由 (C LC S *)ds f(1fs)dC L 当fs=0时，CS*=k0C0
凝固过程中固－液界面上的成分为 （Scheil公式，或非平衡结晶时的杠杆定律）：
C S K 0 C 0(1 fS)(K 0 1 )
CL C0fL(K01) 注：凝固临近结束时（fs1），该表达式不适用。
固相无扩散、液相有限扩散的溶质再分配
凝固过程分为三个阶段：
最初过渡区； 稳定态区（q1=q2）； 最后过渡区
凝固稳定状态阶段富集层溶质分布规律（指数衰减曲线）：
CL
C0[11 KK 00
Rx e DL ]
特征距离
X´
当 x D L 时，
R
｛CL(x’)－C0｝降到:
C0
(
1 K0
1) 1 e
称为溶质富集层的“特征距离”。
公式推导： 稳定生长阶段（q1=q2） ：根据
特征方程式的通解为：
C(x)L=A exp(-Rx/DL)+B
CL:溶质在液相中的浓度；DL: 扩散系数； R=dx/dt: 固液界面生长速度
2. 固液界面处（x=0）的溶质平衡
R(CL*-CS*)=-DL(dCL/dx)x=0 界面排出溶质量＝扩散走的溶质量，则：
(dCL/dx)x=0＝ -R(CL*-CS*)/DL＝－ RCL*/DL（1-k) 3. 远离固液界面(x∞)的液体成分
一般凝固条件下，热扩散系数5×10-2cm2/s 溶质在液相中的扩散系数： 5×10-5cm2/s 溶质在固相中的扩散系数： 5×10-8cm2/s 则 实际结晶过程都是非平衡结晶。
固相无扩散、液相充分混合时的溶质再分配
接着凝固时由于固相中无
扩散，成分沿斜线由K0C0
逐渐上升。
公式推导：
晶核形成凝固结束整个 结晶过程，固液两相内部 不断进行着的溶质元素的 重新分布的过程。 即：CS、CL变化
平衡分配系数与界面平衡假设
平衡分配系数：k0：在给定的温度T*下，平衡固相溶
质浓度与液相溶质浓度之比：
k0
C
* S
C
* L
界面平衡假设：近似地认为，在传热、传质和界面反 应三个基本过程中，单相合金的晶体生长仅取决于热 得传输和质的传递，而原子通过界面的阻力则小到可 以忽略不计。界面处固液两相始终处于局部平衡状态。
-dJ/dx= （dmx-dmx+dx）/[(Adx)dt]
-dJ/dx =dC/dt
（2） Jx=-DL（dCL/dx） 由（1）（2）得
dCL/dt=DL[d(dCL/dx)]/dx=DLd2CL/dx2
“稳定态定向凝固”溶质分配特征方程式 条件： 1）扩散源稳定（相变时溶质的析出速度与扩
散速度处于动平衡）； 2）扩散源的运动速度R与溶质的析出速度也
得：稳定生长阶段界面前方L相中的溶质浓度分布 规律（Tiller）
另外，最初过渡区的长度取决于K0、R、DL的值， K0越大、R越大或DL越小，则最初过渡区越短；最后
过渡区长度比最初过渡区的要小得多，与溶质富集层
的“特征距离”的数量级相同。
固相无扩散、液相存在部分混合时的溶质再分配
在部分混合情况下，固-液界面处的液相中存在一扩 散边界层，在边界层内只靠扩散传质（静止无对流）： 在边界层以外的液相因有对流作用成分保持均一。
4.2 单相合金的凝固
固-液界面前沿的 局部温度梯度
T(再分配
➢ 溶质再分配现象 ➢ 平衡分配系数与界面平衡假设 ➢ 平衡凝固时的溶质再分配 ➢ 液相充分混合均匀时的溶质再分配 ➢ 液相只有有限扩散时的溶质再分配 ➢ 液相中部分混合（有对流作用）
溶质再分配现象
金属凝固原理-第四章-(2)
基本概念
1）稳态扩散 扩散系统中，任一体积元在任一时刻、流入的物 质量与流出的物质量相等，即任一点的浓度不随 时间变化。（∂C/ ∂t=0）
2）非稳态扩散 任一点的浓度随时间而变化（∂C/ ∂t≠0）
2. 扩散第二定律
对于一维扩散的浓度分布， x=0 ，扩散源位置；C=Cmax； x∞，C=C0，平均浓度 当xx+dx；扩散通量JxJx+dx，则 （1） Jx-Jx+dx=（dmx-dmx+dx）/(Adt)
液液 x΄相相液充部相分成分大分混时：合边达界层稳宽态度时δCN *内s任及意C一*L点值：
R X
CCLL CL
C0 CK00
C 10e DL 1(11K0)eeDRDR LLNN
当液相不是充分大 时：
CS
CCL0
CL
C CKL L0
K0 R X (1111K0e)eeD D RD R LL NN
k0=Cs*/CL* 1）k0<1: 溶质元素从S/L界面扩散L；
结k0 晶—终—了S固相相线成、分L相相线差张—开—程成度分—偏—析开 始结晶与 2）k0>1：溶质元素从L越过S/L界面扩散S，使得
CS>CL；
3. 液相线斜率mL mL＝dT/dC=(TL-Tm)/CL TL=Tm+ mL CL
固－液界面前方熔体的过冷状态
溶质富集引起界面前方熔体凝固温度的变化 TL＝T0＋mCL
4. 液相温度梯度GL GL=dT/dx GL<0，负温度梯度；Ti>TL GL>0，正温度梯度；Ti<TL
4.1.3 稳定态（溶质传输）过程的一般 性质
1. 稳定态定向凝固特征微分方程的通解
对于动态的稳定态扩散（L/S界面处无溶 质元素聚积，结晶速度=溶质自界面远 方扩散走的速度，动态平衡），溶质分配
为动态平衡。 DLd2CL/dx2＋R（dCL/dx）=0
4.1.2 凝固传质过程的有关物理量
1. 扩散系数D
表示物质在介质中的传输能力。
介质阻力 ——D——传输能力 （1）充分扩散：介质阻力0，D ∞
（凝固时液体激烈搅拌）
（2）有限扩散：介质阻力≠0，D=Di （一般溶质扩散）
2. 溶质平衡分配系数k0
单相合金结晶过程中的溶质再分配
平衡凝固条件下的溶质再分配
凝固终了，固相成分均匀: CS = C0
单相合金结晶的每一阶段，S、L两相都能充分传 质而使成分完全均匀，时时都能实现两相整体上 的平衡。服从平衡相图规律
非平衡凝固时的溶质再分配
非平衡结晶 在单相合金的结晶过程中，S、L两相的均匀化来 不及通过传质而充分进行，则除界面处能处于局 部平衡状态外，两相的平均成分必偏离平衡图所 确定的数值。