路漫漫其悠远
具体内容
• 第一章 绪论 • 第二章 基本概念和理论基础 • 第三章 线性规划 • 第四章 最优化搜索算法结构与一维搜索 • 第五章 无约束最优化方法 • 第六章 约束最优化方法
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教材及主要参考书目
《最优化计算方法》陈开周编，西电出版社 《最优化理论与方法》袁亚湘等编，科学出版社 《最优化理论与算法》陈宝林编，清华大学出版社 《数学规划讲义》马仲蓄等编，人大出版社 《实用线性规划》D.M希梅尔布劳著 《无约束最优化计算方法》邓乃杨等编
可能的方案 追求的目标
最优化就是从所有可能的方 案中选择最合理的一种以达 到最优目标的学科
后者是前者的函数. 如果第一要素与时间无关就称为静态最优化问题，否则 称为动态最优化问题。
本课程主要讨论静态最优化问题。
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历史与现状
• 公元前500年，古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方 形长与宽的最佳比例为1.618,称为黄金分割比。其倒数 至今在优选法中仍得到广泛应用。
由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把 决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是 用约束的数学函数形式来表示的。 目标函数
其作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效 率，即系统追求的目标。
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优化模型的分类
根据问题的不同特点分类 无约束最优化问题 约束最优化问题
• 等式约束优化问题
性的。
根据函数性质分类 动态与静态 随机与确定 单目标与多目标
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优化模型的分类
解法的分类 解析方法:利用函数的分析性质去构造迭代公式，使之收敛
到极值点。 直接方法：按一定的数学原理，用尽量少的计算量，直接比
较函数值的大小。
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最优化方法解决问题的工作步骤
1) 提出问题：目标、约束、决策变量、参数 2) 建立模型：变量、参数、目标之间的关系表示 3) 模型求解：数学方法及其他方法 4) 解的检验：制定检验准则、讨论与现实的一致性 5) 灵敏性分析：参数扰动对解的影响情况 6) 解的实施：回到实践中 7) 后评估：考察问题是否得到完满解决
具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练的技 巧。
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最优化问题的数学模型与分类
数学模型的建立 在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模
型进行必要的数学简化以便于分析、计算。 一般的模型简化工作包括以下几类： （1）将离散变量转化为连续变量。 （2）将非线性函数线性化。 （3）删除一些非主要约束条件。
划的基础工作；
• 近几十年来，最优化理论和算法发展十分迅速，应用也越 来越广泛，已成为一个相当庞大的研究领域；
• 狭义上主要指非线性规划问题的相关内容； • 广义上则涵盖：线性规划、非线性规划、动态规划、整数
规划、几何规划、多目标规划、随机规划甚至还包括变分 、最优控制等等。
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最优化的研究一般被分成两个方面： 由实际生产或科技问题形成最优化的数学模型. 对所形成的最优化数学模型进行数学加工和求解。 对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资料 第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型，目前很少有系 统的资料，而这一工作在应用最优化技术解决实际问题时是十分 关键的。
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什么是最优化
最优化是一个重要的数学分支，是一门应用广泛、实 用性很强的学科。简单地说,最优化就是从所有可能的方 案中选择最合理的一种以达到最优目标的学科。
达到最优目标的方案称为最优方案。 搜索最优方案的方法称为最优化方法。 这种方法的数学理论称为最优化理论。
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最优化问题的两大要素
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• 最优化技术与数学模型所包括的知识点很多，选取了一些 实用的方法。
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课程简介
从工程应用的角度出发，注重工程优化的基本思想和 方法的阐述。
内容主要包括: 线性规划、非线性规划、约束优化、无约束优化等， 并对如何建立数学模型、如何选择优化方法和提高优 化效率作了适当的介绍。
课程任务
讲授工程优化的基本理论和方法，要求通过本课程的学习 ，具有应用工程优化方法解决实际问题的技能，并为以后的 学习和工作打好基础。
• 不等式约束优化问题
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优化模型的分类
根据问题的不同特点分类 一般的约束优化问题 标准形式
1） 2）
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优化模型的分类
根据函数类型分类
线性规划：目标函数、约束条件都是线性的 非线性规划：目标函数、约束条件中的函数不全是线性
的。 二次规划：目标函数为二次函数，约束条件中的函数为线
(1) 问题(P)的可行集R为闭集。 (2) 问题(P)的最优解集 为闭集。 作业
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复习下列知识
多元函数及其导数；多元函数的极值； 线性代数的有关概念：向量与矩阵的运算、向量的线
性相关和线性无关，矩阵的秩，正定、半正定矩阵， 线性空间等； 集合的有关概念：开集、闭集，集合运算，内点、边 界点等。
模型： 变量—是否从i第个城市到第j个城市 约束—每个城市只能到达一次、离开一次
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最优化问题举例
目标—总费用最小
线性函数又称一次函数 ，一般表达式为 y=cTx+b
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x=0或1等价与x(x-1)=0, 显然不是线性函数
最优化问题举例
例4：靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流 量为每天500万m3，在两个工厂之间有一条流量为200万 m3的支流。两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水 分别为2万m3和1.4万m3。从第一化工厂排出的工业污水流 到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。环保要求河流 中工业污水含量不能大于0.2%。两化工厂处理工业污水 的成本分别为1000元/万m3和800元/万m3。现在要问在满
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因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何 由实际问题形成最优化的数学模型。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
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最优化问题的数学模型与分类
数学模型的建立
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描 述所研究的系统。
过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情 况；而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。
最优化计算方法第1章
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2020/7/16
为什么要学习工程优化
• 最优化技术与数学模型是工程类研究生应掌握的数学基础 课，是从事相应学科理论研究的前提。
• 工程中许多实际问题都可以抽象为数学建模问题，数学模 型包括最优化模型。 了解最优化技术的基本原理、相关算法是分析问题、解决 问题的一种技能，同时也是写出高水平学术论文的关键素 材。
问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
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最优化问题举例
即： 问题追求的目标是圆柱体表面积最小，即
min 则得原问题的数学模型：
利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题 分别对r, h,λ求偏导数,并令其等于零.有:
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最优化问题举例
所以，圆柱体的表面积为：
• 在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法 解决最优化问题。阿基米德证明：给定周长，圆所包围 的面积为最大。这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的 原因。但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪 以后。
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历史与现状
• 17 世纪，Newton & Leibniz 提出了函数的极值问题；后 来出现了Lagrange乘数法；
• 1847年，Cauchy研究了函数值沿什么方向下降最快的问 题，提出了最速下降法；
• 1939年，苏联数学家提出解决下料问题和运输问题这两种 线性规划问题的求解方法；
• 1947年，Dantzig 提出解线性规划问题的单纯形法，被称 为“20世纪最伟大的创作之一”；
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历史与现状
• 1948年，Fritz John 提出最优性条件； • 1951年，Kuhn和Tucher 提出最优性条件，完成了非线性规
,使得 称 为问
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最优解与极值点
严格局部 极小点
严格全局极小点
局部极小点
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最优解与极值点
极小点
严格全局极小点 全局极小点
非严格全局极小点
严格局部极小点 局部极小点
非严格局部极小点
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最优解与极值点
由以上定义，可得到两个简单定理： 定理1：问题(P)的任意全局极小点必为局部极小点。 定理2：若目标f(x)和 为定义域上的连续函数，则：
不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
平方和作为这种“偏差”的度量. 即
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好， 从而我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
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最优化问题举例
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最优化问题举例
例3：有一旅行团从 出发要遍游城市 ，已知从 到 的旅费为 ，问应如何安排行程使 总费用最小？
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本课程授课方式与考核
讲授为主，结合习题作业 作业以章为单位，本章结束后交作业，部分作业会在课堂上讲评
学科总成绩
平时成绩 （<=20％）
期末成绩 （>=80％）
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课堂考勤 （50％）
平时作业 （50％）
第1章 绪论
• 什么是最优化 • 最优化问题的数学模型与分类 • 最优化问题举例
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最优化问题举例
例2:多参数曲线拟合问题 已知两个物理量x和y之间的依赖关系为:
其中 测得m个实验点:
为待定参数, 为确定这些参数, 对x,y
试将确定参数的问题表示成最优化问题。