第六章 二次型将下列1-3题的二次型表示成矩阵形式。

1.22(,)467f x y x xy y =-- 解：()2243(,)46737x f x y x xy y xy y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2.222(,,)346f x y z x xy y yz z =+--+解：()222320(,,)346213031x f x y z x xy y yz z xyz y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+--+=-- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭3.22212341341214232434(,,,)242264f x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++--+解：()12123412343412012013(,,,)01121322x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭4.设n 元二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵为n 阶三对角对称矩阵1111111111A -⎛⎫⎪-- ⎪⎪=- ⎪- ⎪⎪-⎝⎭， 试写出二次型（二次齐次多项式）的表示式。

解：22221211222311(,,,)222n n n n n f x x x x x x x x x x x x x --=-+-++-+。

5.若二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =对一切12(,,,)T n x x x x =恒有12(,,,)0n f x x x =，证明A 为n 阶零矩阵。

证明：取(0,,1,,0)T i x =(其中第i 个分量为1，其余分量全为零)，则有11()0,1,2,,nnTi i i ij i j ii i j f x x Ax a x x a i n =======∑∑。

再取(0,,1,,1,,0)T ij x =(其中第i 和第j 个分量为1，其余分量全为零)，则有()20,,1,2,,T ij ij ij ij f x x Ax a i j n ====。

所以，A 的2n 个元素全为0，即A 为n 阶零矩阵。

6.设,A B 均为n 阶对称矩阵，且对一切x 有TTx Ax x Bx =，则A B =。

证明：由12(,,,)()T n f x x x x A B x =-，对一切12(,,,)T n x x x x =恒有()0f x =。

利用上题结果得0A B -=。

7.设,AB C D ，且它们都是n 阶实对称矩阵，下列结论成立吗？(1) )()A C B D ++(； (2) A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：(1)不成立；如1000,,,0111A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，此时，A C +与B D +不合同。

(2)成立。

由1122,T TC AC B C CCD ==(其中12,C C 为可逆矩阵)，得11112222TT TC C A O B O C AC O C C O C OD OC CC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 其中12C C ⎛⎫⎪⎝⎭仍然可逆，所以结论成立。

8.用正交变换x Qy =，将下列二次型化为标准形，并求正交矩阵Q ：(1) 222123232334f x x x x x =+++解：二次型对应的矩阵为200032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的三个特征值为1231,2,5λλλ===。

由()0E A x -=，求得对应11λ=的特征向量为1011ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭由(2)0E A x -=，求得对应22λ=的特征向量为2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由(5)0E A x -=，求得对应35λ=的特征向量为3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因123,,ξξξ是分别属于三个不同特征值的特征向量，故正交。

单位化，1011η⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，2100η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3011η⎛⎫⎪=⎪⎪⎭令()12301000Q ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪ == ⎝，有1125TQ AQ Q AQ -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭。

(2) 22221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++---解：二次型对应的矩阵为1101111001111011A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭由[(1]0E A x +-=，求得对应1+的特征向量为1211,1001ξξ-⎛⎫⎛ - ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正交化，得12120,101ηη⎛- -⎛⎫ ⎪ ⎪ ==⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭再单位化，得1211011,12210p p --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭由[(1]0E A x --=，求得对应13411,1001ξξ-⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化，341111,221001p p -⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()123411110121110001Q p p p p ⎛--- - ⎪==⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则11111T Q AQ Q AQ -⎛⎫⎪+ ⎪== ⎪- ⎪⎝。

9.设420002100000500000460061A -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，求正交矩阵Q ，使得T Q AQ 为对角矩阵。

解：利用7(2)分块矩阵合同的结论，令12A A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，其中 1024246,(5),2161A A A --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。

对14221A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，存在可逆矩阵11221P ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，使得1111105P A P -⎛⎫==Λ ⎪⎝⎭；对24661A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，存在可逆矩阵22332P ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，使得1222258P A P -⎛⎫==Λ ⎪-⎝⎭。

不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化。

取12,Q Q⎫⎫⎪⎪⎪⎪==，令1211QQQ⎫⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎝，则有5558TQ AQ⎛⎫⎪⎪⎪=Λ=⎪⎪⎪-⎝⎭。

10.用配方法将下列二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换：(1) 21122343x x x x x+-解：212311223(,,)43f x x x x x x x x=+-令112223332,3,2,y x xy x xy x=+⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩则11232233323,3,2,x y y yx y yx y=-+⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩这样，二次型212311223(,,)43f x x x x x x x x=+-化为标准形222123123(,,)49f x x x y y y=-+，所用的坐标变换为x Cy=，其中1233012001C-⎛⎫⎪⎪=-⎪⎪⎝⎭。

(2)1213233x x x x x x+-解：因为二次型中没有平方项，无法配方，所以先做一个坐标变换，使其出现平方项。

根据12x x ，利用平方差公式，令11221233,,,x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩则令11322333,2,,z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩则11322333,2,,y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩这样，二次型123121323(,,)3f x x x x x x x x x =+-化为标准形222123123(,,)3f x x x z z z =-+，所用的变换为1x C y =和2y C z =，即x Cz =，其中1110110001C ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，2101012001C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12113111001C C C ⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭。

(3) 222123122331254484x x x x x x x x x +++--解： 222123123122331(,,)254484f x x x x x x x x x x x x =+++--令 112322333,2,3,y x x x y x x y x =+-⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩则 1123223331,32,3,x y y y x y y x y ⎧=-+⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩这样，二次型222123123122331(,,)254484f x x x x x x x x x x x x =+++--转化为标准形2221231232(,,)233f x x x y y y =++，所用的变换为x Cy =，其中11132013001C ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

11.用初等变换法将下列二次型化为标准形，并求相应的坐标变换。

(1) 122331x x x x x x ++解：()1123122331123231102211(,,),,02211022x f x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，则初等变换可以写成于是，做坐标变换x Cy =，其中11121112001C ⎛⎫-- ⎪⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则二次型123(,,)f x x x 化为标准形 2221231231(,,)4T f x x x y y y y y =Λ=--。

(2) 2221231213232242x x x x x x x x x -++++解：()122212312312132312323112(,,)2242,,121211x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-++++=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则初等变换可以写成于是，做坐标变换x Cy =，其中51131013001C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则二次型123(,,)f x x x 化为标准形2221231238(,,)33T f x x x y y y y y =Λ=--。

(3) 2222123412132434546448x x x x x x x x x x x x ++-+---解：2222123123412132434(,,)546448f x x x x x x x x x x x x x x x =++-+---()1212343413203502,,,20440241x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 则初等变换可以写成[2][1]3[3][1]232[2][1]313201020350204622044264402410241100013000100010000100010********A I -⨯+⨯⨯⨯-⨯--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪---- ⎪⎪------⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−−−−→ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②-①③+①[3][1]21[2]21[3][2]3321[3[2]21004620604024113200100001000011000013103040141312021000200100001+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎪--- ⎪⎪−−−−→⎪- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭②③+②][2]3[4][4][2][4][2]1000010100970171351022150022001000011000010000970070353122215102220010001+⨯--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎪--- ⎪⎪ ⎪−−−−→ ⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪--⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭④-②7[3]9797[4][3]9100001000090490009.39412291513022970019001C +⨯⨯+⨯⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪Λ⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→= ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭④+③于是，做坐标变换x Cy =，其中394122915130229700190001C ⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则二次型123(,,)f x x x 化为标准形22221234123449(,,,)99T f x x x x y y y y y y =Λ=-+-。