-2.5
-6 -3
-2
-1
0 位移
1
2
3
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常微分方程数值解
三、 刚性问题举例
问题见书中【例12.2-2】， 【例12.2-3】。下图是【例12.2-2】不同 求解器得到解的图像对比。
子 函 数 形 式 /ode23 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 子 函 数 形 式 /ode15s 匿 名 函 数 形 式 /ode15s 100 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
三、 利用fzero/fsolve函数
问题见书中【例12.3-2】， 【例12.3-3】， 【例12.3-4】 。下图是 【例12.3-2】结果图像。
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
t
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ode113 非刚性
低到高
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二、初值问题求解函数
ode15s 刚性 低到中 基于数值差分公式(后向差分公式，BDFs 也叫Gear方法)，因此效率不是很高。同 ode113一样，ode15s也是一个多步计算器。 当ode45求解失败，或者非常慢，并且怀 疑问题是刚性的，或者求解微分代数问题 时可以考虑用ode15s 低 基于修正的二阶Rosenbrock公式。由于是 单步解算器，当精度要求不高时，它效率 可能会高于ode15s。它可以解决一些 ode15s求解起来效率不太高的刚性问题。 ode23t 适度刚性 低 低 ode23t可以用来求解微分代数方程。 当方程是刚性的，并且求解要求精度不高 时可以使用。
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常微分方程（组） 数值求解
吴鹏（rocwoods）
rocwoods@
MATLAB从零到进阶
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常微分方程数值解
主要内容
数值求解常微分方程（组）函数概述 非刚性/刚性常微分方程问题求解 隐式微分方程（组）求解 微分代数方程(DAE)与延迟微分方程(DDE) 求解 边值问题求解
如果质量矩阵奇异的话，(1)称为微分代数方程组（differential algebraic equations, DAEs.），可以利用求解刚性微分方程的函数如ode15s,ode23s 等来求解，从输入形式上看，求解DAEs和求解普通的ODE很类似，主 要区别是需要给微分方程求解器指定质量矩阵。
0
5
10
15
20
0
5
10
15
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常微分方程数值解
第三节 隐式微分方程（组）求解
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一、 概述
一些 微分方程组在初始给出的时候是不容易显示的 表示成上面提到的标准形式的。这时候就需要想办法表 示成上述的形式。一般来说有三种思路，一种是利用 solve函数符号求解出高阶微分的显式表达式，一种是利 用fzero/fsolve函数求解状态变量的微分值，还有一种是 利用MATLAB自带的ode15i函数 。
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第一节数值求解常微分方程（组） 函数概述
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常微分方程数值解
一、 概述
第9章介绍了符号求解各类型的微分方程组，但是 能够求得解析解的微分方程往往只是出现在大学课 堂上，在实际应用中，绝大多数微分方程（组）无 法求得解析解。这就需要利用数值方法求解。 MATLAB以数值计算见长，提供了一系列数值求解 微分方程的函数。 这些函数可以求解非刚性问题，刚性问题，隐式 微分方程，微分代数方程等初值问题，也可以求解 延迟微分方程，以及边值问题等。
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常微分方程数值解
二、利用solve函数
问题见书中【例12.3-1】，下图是求解出的结果曲线
3.5
3
2.5
y 2 y
1
2
(t) (t)
1.5
1
0.5 0 5 10 15 20 25 30
t
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常微分方程数值解
一、 微分代数方程（DAE）举例
【例12.4-2】的结果图：
方 法 1计 算 结 果 图 6 6 方 法 2计 算 结 果 图
4
4
2
2
0
0
-2
-2
-4 y1 (t) -6 y2 (t) y3 (t) y4 (t) -8 0 1 2 3 4 5
-4 y1 (t) -6 y2 (t) y3 (t) y4 (t) -8 0 1 2 3 4 5
0
0
0
-0.2
y1 (t) y2 (t) y3 (t)
-0.2
y1 (t) y2 (t) y3 (t)
-0.2
y1 (t) y2 (t) y3 (t)
-0.4
0
5
10
15
20
-0.4
0
5
10
15
20
-0.4
0
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常微分方程数值解
二、 非刚性问题举例
问题见书中【例12.2-1】，左图微分方程的解，右图平面相轨迹
x(t) 2.5 2 1.5 1
6
4
=1 =2 =3
2
0.5 0
速度
0 5 10 15 t 20 25 30
0
-0.5 -1
-2
-1.5
-4
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
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第四节 微分代数方程(DAE)与延 迟微分方程(DDE)求解
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常微分方程数值解
一、 微分代数方程（DAE）举例
DAE的求解一般有三种办法，一种是变量替换法，一种是 用ode15s函数还有一种是用12.3节中提到的ode15i函数 【例12.4-1】是利用上述三种方法求解的普通微分代数方 程 。 【例12.4-2】是变量替换后用fsolve函数求解出每一计算 节点的值，然后再调用ode45、ode23tb等函数求解，另一种 方法就是直接利用ode15i函数求解 。
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常微分方程数值解
一、 微分代数方程（DAE）举例
【例12.4-1】的结果图：
方 法 1计 算 结 果 图 1 1 方 法 2计 算 结 果 图 1 方 法 3计 算 结 果 图
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
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常微分方程数Βιβλιοθήκη 解二、初值问题求解函数1. 提供的函数
ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb，这些函数统一 的调用格式如下： [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0,options) sol = solver(odefun,[t0 tf],y0...) 输入参数说明： odefun 表示微分方程（组）的句柄。 tspan 微分方程（组）的求解时间区间，有两种格式[t0,tf]或者 [t0,t1,…,tf]，两者都以t0为初值点，根据tf自动选择积分步长。前者 返回实际求解过程中所有求解的时间点上的解，而后者只返回设定 的时间点上的解。后者对计算效率没有太大影响，但是求解大型问 题时，可以减少内存存储。
常微分方程数值解
三、 利用fzero/fsolve函数
下图是【例12.3-3】结果图像。 【例12.3-4】是利用ode15i求解【例12.33】算例，速度明显增快，结果一致，图像也是下图。
45 y1 (t) 40 35 30 25 20 15 10 5 0 y2 (t) y3 (t) y4 (t)
0
5
10
0
5
10
0
5
10
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三、 刚性问题举例
下图是【例12.2-3】得到解的图像，以及两个解的和的图像
10 y1 (t) 8 6 4 4 2 2 0 0 -2 -4 -6 -2 -4 -6 y2 (t) 10 8 6 12