高二数学双曲线知识点及例题一 知识点1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。

3. 双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的：x a y ba b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。

注：c 2＝a 2＋b 2 4. 双曲线的几何性质：（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：11002222x x a y ba b -=>>()<3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。

<>=>41离心率：e cae () e 越大，双曲线的开口就越开阔。

<>±5渐近线：y b ax = <>=±62准线方程：x a c5．若双曲线的渐近线方程为：x ab y ±= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：)0(2222≠=-λλby a x【典型例题】例1. 选择题。

121122.若方程表示双曲线，则的取值范围是（）x m y m m +-+=A mB m m ..-<<-<->-2121或C m mD m R ..≠-≠-∈21且2022.ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（）A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件322.sin sin cos 设是第二象限角，方程表示的曲线是（）ααααx y -=A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线416913221212.双曲线上有一点，、是双曲线的焦点，且，x y P F F F PF -=∠=π 则△F 1PF 2的面积为（ ） A B C D (9)633393例2. ()已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945-⎛⎝ ⎫⎭⎪例3. 已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且 sin sin sin B C A -=35，求顶点A 的轨迹方程。

例4. （1）求与椭圆x y 2294152+=有公共焦点，并且离心率为的双曲线的标准方程。

（2）求与双曲线x y M 22941921-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪有共同渐近线，且经过点，的双曲线的标准方程。

例5. 已知双曲线方程x y 22421-= （1）过点M （1，1）的直线交双曲线于A 、B 两点，若M 为AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）是否存在直线l ，使点N 112，⎛⎝ ⎫⎭⎪为直线l 被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

例六：1. 若x k y k 22211-+-=表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是（ ） A. ()1，+∞B. （0，2）C. ()2，+∞D. （1，2）2. 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（ ） A. 2或233B. 2C.233D. 33. 圆C 1：()x y ++=3122和圆C 2：()x y -+=3922，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

[例题答案]例一：解：1. 把所给方程与双曲线的标准方程对照 易知：2+m 与m+1应同号即可。

∴+>+>⎧⎨⎩+<+<⎧⎨⎩20102010m m m m 或 ∴>->-⎧⎨⎩<-<-⎧⎨⎩m m m m 2121或 ∴>-<-m m 12或2022. 若表示双曲线，则一定有；ax by c ab +=<若当时，表示双曲线当时，表示直线ab c c <≠=⎧⎨⎩000∴选A300.sin cos ααα是第二象限角，，∴>< ∴<sin cos αα0 原方程化为：x y 221⋅-=sin cos sin cos αααα易知：x 2的系数为负，y 2的系数为正 ∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线 4. 由双曲线方程知：a ＝4，b ＝3，c ＝5设，，则，PF m PF n m n F F c 12128210==-=== 由余弦定理：(223222c m n mn )cos =+-⋅π()10022=-+-m n mn mn ∴=mn 36∴=⋅︒=⋅⋅=S mn F PF ∆12126012363293sin 、 例二：解：设所求双曲线方程为Ax 2－By 2＝1，（AB>0）依题意：9321811625119116A B A B A B -=-=⎧⎨⎪⎩⎪⇔=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ ∴-=所求双曲线方程为：y x 221691 例三：分析：在△ABC 中由正弦定理可把sin sin sin B C A -=35转化为b c a -=35，结合∴顶点A 的轨迹是以B 、C 为两个焦点，实轴长为6的双曲线的左支 又∵c ＝5，a ＝3，∴b ＝4∴-=<-顶点的轨迹方程为A x y x 2291613() 注：（1）利用正弦定理可以实现边与角的转换，这是求轨迹方程的关键； （2）对于满足曲线定义的，可以直接写出轨迹方程；（3）求轨迹要做到不重不漏，应删除不满足条件的点。

例四：解：（1）由椭圆方程知： a b c ===325，， ()()∴-焦点，，，F F 125050∴-=设双曲线的标准方程为：x a y b 2122121由已知条件得：c ca c ab a b 1111212121155221===+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒==⎧⎨⎩ ∴-=所求双曲线的标准方程为：x y 2241 （2）解法一： M 921，在第四象限-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 又双曲线的渐近线为 x y y x 2294123-==± 将点的横坐标代入M x y x ==-=-92233 ∴双曲线的焦点必在x 轴上∴-=设双曲线方程为：x a y b22221()∴=⎛⎝ ⎫⎭⎪--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒==⎧⎨⎩b a a ba b 239211188222222∴-=所求双曲线标准方程为：x y 221881解法二： 所求双曲线与已知双曲线有共同的渐近线y x =±23∴-=≠设所求双曲线方程为：x y 22940λλ() 又所求双曲线过点， M 921-⎛⎝ ⎫⎭⎪ ()∴⎛⎝ ⎫⎭⎪--=∴=92914222λλ， ∴-=所求双曲线方程为：x y 221881 例五：解：（1）设AB 的方程为：y －1＝k （x －1）y kx k x y y =+--=⎧⎨⎪⎩⎪142122，消去()()124424602222-+--+-=k x k k x k k()()设，，，，则，A x y B x y M x x y y 1122121222++⎛⎝ ⎫⎭⎪∴+=--+=--=x x k k k x x k k k 122212224412222121，即 ∴=k 12()()()又 ∆=----+-444122462222k k k k k 将代入k =>120∆ ∴-+=所求直线的方程为：AB x y 210 （1）另解法：()()设，，，，则，A x y B x y M x x y y 1122121222++⎛⎝ ⎫⎭⎪A B x y 、在双曲线上22421-= ∴-=<>-=<>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪x y x y 1212222242114212()()()()<>-<>+--+-=122012121212：x x x x y y y y 又， x x y y 121222+=+= ()()∴-=-241212x x y y当x 1＝x 2时，直线AB 与双曲线没有交点。

∴≠--=∴=x x y y x x k AB 1212121212，那么，∴-+=直线的方程为：AB x y 210 双曲线的一条渐近线为y x =22又，直线与双曲线有两个交点1222<∴ ∴-+=x y AB 210即为的方程（2）假设过N 112，⎛⎝ ⎫⎭⎪的直线l 交双曲线于C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）两点则x y x y 3232424242134214-=<>-=<>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()()<>-<>+---+=342034343434：x x x x y y y y 依题意，又，x x x x y y 34343421≠+=+= ∴--==y y x x k CD 34341双曲线的一条渐近线为y x =22∴>∴122，直线与双曲线没有公共点l ∴⎛⎝ ⎫⎭⎪使点，为弦的中点的直线不存在N 112例六： 1. 答案：A 2. 答案：A3. 分析：解：件知：MC MC BC MB MA MBMC AC MC BC MC MC BC AC 12211222121312--=∴=∴-=-∴-=-=-=即动点M 与两定点C 1、C 2的距离的差是2v .. . ... . . 资 料. . 根据双曲线定义，动点M 的轨迹是双曲线左支（点M 与C 2的距离大于与C 1的距离）这里a c b ==∴=1382，，设M （x ，y ）∴轨迹方程为x y x 22810-=<()。