2020年陕西省西安市高新一中中考数学一模试卷一、选择题1．3-的相反数是( ) A ．13B ．13-C ．3D ．3-2．如图，//AB CD ，AE 平分CAB ∠交CD 于点E ，若50C ∠=︒，则(AED ∠= )A ．65︒B ．115︒C ．125︒D ．130︒3．下列运算正确的是( ) A ．2235a a a += B ．222(2)4a b a b +=+ C ．236a a a =gD ．2336()ab a b -=-4．发展工业是强国之梦的重要举措，如图所示零件的左视图是( )A ．B ．C ．D ．5．一次函数y kx b =+的图象与正比例函数6y x =-的图象平行且经过点(1,3)A -，则这个一次函数的图象一定经过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，6AC =，则点D 到AB 的距离为( )A ．33B ．3C ．23D ．337．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，点E 在边BC 上，若AE 平分BED ∠，则BE 的长为( )A ．35B ．938C ．7D ．47-8．如图，点E 是平行四边形ABCD 中BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，交BD 于M ，则图中共有相似三角形（不含全等的三角形）( )对．A ．4B ．5C ．6D ．79．已知，如图，点C 、D 在O e 上，直径6AB cm =，弦AC 、BD 相交于点E ．若CE BC =，则阴影部分面积为( )A ．934πB ．9942π-C ．39324π-D ．3922π-10．已知抛物线22y ax bx =+-与x 轴没有交点，过(2A -、1)y 、2(3,)B y -、2(1,)C y 、(3D ，3)y 四点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是( )A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>二．填空题（共4小题）11．在实数3-，0，π，5-，6中，最大的一个数是 ．12．菱形ABCD 的边6AB =，60ABC ∠=︒，则菱形ABCD 的面积为 ．13．如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为(1,)m ，(3,6)C m +，那么图象同时经过点B 与点D 的反比例函数表达式为 ．14．如图，已知在四边形ABCD 中，AB AD =，60BAD ∠=︒，30BCD ∠=︒，42AC =，则四边形ABCD 面积的最小值是 ．三．解答题（共11小题）15．计算：3011118()|223|()822--⨯-+---16．化简求值：228166(1)122x x x x x -+÷-+++，其中x 选取2-，0，1，4中的一个合适的数． 17．尺规作图：已知点D 为ABC ∆的边AB 的中点，用尺规在ABC ∆的边上找一点E ，使:1:4ADE ABC S S ∆∆=．（保留作图痕迹，不写作法）18．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ．证明：AB DF =．19．某学校为了了解本校1800名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为图①中m的值为；（2）本次调查获取的样本数据的众数是小时，中位数是小时；（3）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数．20．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22︒时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45︒时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离(B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：3sin228︒≈，15cos2216︒≈，2tan22)5︒≈21．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按2.6元/立方米计费．设每户家庭用水量为x 立方米时，应交水费y 元．（1）写出y 与x 之间的函数表达式； （2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份 四月份 五月份 六月份 交费金额30元34元47.8元小明家这个季度共用水多少立方米？22．如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120︒．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，求转出的数字是1的概率；（2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率．23．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，以CD 为直径作O e ，O e 分别与AC ，BC 交于点E ，F ，过点F 作O e 的切线FG ，交AB 于点G ． （1）求证：FG AB ⊥；（2）若6AC =，8BC =，求FG 的长．24．如图，抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A -、(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，D 为y 轴上一点，点D 关于直线BC 的对称点为D '． （1）求抛物线的解析式；（2）当点D 在x 轴上方，且OBD ∆的面积等于OBC ∆的面积时，求点D 的坐标； （3）当点D '刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点D 的坐标；（4）点P 在抛物线上（不与点B 、C 重合），连接PD 、PD '、DD '，是否存在点P ，使PDD ∆'是以D 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．问题背景（1）如图（1）ABC ∆内接于O e ，过A 作O e 的切线l ，在l 上任取一个不同于点A 的点P ，连接PB 、PC ，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由． 问题解决（2）如图（2），(0,2)A ，(0,4)B ，在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得cos APB ∠最小？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由． 拓展应用（3）如图（3），在四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，tan 2C ∠=，9DEP S ∆=，求sin APB ∠的最大值．参考答案一．选择题（共10小题） 1．3-的相反数是( ) A ．13B ．13-C ．3D ．3-【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可． 解：(3)30-+=． 故选：C ．2．如图，//AB CD ，AE 平分CAB ∠交CD 于点E ，若50C ∠=︒，则(AED ∠= )A ．65︒B ．115︒C ．125︒D ．130︒【分析】根据平行线性质求出CAB ∠的度数，根据角平分线求出EAB ∠的度数，根据平行线性质求出AED ∠的度数即可． 解：//AB CD Q ， 180C CAB ∴∠+∠=︒， 50C ∠=︒Q ，18050130CAB ∴∠=︒-︒=︒，AE Q 平分CAB ∠， 65EAB ∴∠=︒， //AB CD Q ，180EAB AED ∴∠+∠=︒， 18065115AED ∴∠=︒-︒=︒，故选：B ．3．下列运算正确的是( ) A ．2235a a a +=B ．222(2)4a b a b +=+C ．236a a a =gD ．2336()ab a b -=-【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案． 解：A 、235a a a +=，故此选项错误； B 、222(2)44a b a ab b +=++，故此选项错误； C 、235a a a =g ，故此选项错误；D 、2336()ab a b -=-，正确．故选：D ．4．发展工业是强国之梦的重要举措，如图所示零件的左视图是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 解：如图所示零件的左视图是．故选：D ．5．一次函数y kx b =+的图象与正比例函数6y x =-的图象平行且经过点(1,3)A -，则这个一次函数的图象一定经过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限【分析】根据两条直线相交或平行问题由一次函数y kx b =+的图象与正比例函数2y x =的图象平行得到2k =，然后把点(1,3)A -代入一次函数解析式可求出b 的值，根据k 、b 的值即可判断一次函数的图象经过的象限．解：Q 一次函数y kx b =+的图象与正比例函数6y x =-的图象平行， 6k ∴=-，6y x b ∴=-+，把点(1,3)A -代入6y x b =-+得63b -+=-，解得3b =， 60k =-<Q ，30b =>，∴一次函数的图象一定经过第一、二、四象限，故选：C ．6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，6AC =，则点D 到AB 的距离为( )A 3B 3C ．3D ．33【分析】作DE AB ⊥于E ，根据角平分线的定义得到30CAD ∠=︒，根据直角三角形的性质得到5CD =，根据角平分线的性质得到答案． 解：作DE AB ⊥于E ， 90C ∠=︒Q ，30B ∠=︒， 60CAB ∴∠=︒，又AD 是BAC ∠的平分线， 30CAD ∴∠=︒， 6AC =Q ，3CD ∴=， 又6AC =， 23CD ∴=AD Q 是BAC ∠的平分线，90C ∠=︒，DE AB ⊥， 23DE CD ∴==，故选：C ．7．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，点E 在边BC 上，若AE 平分BED ∠，则BE 的长为( )A ．35B ．938C ．7D ．47-【分析】由已知条件和矩形的性质易证ADE ∆是等腰三角形，所以4AD DE ==，在直角三角形DEC 中利用勾股定理可求出CE 的长，进而可求出BE 的长． 解：Q 四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，90C ∠=︒，3AB CD ==，4AD BC ==，AEB DAE ∴∠=∠， AE Q 平分BED ∠， AEB AED ∴∠=∠， DAE AED ∴∠=∠， 4AD DE ∴==，在Rt DCE ∆中，3CD ==，227CE DE CD ∴=-=47BE BC CE ∴=-=-，故选：D ．8．如图，点E 是平行四边形ABCD 中BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，交BD 于M ，则图中共有相似三角形（不含全等的三角形）( )对．A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解． 【解答】：在ABCD Y 中， //AB CD Q ，ABM FDM ∴∆∆∽，ABE FCE ∆∆∽， //AD BC Q ，ADM EBM ∴∆∆∽，FDA FCE ∆∆∽， ABE FDA ∴∆∆∽， ∴图中相似三角形有5对．故选：B ．9．已知，如图，点C 、D 在O e 上，直径6AB cm =，弦AC 、BD 相交于点E ．若CE BC =，则阴影部分面积为( )A ．934πB ．9942π-C ．39324π-D ．3922π-【分析】连接OD 、OC ，根据CE BC =，得出DBC CEB ∠=∠，进而得出DBC A ABD ∠=∠+∠，从而求得¶¶·AD BCDC +=，得出90DOC ∠=︒，根据ODC S S S ∆=-阴影扇形即可求得．解：连接OD 、OC ， AB Q 是直径，90ACB ∴∠=︒， CE BC =Q ，45DBC CEB ∴∠=∠=︒，∴·DC的度数为90︒， 90DOC ∴∠=︒，290319933360242ODC S S S ππ∆⨯∴=-=-⨯⨯=-阴影扇形．故选：B ．10．已知抛物线22y ax bx =+-与x 轴没有交点，过(2A -、1)y 、2(3,)B y -、2(1,)C y 、(3D ，3)y 四点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是( )A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【分析】由题意可知抛物线开口向下，对称轴为3112x -+==-，然后根据点(2A -、1)y 、2(3,)B y -、2(1,)C y 、(3D 3)y 离对称轴的远近可判断1y 、2y 、3y 大小关系．解：令0x =，则2y =-，即该抛物线与y 轴的交点坐标是(0,2)-， Q 抛物线22y ax bx =+-与y 轴交于负半轴，且与x 轴没有交点， ∴抛物线开口向下，对称轴为3112x -+==-． |1(2)||11|31|---<+<Q 123y y y ∴>>，故选：A ．二．填空题（共4小题）11．在实数3-，0，π，5-6中，最大的一个数是 π ．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．解：6053π>>>->-Q ，∴在实数3-，0，π，5-，6中，最大的一个数是π．故答案为：π．12．菱形ABCD 的边6AB =，60ABC ∠=︒，则菱形ABCD 的面积为 183 ． 【分析】根据菱形的性质以及锐角三角函数关系得出AE 的长，即可得出菱形的面积． 解：如图所示：过点A 作AE DC ⊥于点E ， Q 在菱形ABCD 中，6AB =，60ABC ∠=︒， 60D ∴∠=︒，4AB AD DC cm ===，sin 6033AE AD ∴=︒=g ，∴菱形ABCD 的面积633183S AE DC =⨯=⨯=，故答案为：183．13．如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为(1,)m ，(3,6)C m +，那么图象同时经过点B 与点D 的反比例函数表达式为 9y x=．【分析】根据矩形的性质得出B 点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式． 解：Q 矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，(1,)A m ，(3,6)C m +， (1,6)B m ∴+、(3,)D m ，B Q 、D 在反比例函数图象上， 1(6)3m m ∴⨯+=，解得：3m =，(1,9)B ∴，故反比例函数表达式为：9y x=． 故答案为：9y x=． 14．如图，已知在四边形ABCD 中，AB AD =，60BAD ∠=︒，30BCD ∠=︒，42AC =，则四边形ABCD 面积的最小值是 838- ．【分析】将ADC ∆绕点A 顺时针旋转60︒到ABP ∆，AD 旋转至AB 处，易得APC ∆为等边三角形，可得2AP CP AC ===，易得ABC ACD ABC ABP APC BPC ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=+=+=-四边形，由已知条件可得360PBC ABP ABC ∠=︒-∠-∠，所以点B 在以PC 为直径的圆弧MN 上（不含点M ，)N ．连接圆心O 与点B ，当OB PC ⊥时，点B 到PC 的距离最大，分析知当CPB S ∆的最大值，四边形ABCD 面积的最小，即可得出结论．解：如图，将ADC ∆绕点A 顺时针旋转60︒到ABP ∆，AD 旋转至AB 处， AC AP =Q ，60CAP ∠=︒， APC ∴∆为等边三角形42AP CP AC ∴===，ABC ACD ABC ABP APC BPC ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∴=+=+=-四边形，30BCD ∠=︒Q ，360PBC ABP ABC ∴∠=︒-∠-∠， 360ADC ABC =︒-∠-∠， BAD BCD =∠+∠， 6030=︒+︒， 90=︒，∴点B 在以PC 为直径的圆弧MN 上（不含点M ，)N ．连接圆心O 与点B ，当OB PC ⊥时，点B 到PC 的距离最大，CPB S ∆∴的最大值为1422282⨯⨯=，14242sin 60832APC S ∆=⨯⨯︒=Q ， ABCD S ∴四边形的最小值838APC CBP S S ∆∆=-=-的最大值．故答案为：三．解答题（共11小题）153011118()|223|()822--⨯-+---【分析】首先利用二次根式的性质、绝对值的性质、零次幂的性质、负整数指数幂的性质进行计算，再算加减即可．解：原式132(8)32218=-⨯-+--，321321=++--， 23=+．16．化简求值：228166(1)122x x x x x -+÷-+++，其中x 选取2-，0，1，4中的一个合适的数． 【分析】可先把分式化简，再把x 的值代入计算求值． 解：原式2(4)62()1(2)22x x x x x x -+=÷-++++ 2(4)21(2)4x x x x x -+=++-g 4x xx x -=+ 4x=当1x =时，原式4=．17．尺规作图：已知点D 为ABC ∆的边AB 的中点，用尺规在ABC ∆的边上找一点E ，使:1:4ADE ABC S S ∆∆=．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可在在ABC ∆的边上找一点E ，使:1:4ADE ABC S S ∆∆=．解：如图，作ADE B ∠=∠，交AC 于点E ．点E 即为所求．18．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ．证明：AB DF =．【分析】根据矩形性质推出BC AD AE ==，//AD BC ，根据平行线性质推出DAE AEB ∠=∠，根据AAS 证出ABE DFA ∆≅∆即可．【解答】证明：在矩形ABCD 中 BC AD =Q ，//AD BC ，90B ∠=︒，DAF AEB ∴∠=∠，DF AE ⊥Q ，AE BC AD ==， 90AFD B ∴∠=∠=︒，在ABE ∆和DFA ∆中AFD B DAF AEB AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABE DFA AAS ∴∆≅∆，AB DF ∴=．19．某学校为了了解本校1800名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 40 图①中m 的值为 ； （2）本次调查获取的样本数据的众数是 小时，中位数是 小时；（3）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h 的学生人数．【分析】（1）利用课外阅读时间为5小时的人数除以所占百分比可得本次接受随机抽样调查的学生人数，然后再求m 的值即可； （2）根据众数和中位数定义可得答案； （3）利用样本估计总体的方法可得答案．解：（1）接受随机抽样调查的学生人数：1230%40÷=（人)， %1040100%25%m =÷⨯=，则25m =， 故答案为：40；25；（2）本次调查获取的样本数据的众数是5小时，中位数是6小时， 故答案为：5；6；（3）48180054040+⨯=（人)， 答：该校一周的课外阅读时间大于6h 的学生人数为540人．20．如图，某办公楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22︒时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE ，而当光线与地面夹角是45︒时，办公楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有25米的距离(B ，F ，C 在一条直线上）． （1）求办公楼AB 的高度；（2）若要在A ，E 之间挂一些彩旗，请你求出A ，E 之间的距离． （参考数据：3sin 228︒≈，15cos 2216︒≈，2tan 22)5︒≈【分析】（1）首先构造直角三角形AEM ∆，利用tan 22AMME︒=，求出即可； （2）利用Rt AME ∆中，cos 22MEAE︒=，求出AE 即可 解：（1）如图，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M ． 设AB 为x ．Rt ABF ∆中，45AFB ∠=︒， BF AB x ∴==，25BC BF FC x ∴=+=+，在Rt AEM ∆中，22AEM ∠=︒，2AM AB BM AB CE x =-=-=-， tan 22AMME︒=，则22255x x -=+， 解得：20x =． 即教学楼的高20m ．（2）由（1）可得25202545ME BC x ==+=+=． 在Rt AME ∆中，cos 22MEAE︒=． 454815cos 2216ME AE m ∴=≈=︒， 即A 、E 之间的距离约为48m21．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按2.6元/立方米计费．设每户家庭用水量为x 立方米时，应交水费y 元．（1）写出y 与x 之间的函数表达式； （2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：小明家这个季度共用水多少立方米？【分析】（1）根据题意，可以写出y 与x 之间的函数表达式；（2）根据（1）中的结果和表格中的数据，可以求得四月、五月和六月的用水量，从而可以解答本题．解：（1）由题意可得，当020x 剟时，2y x =， 当20x >时，202(20) 2.6 2.612y x x =⨯+-⨯=-， 由上可得，2(020)2.612(20)xx y x x ⎧=⎨->⎩剟； （2）20x =Q 时，40y =， ∴令302x =，得15x =，令342x =，得17x =，令47.8 2.612x =-，得23x =，即四月份用水15立方米，五月份用水17立方米，六月份用水23立方米， 15172355++=（立方米），答：小明家这个季度共用水55立方米．22．如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120︒．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，求转出的数字是1的概率；（2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率．【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；（2）根据题意列出图表得出所有等情况数，找出两次分别转出的数字之和为正数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：（1）Q 标有数字“1”的扇形的圆心角为120︒， ∴转出的数字是1的概率是12013603︒=︒；（2）根据题意列表如下：2- 2- 1 1 3 3 2- 4- 4- 1- 1- 1 1 2-4- 4- 1-1-1 1 1 1- 1-2 2 4 4 1 1-1-2 2 4 43 1 14 4 6 6 3114466由表可知共有36种等可能结果，其中两次分别转出的数字之和为正数的有24种，则两次分别转出的数字之和为正数的概率是242363=． 23．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，以CD 为直径作O e ，O e 分别与AC ，BC 交于点E ，F ，过点F 作O e 的切线FG ，交AB 于点G ．（1）求证：FG AB ⊥；（2）若6AC =，8BC =，求FG 的长．【分析】（1）连接OF ，利用已知条件证明90BFG B ∠+∠=︒，即可得到FG AB ⊥； （2）连接DF ，先利用勾股定理求出10AB =，进而求出5CD BD ==，再求出4CF =，进而求出3DF =，利用面积法即可得出结论．解：（1）证明：连接OF ，OC OD =Q ，CF BF =，//OF AB ∴，OFC B ∴∠=∠，FG Q 是O e 的切线，90OFG ∴∠=︒，90OFC BFG ∴∠+∠=︒，90BFG B ∴∠+∠=︒，90FGB ∴∠=︒，FG AB ∴⊥；（2）解：连接DF ，在Rt ABC ∆中，根据勾股定理得，10AB =，∴点D 是AB 中点，152CD BD AB ∴===， CD Q 是O e 的直径，90CFD ∴∠=︒，142BF CF BC ∴===， 22543DF ∴=-=，1122BDF S DF BF BD FG ∆∴=⨯=⨯， 125DF BF FG BD ⨯∴==．24．如图，抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A -、(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，D 为y 轴上一点，点D 关于直线BC 的对称点为D '．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D 在x 轴上方，且OBD ∆的面积等于OBC ∆的面积时，求点D 的坐标； （3）当点D '刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点D 的坐标；（4）点P 在抛物线上（不与点B 、C 重合），连接PD 、PD '、DD '，是否存在点P ，使PDD ∆'是以D 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法可求解析式；（2）由三角形面积关系可求点D 坐标；（3）由对称性可求90DCD '∠=︒，可得//CD OB '，可得点D '的纵坐标为4-，代入解析式可求点D '坐标，可得3CD CD '==，可求点D 坐标；（4）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可求点坐标． 解：（1）Q 抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A -、(4,0)B∴010164b c b c=-+⎧⎨=++⎩ 解得34b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为：234y x x =--；（2）Q 抛物线234y x x =--与y 轴交于点C ，∴点(0,4)C -，4OC ∴=，设点(0D ，)(0)y y >OBD ∆Q 的面积等于OBC ∆的面积， ∴11422OB y OB ⨯⨯=⨯， 4y ∴=，∴点(0,4)D（3）4OB OC ==Q ，45OCB ∴∠=︒，Q 点D 关于直线BC 的对称点为D '．45DCB D CB '∴∠=∠=︒，CD CD '=，90DCD '∴∠=︒，//CD OB '∴，∴点D '的纵坐标为4-，2434x x ∴-=--，10x ∴=（舍去），23x =，3CD CD '∴==，∴点(0,1)D -（4）若点D 在点C 上方，如图1，过点P 作PH y ⊥轴，90DCD '∠=︒Q ，CD CD '=，45CDD '∴∠=︒，90D DP '∠=︒Q45HDP ∴∠=︒，且PH y ⊥轴，45HDP HPD ∴∠=∠=︒，HP HD ∴=，CDD HDP '∠=∠Q ，90PHD DCD '∠=∠=︒，DP DD '=，DPH ∴∆≅△()DD C AAS 'CD CD HD HP '∴===，设CD CD HD HP a '====，∴点(,42)P a a -+23442a a a ∴--=-+，5a ∴=，0a =（不合题意舍去），∴点(5,6)P若点D 在点C 下方，如图2，DD DP '=Q ，90DCD '∠=︒，CD CP ∴=，DCP COB ∠=∠，//CP AB ∴，∴点P 纵坐标为4-，2434x x ∴-=--，10x ∴=（舍去），23x =，∴点(3,4)P -综上所述：点(5,6)P 或(3,4)-．25．问题背景（1）如图（1）ABC ∆内接于O e ，过A 作O e 的切线l ，在l 上任取一个不同于点A 的点P ，连接PB 、PC ，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由．问题解决（2）如图（2），(0,2)A ，(0,4)B ，在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得cos APB ∠最小？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．拓展应用（3）如图（3），在四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，tan 2C ∠=，9DEP S ∆=，求sin APB ∠的最大值．【分析】（1）问题背景：设直线BP 交O e 于点A '，连接CA '，由外角的知识即可求解； （2）问题解决：过点B 、A 作C e 与x 轴相切于点P ，连接AC 、PC 、BC ，x 轴的坐标轴上的点除了点P 外都在圆外，即可求解；（3）拓展应用：求出1182ADE S AD AE ∆=⨯⨯=，而9P ED DEN DEP S S S '∆∆===V ，从面积看，点P '符合点P 的条件，即点P 可以和点P '重合；由52FG EQ QG BF =+=<，则F e 与直线l 有两个交点，则点P '符合题设中点P 的条件，即可求解．解：（1）问题背景：如图1，设直线BP 交O e 于点A '，连接CA '，则CA B P ∠'>∠，而CA B CAB ∠'=∠，BPC BAC ∴∠<∠；（2）问题解决：如图2，过点B 、A 作C e 与x 轴相切于点P ，连接AC 、PC 、BC ，x Q 轴的坐标轴上的点除了点P 外都在圆外，APB ∴∠最大，即cos APB ∠最小，由点B 、A 的坐标，根据中点公式得，点C 的纵坐标为1(24)32+=， 设点(,0)P x ，则点(,3)C x ，Q 点P 、B 都是圆上的点，CB CP ∴=，222(41)3x ∴+-=，解得：22x =±（舍去负值），故点P 的坐标为：(22，0)；（3）拓展应用：过点B 作BH CD ⊥于点H ，过点A 作AM DE ⊥于点M ，延长AM 到点N 使12MN AM =， 过点N 作DE 的平行线l ，过点F 作FG l ⊥于点G ，FG 交DE 于点Q ，以AB 为直径作F e 交直线l 于点P '，在梯形ABCD 中，8AB =，11CD =，则1183CH =-=， tan 23BH BH C HC ===Q ，解得：6BH AD AE ===， 在等腰直角三角形ADE 中，1182ADE S AD AE ∆=⨯⨯=， 12MN AM =Q ， 192DEN ADE S S ∆∆∴==， Q 直线//l DE ，9P ED DEN DEP S S S '∆∆∴===V ，∴从面积看，点P '符合点P 的条件，即点P 可以和点P '重合， FG l ⊥Q ，而直线//l DE ，GF DE ∴⊥，而45AEB ∠=︒，故EFQ ∆为等腰直角三角形，862BE AB AE =-=-=Q ，422EF BF BE ∴=-=--，则22FQ EF ==， 112322FG EQ QG MN QG AM ∴=+=+=+=⨯5222BF =<， F ∴e 与直线l 有两个交点，则点P '符合题设中点P 的条件， AB Q 是直径，90∴∠=︒，APB∠的最大值为1．故sin APB。