示。试计算截面m-m上的正应力 σm与切应力τm。
y
50MPa